સમીકરણના સંખ્યાત્મક ઉકેલ

સમીકરણના સંખ્યાત્મક ઉકેલ : જ્યારે સમીકરણનો સંપૂર્ણ ઉકેલ અશક્ય કે દુષ્કર હોય ત્યારે તેના બીજની નજીકની સંખ્યા શોધવાની પદ્ધતિ. વિજ્ઞાન અને ઇજનેરી પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે બૈજિક (algebraic) તેમજ અબૈજિક (transcendental) સમીકરણોના ઉકેલ શોધવાનું જરૂરી છે; પરંતુ આવા સમીકરણના બિલકુલ ચોક્કસ (exact) ઉકેલ મેળવવાનું હંમેશાં શક્ય હોતું નથી. કેટલીક વાર ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાનું સૈદ્ધાંતિક રીતે શક્ય હોવા છતાં એ વ્યવહારુ હોતું નથી. ત્રિઘાત સમીકરણના ઉકેલ માટે કાર્ડાંની અને ચતુર્ઘાત સમીકરણ માટે ફેરારીની રીત ઉપલબ્ધ છે, પરંતુ આ રીતો એવી જટિલ છે કે આવી રીતો વાપરીને સમીકરણનો ઉકેલ મેળવવાનું કામ ખૂબ ક્લિષ્ટ બની જાય છે. પાંચ કે વધુ ઘાતનાં ઘણાં બહુપદી સમીકરણોનો સૂત્ર-સ્વરૂપે ચોક્કસ ઉકેલ આપવાનું શક્ય જ નથી. અબૈજિક સમીકરણના ઉકેલ માટે પણ કોઈ ચોક્કસ રીત ઉપલબ્ધ નથી. સમીકરણનો ઉકેલ શોધવો જરૂરી હોય, પરંતુ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાનું અશક્ય કે બહુ જટિલ હોય તો શું કરવું ? સદ્ભાગ્યે, ચોક્કસ ઉકેલની અવેજીમાં ઘણી વાર ઉકેલની નજીકની સંખ્યાથી કામ ચાલી જાય છે. આવી સંખ્યાને સમીકરણનો આસન્ન (approximate) ઉકેલ કહે છે. આસન્ન ઉકેલ એ વૈશ્લેષિક રીતે મળતા કોઈ સૂત્રની મદદથી નહિ, પરંતુ ચોક્કસ ઉકેલની વધુ ને વધુ નજીક સંખ્યાઓ લેવાથી મળતો હોઈ આવા ઉકેલને સમીકરણનો સંખ્યાત્મક ઉકેલ પણ કહે છે. દેખીતી રીતે, સમીકરણના સંખ્યાત્મક ઉકેલનો અભ્યાસ એ ગણિતની સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણની શાખાનો એક ભાગ છે.

એક ચલના સમીકરણના સંખ્યાત્મક ઉકેલની કોઈ પણ રીત સામાન્ય રીતે પુનરાવર્તન(iteration)ની કોઈ પદ્ધતિ પર આધારિત હોય છે. આપેલા સમીકરણના બીજ x^*નું સ્થાન અંદાજી, તેની નજીક પ્રારંભબિંદુ x₀ લેવામાં આવે છે. પુનરાવર્તન માટેના સંબંધના ઉપયોગથી x₀માંથી x₁, x₁માંથી x₂, …… એમ એક પછી એક પદ (ક્રમિક, iterate) મેળવવામાં આવે છે. અમુક શરતો હેઠળ શ્રેણી (x_n) એ x^* પ્રતિ અભિસારી થાય છે. આને કારણે પૂરતો મોટો n લેવાથી x^*ની યથેચ્છ નિકટની સંખ્યા x_n મળે છે. એ રીતે જરૂરી ચોક્કસાઈ (accuracy) સાથેનો સમીકરણનો આસન્ન ઉકેલ મેળવી શકાય છે. આસન્ન ઉકેલ મેળવવા માટે પુનરાવર્તનના કયા પગલે અટકવું એ પ્રશ્ન મહત્ત્વનો છે. આ માટે ત્રણમાંથી એક બાબત ધ્યાનમાં લઈ શકાય : (i) નિરપેક્ષ ક્ષતિ, (ii) સાપેક્ષ ક્ષતિ, (iii) f(x)નું મૂલ્ય. P (i) ખરા ઉકેલ x*ની નજીક આસન્ન ઉકેલ y હોય તો નિરપેક્ષ ક્ષતિ

y  x*  થાય. ધારો કે ીં > 0 અને નિરપેક્ષ ક્ષતિ ીં કરતાં ઓછી જોઈએ છે. પુનરાવર્તનથી મળતી શ્રેણી (xn) એ x* પ્રતિ અભિસારી હોવાને લીધે n0 મળે, જેથી n થ્ n0 માટે

xn  x*  < ીં. તો પુનરાવર્તનની ક્રિયા n0 પગલાં બાદ અટકાવી શકાય.

