સંભાવના (probability)

કોઈ ઘટના બનશે કે કેમ તે જ્યારે પૂર્ણપણે નિશ્ચિત ન હોય ત્યારે તેનું નિશ્ચિતતાનું માપ.

1. માનવજીવન અનિશ્ચિતતાથી ભરપૂર છે. જીવનમાં ડગલે ને પગલે બનતી રોજબરોજની ઘટનાઓમાં પણ આવી બાબત જોવા મળે છે. રાતના 11-30 વાગ્યે રેલવેસ્ટેશને ગાડીની આવવાની રાહ જોતાં લોકો ઊભા હોય અને જાહેરાત થાય કે આ ગાડી 2 કલાક મોડી આવવાની સંભાવના છે. આવી અનેક પરિસ્થિતિઓમાં અનિશ્ચિતતાનો વરતારો જોવા મળે છે. સંભાવનાનો સિદ્ધાન્ત કોઈ ઘટના બનશે કે નહિ બને તે માટેની જાણ કરે છે અને આમ અનિશ્ચિતતા અંગેની પૂર્વતૈયારી રૂપે એક પ્રકારની સમજ જે તે પરિસ્થિતિ માટે આપે છે. સંભાવના માટેનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ જે તે ઘટના માટેની અનિશ્ચિત પરિસ્થિતિનો અગાઉથી તાગ આપી શકે છે અને તેથી આંકડાશાસ્ત્રનો અભ્યાસ સંભાવનાથી શરૂ થાય છે તેમ કહેવું અસ્થાને નથી. આ અભ્યાસ દ્વારા કોઈ દેશની આર્થિક કે રાજકીય પરિસ્થિતિમાં થતા ફેરફારોની જાણ અનિશ્ચિતતાના માપ દ્વારા મળી શકે છે. કોઈ કંપનીના શૅરોના ભાવમાં થતા ફેરફારોનું માપ જાણી શકાય છે. વળી ધોરી માર્ગ પર થતા અકસ્માતોના અભ્યાસને આધારે નક્કી થયેલા સંભાવના-વિતરણ પરથી ભવિષ્યનું પૂર્વકથન સાવચેતી રૂપે મળી શકે છે. કૅન્સર, ડાયાબિટીસ કે હૃદયરોગના હુમલામાં અગાઉની પ્રાપ્ય માહિતીને આધારે મેળવેલ સંભાવનાના પરિમાણરૂપી અભ્યાસ પરથી ભવિષ્યમાં તે માટેની સાવચેતી અંગેનું આયોજન થઈ શકે છે. આવાં અનેક ઉદાહરણો આપી શકાય, જેના ઉપરથી એવું કહી શકાય કે અનિશ્ચિતતાને લક્ષમાં રાખીને ક્રમશ: રોજિંદી ઘટનાઓ માટે ભવિષ્યમાં કેટલી નિશ્ચિતતા મળી શકે તેનો પૂર્વ અંદાજ સંભાવનાનો અભ્યાસ આપી શકે છે. આ જ કારણે સંભાવનાનું શાસ્ત્ર આંકડાશાસ્ત્રનો મુખ્ય પાયો છે.

2. સંભાવનાની વ્યાખ્યાઓ : સંભાવનાનો સિદ્ધાન્ત સમજવા માટેની કેટલીક પ્રચલિત વ્યાખ્યાઓ નીચે પ્રમાણે છે :

(2.1) સંભાવનાની ગાણિતિક વ્યાખ્યા (Mathematical definition of Probability) : કોઈ એક યદૃચ્છ પ્રયોગમાં મળતાં n પરિણામો પરસ્પર નિવારક, સમસંભાવી અને સમગ્રલક્ષી હોય અને તેમાંનાં m પરિણામો ઘટના A બને તે માટેનાં સાનુકૂળ પરિણામો હોય તો ઘટના A બનવા માટેની સંભાવના m અને nના ગુણોત્તરથી મળે છે.

સમજૂતી : (અ) યદૃચ્છ પ્રયોગ : કોઈ પ્રયોગ એવો હોય કે જેનું સમાન પરિસ્થિતિમાં પુનરાવર્તન થઈ શકતું હોય અને તેનાં પરિણામ વિશે અગાઉથી જાણી ન શકાતું હોય તો તેને યદૃચ્છ પ્રયોગ કહે છે; દા.ત., સિક્કો ઉછાળવો, પાસો ફેંકવો, પત્તાંની જોડમાંથી પત્તું ખેંચવું, દડાઓના ઢગલામાંથી એક દડો ખેંચવો વગેરે.

