સંવલન (convolution)

સંવલન (convolution) : ભૌતિકવિજ્ઞાન અને ગણિતશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં, બે વિધેયો(functions)ના ગુણાકારને સંકલ-પરિવર્ત-(integral transform)ના રૂપમાં વ્યક્ત કરવાની પ્રક્રિયા. આ પ્રક્રિયાને જર્મન ભાષાના શબ્દ ‘faltung’ (અર્થાx, ‘folding’) દ્વારા પણ ઓળખવામાં આવે છે.

સંવલનની પ્રક્રિયા સમજવા માટે એક-પરિમાણી વિધેયો f(x)g(x)ને ધ્યાનમાં લઈએ. તે વિધેયોનો એક ખાસ પ્રકારનો ગુણાકાર f * g દ્વારા દર્શાવીએ અને નીચે મુજબનો સંકલ-પરિવર્ત વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

આ સંકલ-સ્વરૂપનાં નિરૂપણને f અને g વિધેયોનું અંતરાલ (+∞, –∞)માં સંવલન કહેવાય છે. સંવલનની વિશેષતા સમજવા માટે ઉપર્યુક્ત સમીકરણની જમણી બાજુએ રહેલા સંકલનની અંદરના વિધેય fનું ફુરિયે પરિવર્ત (fourier transform) લઈએ.

આમ,

જેમાં F(t) એ f(x  y)નો ફુરિયે પરિવર્ત છે. હવે,

અહીં સંકલનનો ક્રમ ઉલટાવવામાં આવેલ છે. વધુમાં અંદરના સંકલનને વિધેય g(y)નો ફુરિયે પરિવર્ત G(t) ગણીએ તો,

અર્થાx, સમીકરણ (1) પરથી,

સમીકરણ (2) દર્શાવે છે કે, ફુરિયે પરિવર્ત F અને Gના ગુણાકારનો વ્યસ્ત અથવા પ્રતીપ (inverse) ફુરિયે પરિવર્ત, એ મૂળ વિધેયો f અને gનું સંવલન f * g છે. ખાસ કિસ્સામાં જો x = o હોય તો,

આ પ્રકારનાં પરિણામોને પાર્સિવલ સંબંધો (parseval relations) કહેવાય છે.

સંવલન-પ્રક્રિયાથી મળતાં પરિણામોના ભૌતિકશાસ્ત્રીય સૂચિતાર્થો પણ હોય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિધેય f(x)નો ફુરિયે પરિવર્ત F(k) એ સ્થળ–યામ xના વિધેયનું k-અવકાશમાં નિરૂપણ છે. અત્રે k તરંગ-સદિશનું મૂલ્ય છે. આ સંદર્ભમાં પાર્સિવલ સંબંધોના આધારે એમ કહી શકાય કે જો મૂળ વિધેય f(x), x-અવકાશમાં સામાન્યીકૃત (normalized) હોય તો તેનું ફુરિયે નિરૂપણ F(k) પણ k-અવકાશમાં સામાન્યીકૃત હશે. આમ, ફુરિયે પરિવર્તમાં સામાન્યીકરણ-(normalization)નો ગુણધર્મ જળવાઈ રહે છે. આ વિશેષતાને unitary property પણ કહેવામાં આવે છે.

કમલનયન જોષીપુરા