(ii) પુનરાવર્તન આસન્ન સાપેક્ષ ક્ષતિ  લેવામાં આવે છે. આ ક્ષતિ અગાઉથી નિશ્ચિત કરેલી માત્રા કરતાં જ્યારે ઓછી થાય ત્યારે પુનરાવર્તનની ક્રિયા અટકાવી શકાય.

એવું બતાવી શકાય કે જ્યારે આસન્ન સાપેક્ષ ક્ષતિ (0.5 ત્

102R) % કરતાં ઓછી હોય ત્યારે xn+1નું મૂલ્ય દશાંશચિહ્ન પછીનાં ઓછામાં ઓછાં R સ્થાન સુધી ખરા ઉકેલને મળતું આવે છે.

(iii) f સતત હોય તો x_n ડ્ડ x^* િ f(xn) ડ્ડ f(x^*) = 0. આથી f(x_n)નું મૂલ્ય જરૂર પ્રમાણે 0ની નિકટ મળે ત્યારે પુનરાવર્તનની ક્રિયા અટકાવી શકાય.

હવે આપણે સમીકરણ f(x) = 0નું આસન્ન બીજ મેળવવા માટેની કેટલીક રીત જોઈએ. આવી દરેક રીત માટે f(x) = 0ના બીજનું સ્થાન અંદાજવું જરૂરી છે. આ માટે આલેખની મદદ લઈ શકાય. y = f(x)નો આલેખ x-અક્ષને જો (x^*, 0)માં છેદે તો f(x^*) = 0 થાય.

દ્વિભાજન-પદ્ધતિ (Bisection method) : ધારો કે f(x) અંતરાલ [a, b], (a < b) પર સતત વિધેય છે. જો f(a) અને f(b) પરસ્પર વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે તો મધ્યમાન મૂલ્યના પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) પ્રમાણે f(x) = 0નું એક બીજ a અને bની વચ્ચે હોવું જોઈએ. ધારો કે f(a) > 0, f(b) < 0 અને [a, b]માં f(x) = 0નું એકમાત્ર બીજ x^* છે. પ્રારંભિક આસાદિત બીજ તરીકે [a, b]નું મધ્યબિંદુ x₀ = ને લઈએ. જો f(x₀) = 0, તો x0 એક બીજ છે. જો f(x₀) દ 0 તો f(x₀) > 0 કે f(x₀) < 0 પ્રમાણે બીજ x₀ અને b વચ્ચે કે a અને x₀ની વચ્ચે હશે. આ અંતરાલને દુભાગીને x₁ =  અથવા x₁ =  લો (જુઓ આકૃતિ 1). ફરીથી f(x₁) = 0, f(x₁) > 0 કે f(x₁) < 0 હોય તે મુજબ ઉપર પ્રમાણે x₂ મળશે. આ જ રીતે આગળ વધતાં x₃, x₄, ….. વગેરે મળે. અહીં

દેખીતું છે કે b  x0 = x0  a = 1 (b  a). હવે જો ખરું બીજ x* હોય તો એક પછી એક ક્રમિક લેતાં આ પ્રમાણે મળે :

x*  x0  < b  x0 અથવા x0  a, એટલે કે  x*  x0  < 1 (b  a).

x*  x1  < 1 (b  x0) અથવા 1 (x0  a), એટલે કે

x*  x1  <  (b  a)…..  x*  xn  <  (b  a).

આથી શ્રેણી (xn) એ x* પ્રતિ અભિસારી થશે અને x*ની યથેચ્છ નિકટનું ક્રમિક xn મળી શકશે, જે f(x) = 0નું આસન્ન બીજ આપશે.

ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ x3 + x  1 = 0નું આસન્ન બીજ શોધીએ. f(x) = x3 + x  1 લેતાં f(0) =  1 < 0 અને f(1) = 1 > 0. તેથી આપેલા સમીકરણનું એક બીજ 0 અને 1ની વચ્ચે છે. હવે નીચે પ્રમાણે આગળ વધી શકાય :

f(0) < 0, f(1) > 0    િ x0 = 1(0 + 1) = 0.5

f(0.5) < 0, f(1) > 0  િ x1 = 1(0.5 + 1) = 0.75

f(0.75) > 0, f(0.5) < 0      િ x2 = 1(0.75 + 0.5) = 0.625

f(0.625) < 0, f(0.75) > 0   િ x3 = 1(0.625 + 0.75) = 0.6875

અને આગળ જતાં

x4 = 0.65625, x5 = 0.671875, x6 = 0.6796875, x7 = 0.6835937, x8 = 0.6816406, x9 = 0.6826171, x10 = 0.6821288, x11 = 0.6823729, x12 = 0.6822508, x13 = 0.6823118, x14 = 0.6823454, x15 = 0.6823284, x16 = 0.6823201, ……… જો આસન્ન ઉકેલની નિરપેક્ષ ક્ષતિ 0.0001 કરતાં ઓછી જોઈતી હોય તો

xn  x*  < 0.0001. પરંતુ  xn  x*  <  = . આથી જો  < 0.0001, તો  xn  x*  < 0.0001.

હવે  < 0.0001 િ 2n+1 > 104 િ (n + 1) log102 > 4 િ n + 1 >  = 13.29 તેથી n થ્ 13 માટે xnની ક્ષતિ 0.0001 કરતાં ઓછી થશે. આથી n થ્ 13 માટે xn દશાંશ- ચિહ્ન પછીનાં ત્રણ સ્થાન સુધીની ચોક્કસાઈ આપશે; પરંતુ ઉપરની ગણતરી પરથી જોઈ શકાય છે કે ખરેખર તો n થ્ 9 માટે દશાંશ ચિહ્ન પછીનાં ત્રણ સ્થાન સુધીની ચોક્કસાઈ મળે છે. તે જ રીતે n થ્ 13 અને n થ્ 15 માટે દશાંશ-ચિહ્ન પછીનાં અનુક્રમે ચાર અને પાંચ સ્થાન સુધીની ચોક્કસાઈ મળે છે.

દ્વિભાજનની રીતનું નબળું પાસું એ છે કે તેમાં મળતી ક્રમિકોની શ્રેણી (xn)નું અભિસરણ ધીમું છે અને તેથી જરૂરી ચોક્કસાઈ માટેનો ઉકેલ મેળવવા માટે વધુ પગલાંની જરૂર રહે છે. બીજી બાજુ એ શ્રેણી ચોક્કસપણે ખરા બીજ પ્રતિ અભિસારી થાય છે, એ તેનું જમા પાસું છે. આથી આ રીત દ્વારા ખરા ઉકેલની નજીકની કોઈ એક સંખ્યા મેળવી, એ સંખ્યાને પ્રારંભબિંદુ તરીકે લઈ, ઝડપી અભિસરણવાળી અન્ય રીતના ઉપયોગથી વધુ ચોક્કસાઈવાળો આસન્ન ઉકેલ મેળવી શકાય છે.

મિથ્યા સ્થાનની પદ્ધતિ (Method of False Position) : સતત વિધેય f(x) માટે જો f(x₀) અને f(x₁) પરસ્પર વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતાં હોય તો f(x) = 0નું એક બીજ x^*, x₀ અને x₁ વચ્ચે હોય. આ પદ્ધતિમાં x = x₀ અને x = x₁ વચ્ચેના વક્રના સ્થાને બિંદુઓ (x₀, f(x₀)) અને (x₁, f(x₁))ને જોડતી વક્રની જીવા લઈએ છીએ. આ જીવા xઅક્ષને બિંદુ (x₂, 0)માં છેદે, તો જીવાના સમીકરણ પરથી x₂ = x₀   (x₁  x₀) થશે. x2ને આસન્ન બીજ તરીકે લઈશું. હવે જો f(x₂) અને f(x₀) પરસ્પર વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે તો ખરું બીજ x₀ અને x2ની વચ્ચે હશે અને તો ઉપરની રીતે x₁ના સ્થાને x₂ મૂકતાં x₃ મળશે, નહિતર x₀ના સ્થાને x₂ મૂકતાં x₃ મળશે. (જુઓ આકૃતિ 2). આ રીતે આગળ વધતાં f(x) = 0નાં આસન્ન બીજોની શ્રેણી (x_n) મળશે. દ્વિભાજન-પદ્ધતિ કરતાં ક્રમિકોનું અભિસરણ આ રીતમાં વધુ ઝડપી છે, પરંતુ ક્રમિકો માટેનું સૂત્ર થોડું જટિલ છે. આસન્ન સાપેક્ષ ક્ષતિ આપેલ માત્રા કરતાં ઓછી થાય ત્યાં સુધી પુનરાવર્તનની ક્રિયા ચાલુ રાખવાની રહે. આ રીતમાં વક્રના સ્થાને જીવા લેતાં હોઈ અહીં મળતું સંનિકટન એ રૈખિક સંનિકટન (linear approximation) છે.