(આ) પરિણામ (outcome) : યદૃચ્છ પ્રયોગમાં રહેલી તમામ શક્યતાઓને પ્રયોગનાં પરિણામો કહેવામાં આવે છે; દા.ત., સિક્કો ઉછાળતાં Head (H) આવે કે Tail (T) આવે; પાસો ફેંકતાં 1થી 6 સુધીની કોઈ સંખ્યા મળે વગેરે.

(ઇ) પરસ્પરનિવારક પરિણામો (mutually exclusive outcomes) : એવાં પરિણામો કે જો તેમાંનું એક પરિણામ મળતું હોય તો તેનાથી અન્ય કોઈ પરિણામ ન જ મળે; દા.ત., પત્તાંની જોડમાંથી લાલનો એક્કો ખેંચેલો હોય તો તે જ વખતે અન્ય કોઈ પત્તું ન આવે; પાસો ફેંકતાં જો બેકી સંખ્યા આવી હોય તો તે જ સમયે એકી સંખ્યા ન આવે; સિક્કો ઉછાળો ત્યારે H આવે તો તે જ વખતે T ન મળે.

(ઈ) સમસંભાવી પરિણામો (equally likely outcomes) : બધાં પરિણામોમાંથી ગમે તે પરિણામ આવી શકે; દા.ત., સિક્કો ઉછાળતાં H અથવા T ગમે તે આવી શકે; પત્તું ખેંચતાં લાલ કે કાળા રંગનું ગમે તે પત્તું આવી શકે. (અહીં પરિણામી સ્વરૂપ માટે પક્ષપાતી બનવાનું હોતું નથી.)

(ઉ) સમગ્રલક્ષી પરિણામો (exhaustive outcomes) : પ્રયોગમાં મળતાં તમામ શક્ય પરિણામોને સમગ્રલક્ષી પરિણામો કહે છે; દા.ત., 52 પત્તાંની જોડનાં 52 પત્તાં સમગ્રલક્ષી પરિણામો છે; સિક્કાની બે બાજુએ મળતા H અને T તેમજ પાસો ફેંકતાં મળતી સંખ્યા 1થી 6 એ સમગ્રલક્ષી પરિણામો છે.

(ઊ) સાનુકૂળ પરિણામો (favourable outcomes) : એવાં પરિણામો કે જે કોઈ ઘટના બને (કે ન બને) તે માટેની અનુકૂળતા દર્શાવતા હોય; દા.ત., પાસો ફેંકતાં એકી સંખ્યા મળે તે માટેનાં ત્રણ પરિણામો (1, 3, 5); પત્તું ખેંચતાં લાલનું પત્તું જ મળે તે માટેનાં 13 પરિણામો (લાલના એકાથી દસ્સા સુધીનાં પાનાં).

ઉપરની સમજૂતીને આધારે હવે જો કોઈ ઘટના માટેનાં કુલ શક્ય n પરિણામો હોય અને તેમાંનાં m પરિણામો ઘટના A બને તે માટેનાં સાનુકૂળ પરિણામો હોય તો ઘટના A બને તે માટેની સંભાવનાને P(A) સંકેત વડે દર્શાવતાં નીચેનું સૂત્ર મળે છે :

ઉદાહરણ : (1) છ બાજુવાળો પાસો ફેંકતાં પાસા ઉપર બેકી સંખ્યા મળે તે ઘટનાની સંભાવના = 3/6 = 1/2.

(2) 52 પત્તાંની જોડમાંથી કોઈ એક પત્તું યદૃચ્છ રીતે ખેંચતાં ફુલ્લીની રાણીનું પત્તું મળે તે ઘટનાની સંભાવના = .

(3) એક પેટીમાં 5 લાલ અને 7 લીલા રંગના દડાઓ છે. કોઈ પણ એક દડો યદૃચ્છ રીતે પસંદ કરતાં તે દડો લીલા રંગનો હોય તે માટેની સંભાવના =  (આનું અર્થઘટન એમ પણ થાય કે 5 લાલ અને 7 લીલા રંગના દડાઓમાંથી ગમે તે એક દડો પસંદ કરતાં લીલો દડો મળવાની 58 % (0.58) શક્યતા છે.)

ઉપરની વ્યાખ્યાને આધારે નીચેના ગુણધર્મો તુરત જોઈ શકાય છે :

(i) જો m = n હોય તો P(A) = 1.

        એટલે કે ઘટના A નિશ્ચિત જ હોય તો તે માટેની સંભાવના 1 થશે.

(ii) જો m = 0 હોય તો P(A) = 0 છે.

        એટલે કે અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય થાય છે.

(iii) સામાન્ય રીતે m < n હોવાથી P(A) < 1 થશે.

આમ, 0 જ્ર P(A) જ્ર 1 થશે એટલે કે કોઈ ઘટના બનવા માટેની સંભાવના હંમેશાં 0 અને 1ની વચ્ચે જ આવી શકે છે.

(iv) જો ઘટના A બનવાની સંભાવના P(A) હોય તો તે ન બનવાની સંભાવના 1  P(A) થશે. (દા.ત., અગાઉ આપેલા ઉદાહરણમાં લીલો દડો ન મળે તે માટેની સંભાવના  એટલે કે 0.42 થશે.)

આપેલી વ્યાખ્યામાં કેટલીક મર્યાદાઓ જોવા મળે છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

મર્યાદાઓ : (1) જો કુલ સમગ્રલક્ષી પરિણામોની સંખ્યા અનિશ્ચિત (અનંત) હોય તો આ વ્યાખ્યા પરથી સંભાવના મળી શકતી નથી.

(2) ઘણી વાર વ્યવહારમાં સમસંભાવી પરિણામોની અભિવ્યક્તિ સ્પષ્ટ સ્વરૂપે થઈ શકતી નથી.

(3) હંમેશાં સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યાની ગણતરી સ્પષ્ટ નથી હોતી.

(4) આ વ્યાખ્યામાં માત્ર સૈદ્ધાન્તિક ખ્યાલ રખાયો હોવાથી પ્રત્યેક પરિસ્થિતિમાં તે સંભાવનાનું સાચું સ્વરૂપ સમજાવી શકતી નથી.

આ મર્યાદાઓને કારણે હવે સંભાવનાની બીજી વ્યાખ્યા જે સાંખ્યિકીય વ્યાખ્યા કહેવાય છે તે પ્રસ્તુત છે.

(2.2) સંભાવનાની સાંખ્યિકીય વ્યાખ્યા (statistical definition of probability) : જો સમાન પરિસ્થિતિમાં કોઈ એક પ્રયોગ માટેનાં પુનરાવર્તનો શક્ય હોય અને તેનાં બધાં જ પરિણામો પરસ્પર નિરપેક્ષ હોય અને આવાં કુલ n પરિણામોમાંથી કોઈ ઘટના A બને તે માટેનાં m પરિણામો હોય તો ઘટના A બનવાની સંભાવના  ગુણોત્તર આપે છે, જે સાપેક્ષ આવૃત્તિ દર્શાવે છે. જો nની કિંમત ઘણી મોટી હોય તો આ ગુણોત્તર એક સ્થિર કિંમત ધારણ કરે છે, જે ઘટના A માટેની સંભાવના આપે છે.

આમ, ઘટના A બનવાની સંભાવના = P(A) =   છે.

(નોંધ : અહીં n જેમ મોટો થાય તેમ m પણ પ્રમાણમાં વધે છે અને તેથી ગુણોત્તર  સાન્ત બને છે.)

સંભાવનાની આ વ્યાખ્યાને વ્યવહારુ કે સાપેક્ષ આવૃત્તિ(Relative Frequency)ની વ્યાખ્યા તરીકે ઓળખી શકાય.

(2.3) સંભાવનાની અર્થપૂરક વ્યાખ્યા (subjective definition of probability) : કોઈ ઘટના બનવાની સંભાવનાને માત્ર અર્થપૂરક ધારણાને આધારે જ્યારે 0 અને 1ની વચ્ચેની સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવે ત્યારે તેને સંભાવનાની અર્થપૂરક વ્યાખ્યા કહે છે.

આ સમજવા માટે નીચેનાં કેટલાંક વિધાનોની તપાસ જરૂરી છે :

(ક) આ વર્ષે સારો વરસાદ થયો હોઈ શક્ય છે કે 12 આની પાક થાય. (સંભાવના =  = 0.75)

(ખ) ફેબ્રુઆરી માસમાં અમદાવાદ શહેરમાં તાપમાન 8 ડિગ્રીથી નીચે જાય તેવી 33 % શક્યતા છે. (સંભાવના =  = 0.33)

(ગ) 2007ના વર્ષમાં આવતા બજેટ-સત્ર અગાઉ શૅરબજારનો BSE આંક 15,000 સુધી પહોંચે તેની 65 % શક્યતા છે. (સંભાવના =  = )

(ઘ) અમદાવાદ શહેરના મોટા મોલમાં સંભવત: 60 % લોકો માત્ર Window shopping કરે છે; વગેરે, જેમના દ્વારા અર્થપૂરક વ્યાખ્યાનો ખ્યાલ આવે છે.