અચળ બિંદુ પુનરાવર્તનની રીત (Fixed Point Iteration Method) : સમીકરણ f(x) = 0ને x = f(x) સ્વરૂપમાં લખીને

y = x અને y = f(x)ના આલેખના છેદબિંદુ દ્વારા અથવા અન્ય રીતે f(x) = 0નું સ્થૂલ બીજ x0 નક્કી કરવામાં આવે છે. x₀ને

પ્રારંભબિંદુ તરીકે લઈ x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁), ………, x_n =

f (xn₁), ……… વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શ્રેણી (x_n) અમુક શરતો હેઠળ f(x) = 0ના બીજ પ્રતિ અભિસારી થાય છે. આ અંગેનું એક પરિણામ આ પ્રમાણે છે : જો સમીકરણ x = f(x)નું બીજ x^* અંતરાલ[a, b]માં હોય, f(x) અને f´(x) [a, b]માં સતત હોય,

[a, b]ના દરેક બિંદુ x માટે  f´(x)  <  હોય અને પ્રારંભબિંદુ x₀ [a, b]માં હોય તો xn+1 = f(x_n) (n = 0, 1, 2, ……..) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી (xn) x^* પ્રતિ અભિસારી થશે.

x^* પ્રતિ અભિસારી શ્રેણી (x_n) જરૂરી ચોક્કસાઈવાળું f(x) = 0નું આસન્ન બીજ આપશે. x^* એ f(x)નું બીજ હોવાથી

x^* = f(x^*). આમ x^* એ f(x)નું અચળ બિંદુ (fixed point) છે.

કેટલીક વાર f(x) = 0ને x = f(x) સ્વરૂપે જુદી જુદી રીતે લખી શકાય. આ સંજોગોમાં વિધેય f એવું પસંદ કરવું જોઈએ કે x_n =

f(xn1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી (x_n) અભિસારી થાય. ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ x₃ + x  1 = 0ને x = 1  x3 = f1(x) અને x =  = f2(x) રીતે લખી શકાય. x₀ = 1 અને x_n = f₁

(xn1) લેતાં શ્રેણી 1, 0, 1, 0, 1, 0, ….. મળે છે, જે અભિસારી નથી. બીજી બાજુ, (x) =  અને તેથી  f´(x)  =  (0 જ્ર x જ્ર 1). તેથી  (0)  = 0 અને  (x)  =  જ્ર  =  < 1 (0 < x જ્ર 1). આમ [0, 1]ના દરેક x માટે   (x)  <  અને તેથી ઉપરના પરિણામ મુજબ શ્રેણી (xn), xn = f2 (xn1), x3 + x  1 = 0ના બીજ પ્રતિ અભિસારી થશે. (ક્રમિકોની ગણતરીથી આ વસ્તુ ચકાસી શકાય.) આમ અહીં f1 પસંદ ન કરતાં વિધેય f2 પસંદ કરવાનું રહે છે.