ઉપરની ત્રણેય વ્યાખ્યાનાં સ્વરૂપો સમજવામાં સરળ હોવા છતાં તેના આધારે વિશેષ ગાણિતિક પરિણામો મેળવવાનું મુશ્કેલ બને છે. ઘટનાનાં પરિણામોની વિવિધતાને કારણે એ જરૂરી બને છે કે ચોક્કસ ધોરણો પ્રમાણે સંભાવના સમજાવી શકાય. આ માટે હવે સંભાવનાની ગણસિદ્ધાંતીય વ્યાખ્યા જોવી જોઈએ, જે મૂળભૂત સિદ્ધાંત ઉપર વધુ પ્રકાશ પાડે છે.

(2.4) સંભાવનાની ગણસિદ્ધાંતીય વ્યાખ્યા (set theoretic definition of probability) : કોઈ ઘટના Aને ગણ A તરીકે વ્યક્ત કરીએ અને તે માટેના પ્રત્યેક પરિણામને તે ગણના ઘટક કે નિદર્શબિંદુ x વડે દર્શાવીએ (x ીં A) તો આવાં તમામ સમસંભાવી પરિણામો માટેનો નિદર્શાવકાશ (sample space) S થશે. તેથી ઘટના A બનવાની સંભાવના =

અહીં Aમાં આવેલા નિદર્શબિંદુઓની સંખ્યા n(A)

અને Sમાં આવેલા નિદર્શબિંદુઓની સંખ્યા n(S) છે.

આ વ્યાખ્યા પ્રમાણે વેન-આકૃતિ દ્વારા તેની અભિવ્યક્તિ પણ થઈ શકે છે :

A ૈં S છે.

નોંધ : ઉપરની વેન-આકૃતિ અનુસાર હવે નીચેનાં પરિણામો સ્પષ્ટ થાય છે :

(i) 0 જ્ર P(A) જ્ર 1

(ii) ઘટના A નહિ બનવાની સંભાવના

        = પૂરક ઘટના A^ બનવા માટેની સંભાવના.

        A ફ્ A^ = S

        P(S) = 1 િ P(A ફ્ A^) = 1

(iii) P(A^) =  = 1  P(A)

(iv) A ેં S = f િ P (f) = 0.

આમ, નિશ્ચિત ઘટના બનવાની સંભાવના 1 છે અને અશક્ય ઘટના માટેની સંભાવના શૂન્ય છે.

(વ્યવહારુ ઉદાહરણ : (i) સૂર્ય પશ્ચિમમાં ઊગે તે અશક્ય ઘટના હોવાથી તેની સંભાવના શૂન્ય થશે.

(ii) છ બાજુવાળા બે સમતોલ પાસાને એકસાથે ફેંકતાં તે પાસાઓ ઉપર મળતી સંખ્યાનો કુલ સરવાળો 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 અથવા 12 આવે તે માટેની સંભાવના 1 થશે.)

આ વ્યાખ્યાને આધારે હવે બે કે તેથી વધુ ઘટનાઓ માટેની સંભાવના માટેનાં કેટલાંક પ્રમેયો જોવાં જરૂરી છે.

પ્રમેય (1) : નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી કોઈ બે ઘટનાઓ A અને B માટે

P(A ફ્ B) = P(A) + P(B)  P(A ેં B)

અહીં P(A ફ્ B) = A અને B બેમાંથી ગમે તે કોઈ એક ઘટના બને તે માટેની સંભાવના છે :

P = બંને ઘટનાઓ A અને B બને તે માટેની સંભાવના P(A ેં B) છે.

P(A) = ઘટના A બને તે માટેની સંભાવના

P(B) = ઘટના B બને તે માટેની સંભાવના

શરતી સંભાવના : કેટલીક વાર ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર પ્રભાવક હોય છે. જો ઘટના A બની હોય તો Bના બનવાની સંભાવના વધી જાય કે ઘટી જાય તેવું બને. ક્રિકેટમાં કોઈ બૅટ્સમૅને 10 રન કર્યા હોય ત્યારે તે સદી કરશે તેની સંભાવના ઓછી ગણાય પણ તેણે 90 રન કર્યા હોય ત્યારે તે સદી કરશે તેની સંભાવના ઘણી વધુ હોય છે. ઘટના A બની ચૂકી હોય તો ઘટના B બનવાની સંભાવનાને P(B/A) કહેવાય છે. એ જ પ્રમાણે P(A/B) પણ સમજી શકાય. A અને B બંને ઘટનાઓ બને તે માટેની સંભાવના P(A ેં B)ને ઉપરની બે શરતી સંભાવના સાથે નીચેનો સંબંધ છે.