ન્યૂટન–રાફસનની રીત (Newton-Raphson Method) :  ધારો કે f(x) = 0નું એક આસન્ન બીજ x₀ છે અને x₁ = x₀ + h એ f(x) = 0ના ખરા બીજની વધુ નિકટનું બીજ છે. x₁ એ ખરા બીજની નિકટનું બીજ હોવાથી f(x₁) = 0 લઈશું અને hનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય એટલું નાનું લઈશું કે f(x₀ + h)ના ટેલર વિસ્તરણમાં hના દ્વિતીય અને ઉચ્ચ કક્ષાના ઘાતાંકો અવગણી શકાય. આથી 0 = f(x₁) = f(x₀ + h) = f(x₀) + hf´(x₀) મળશે. તેથી h =   અને x₁ = x₀ + h = x₀  . આવી જ રીતે x₂ = x₁  , અને વ્યાપક રીતે x_n = xn₁   (n = 1, 2, ……) લઈશું. એવું સાબિત કરી શકાય કે જો x = x^* એ f(x) = 0નું સરળ (simple) બીજ હોય અને પ્રારંભબિંદુ x₀ એ x^*ની પૂરતું નિકટનું બિંદુ હોય તો શ્રેણી (x_n) એ x^* પ્રતિ અભિસારી છે.

ભૌમિતિક રીતે, વક્ર પરના બિંદુ (x_n, f(x_n)) આગળ દોરેલો સ્પર્શક xઅક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુ (xn+1, 0) છે. વક્રની ચાપને સ્થાને સ્પર્શકનો રેખાખંડ લેતાં હોઈ ન્યૂટન-રાફસનની રીત રૈખિક સંનિકટન આપે છે. (જુઓ આકૃતિ 3).

આ રીતના કોઈ ક્રમિકની ક્ષતિ તેની આગળના ક્રમિકની ક્ષતિના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે. આથી ક્રમિકોનું અભિસરણ ઘણું ઝડપી છે. અલબત્ત, અહીં પુનરાવર્તનને દરેક પગલે f અને f´, બંનેનાં મૂલ્યો શોધવાં પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે સમીકરણ f(x) = x3 + x  1 = 0 લેતાં f´(x) = 3×2 + 1. xn+1 = xn   અને [0, 1] પર x0 = 0 લઈને નીચે પ્રમાણે મળે :

n	xn	f(xn)	f´(xn)	xn+1
0	0	-1	1	1
1	1	1	4	0.75
2	0.75	0.171875	2.6875	0.6860466
3	0.6860466	0.0089412	2.4119797	0.6823397
4	0.6823397	0.0000284	2.3967622	0.6823279
5	0.6823279	0.0000001	2.3967139	0.6823279

નોંધનીય છે કે દ્વિભાજનની રીતથી 13મા અને 16મા ક્રમિકો વડે મળતી આસન્ન કિંમતો અહીં અનુક્રમે ત્રીજા અને ચોથા ક્રમિક તરીકે મળે છે.

જો f(x) = 0નું બીજ p વખત પુનરાવર્તિત (repeated) હોય તો તેનું આસન્ન બીજ મેળવવા માટે ન્યૂટનની વ્યાપક પદ્ધતિ વપરાય છે, જેમાં xn+1 = xn  p .

મૂલરની રીત (Muller’s Method) : આ રીતમાં f(x) = 0નું બીજ x = x^* હોય તો વક્ર y = f(x) પરના બિંદુ (x^*, f(x^*))ની નજીકની વક્રની ચાપને સ્થાને પરવલયની ચાપ લેવામાં આવે છે. એ રીતે આ પદ્ધતિ દ્વિઘાત સંનિકટન (quadratic approximation) આપે છે. બીજ x^*ની નજીક ત્રણ બિંદુઓ x₀, x₁, x₂ લઈ દ્વિઘાત પદાવલિ q(x) એવી લેવામાં આવે છે જેથી q(xi) = f(xi) (i = 0, 1, 2) થાય. સમીકરણ q(x) = 0નાં બે બીજમાંથી એક બીજની અમુક રીતે પસંદગી કરવામાં આવે છે, જે x3 બને છે. હવે x₀, x₁, x₂ માંથી x₃ના સંદર્ભમાં એક બિંદુને પડતું મૂકી બાકીનાં બે બિંદુ અને x₃ની નવી ત્રિપુટી રચવામાં આવે છે. x₀, x₁, x₂ માંથી જે રીતે x₃ મળે છે એ જ રીતે નવી ત્રિપુટીમાંથી x₄ મેળવવામાં આવે છે. આ ક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરવાથી ક્રમિકોની શ્રેણી (x_n) મળે છે. અભિસરણની દૃષ્ટિએ મૂલરની રીત ન્યૂટન-રાફસનની રીત જેટલી જ ઝડપી છે. અહીં વિકલિતનું મૂલ્ય શોધવું પડતું નથી. એ તેનો ફાયદો છે.

ગ્રેફેની બીજવર્ગીય રીત (Graeffe’s Root Squaring Method) : બહુપદી સમીકરણના આસન્ન ઉકેલ માટે ઉપયોગી છે. અહીં દરેક પગલે આગળની બહુપદીનાં બીજના વર્ગ જેનાં બીજ હોય એવી બહુપદી મેળવવામાં આવે છે. પૂરતાં પગલાં પછી મળતી બહુપદીના સહગુણકોની મદદથી આપેલી બહુપદીનાં બીજની જરૂરી ચોક્કસાઈવાળી આસન્ન કિંમત મળે છે. જો આપેલી બહુપદીનાં બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય અને તેમનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય 1થી વધુ હોય, તો આ રીત ઘણી ઉપયોગી છે.

બેર્સ્ટોની રીત (Bairstow’s Method) : વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી બહુપદીનાં સંકર બીજનાં આસન્ન મૂલ્યો શોધવામાં ઉપયોગી છે. આવી બહુપદીને અનુબદ્ધ સંકર બીજોને અનુરૂપ દ્વિઘાત અવયવ હશે. આપેલી n ઘાતની બહુપદી Pn(x) હોય તો અજમાયશી દ્વિઘાત અવયવ તરીકે x2  rx  s લઈ Pn(x) = (x2  rx  s) Qn2(x) + b1 (x  r) + b0 લખવામાં આવે છે, જ્યાં Qn2(x) એ n2 ઘાતની બહુપદી છે. હવે r અને sની વૃદ્ધિ (increment) Dr અને Ds, Pn(x)ના સહગુણકો r, s, b1 અને b0નો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે અને r1 = r + Dr, s1 = s + Ds લઈ x2  r1 x  s1ને જરૂરી દ્વિઘાત અવયવના આસન્ન અવયવના પ્રથમ ક્રમિક તરીકે લેવામાં આવે છે. આ જ રીતનો ફરી ફરી ઉપયોગ કરી બીજો ક્રમિક x2  r2x  s2, ત્રીજો ક્રમિક x2  r2x  s3 વગેરે મેળવવામાં આવે છે, જ્યારે શેષના સહગુણકો b₁ અને b₀નાં નિરપેક્ષ મૂલ્યો નિયત કરેલ સંખ્યા કરતાં ઓછાં થાય ત્યારે પુનરાવર્તનની ક્રિયા અટકાવવામાં આવે છે. આસન્ન દ્વિઘાત અવયવનાં બીજો એ આપેલી બહુપદીનાં આસન્ન સંકર બીજો આપે છે.

રૈખિક અને અરૈખિક સમીકરણોની સંહતિના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે ગાઉસ-સાઇડેલ (Gauss-Seidel), યાકૉબી (Jacobi) અને ન્યૂટનની રીતો ઉપલબ્ધ છે.

ઉપરની રીતોમાં જોયું તેમ, વધુ ચોક્કસાઈ માટે પુનરાવર્તનનાં વધુ પગલાં જરૂરી છે. હવે પુનરાવર્તનનાં પગલાં જેટલાં વધુ એટલી ગણતરી વધુ લાંબી અને ક્લિષ્ટ. જો કોઈ સાધન વગર હાથે જ આવી ગણતરી કરવાની હોય તો કામ ખૂબ કંટાળાજનક બને, સમય ઘણો જોઈએ અને ભૂલોની પૂરી ભીતિ રહે. ગણકયંત્ર(કમ્પ્યૂટર)ના આગમન સાથે ગણતરીઓ ખૂબ ઝડપી અને લગભગ ક્ષતિરહિત બની છે. તેમાં પણ અહીં તો પુનરાવર્તિત ગણતરીઓ હોઈ કમ્પ્યૂટર વિશેષ ઉપયોગી થાય છે. આને કારણે સંખ્યાત્મક ગણિતની રીતોનો ઉપયોગ સરળ અને તેથી વ્યાપક બન્યો છે. આ માટેના Mathematica, MATLAB, MAPLE અને DERIVE જેવાં કેટલાંક સૉફ્ટવેર પણ ઉપલબ્ધ બન્યાં છે.

હેમાંગિની વસાવડા