પ્રમેય 2 : P(A ેં B) = P(A) P(B/A) = P(B). P(A/B).

આમ P(B/A) = .

ઘટનાઓ A અને B બંને બની હોય તે શરતે ઘટના Cની સંભાવનાને P(C/A, B)થી દર્શાવાય છે.

પ્રમેય 2ના જેવું ત્રણ ઘટનાઓ માટેનું પરિણામ

P(A ેં B ેં C) = P(A). P(B/A). P(C/A, B) છે.

જો અમુક ઘટનાઓ પરસ્પર પ્રભાવક ન હોય એટલે કે તેમાંની એકના બનવા કે ન બનવાથી બીજીની સંભાવના પર પ્રભાવ ન પડતો હોય તો તેવી ઘટનાઓ નિરપેક્ષ (independent) કહેવાય છે. ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ હોય ત્યારે P(A/B) = P(A) હોય છે. ઉપરનાં પરિણામો બતાવે છે કે જ્યારે A, B, C ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોય ત્યારે

P(A ેં B) = P(A) P(B),

તથા P(A ેં B ેં C) = P(A) P(B) P(C).

પ્રમેય 1 જેવું ત્રણ ઘટનાઓ માટેનું પરિણામ નીચે મુજબ છે :

P(A ફ્ B ફ્ C) = P(A) + P(B) + P(C)

         P(A ેં B)  P(B ેં C)  P(C ેં A)

        + P(A ેં B ેં C).

અહીં P(A ફ્ B ફ્ C) તે A, B, Cમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની અને P(A ેં B ેં C) એ ત્રણેય ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના દર્શાવે છે.

જો બે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોય તો એ બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે. આમ, A, B, C પરસ્પર નિવારક હોય તો P(A ેં B) = 0, P(B ેં C) = 0, P(C ેં A) = 0, P(A ેં B ેં C) = 0.

તેથી આ સંજોગોમાં P(A ફ્ B) = P(A) + P(B)

અને P(A ફ્ B ફ્ C) = P(A) + P(B) + P(C).

ઉપરનાં પરિણામો સમજવા માટે કેટલાંક ઉદાહરણો જોઈએ :

ઉદાહરણ 1 : અમદાવાદ સ્ટેશન અને મુંબઈ સ્ટેશન એમ બે સ્થળેથી ઊપડતી ટ્રેનોમાં બે સેલ્સમૅન કંપનીની મિટિંગમાં હાજરી આપવા દિલ્હી જવા નીકળે છે. જો અમદાવાદથી દિલ્હી જતી ટ્રેન સમયસર પહોંચે તે માટેની ઘટનાને A કહીએ અને મુંબઈથી દિલ્હી જતી ટ્રેન સમયસર પહોંચે તે માટેની ઘટનાને B કહીએ તો અગાઉના અનુભવને આધારે P(A) = 0.93, P(B) = 0.89 અને P(A ેં B) = 0.87 છે એમ જાણીતું છે. આને આધારે બેમાંથી ગમે તે એક ટ્રેન સમયસર પહોંચે તે માટેની સંભાવના કેટલી થશે ?

ઉકેલ : P(A ફ્ B) = P(A) + P(B)  P(A ેં B) પરથી મળતી માંગેલી સંભાવના        = 0.93 + 0.89  0.87

        = 0.95

ઉદાહરણ 2 : એક સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષામાં 30 વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાના છે. કુલ 600 વિદ્યાર્થીઓ લેખિત પરીક્ષામાં બેઠા છે અને તેમાંથી 100 વિદ્યાર્થીઓને ઇન્ટરવ્યૂ માટે બોલાવવાના છે. આ ઉપરથી જો કોઈ વિદ્યાર્થીને ઇન્ટરવ્યૂ માટે બોલાવેલ હોય તો તેને માટે પસંદ થવાની સંભાવના કેટલી ?

ઉકેલ : ઘટના A ડ્ડ વિદ્યાર્થીને ઇન્ટરવ્યૂ માટે બોલાવવો તે

        ઘટના B ડ્ડ તે વિદ્યાર્થીની પસંદગી થવી

P(A) =  =

P(B/A) = વિદ્યાર્થીને ઇન્ટરવ્યૂ માટે બોલાવ્યો હોય તે શરતે તે વિદ્યાર્થીની પસંદગી થશે તે માટેની સંભાવના

\ P(B/A) =  =

તેથી ઇન્ટરવ્યૂ માટે બોલાવેલ વિદ્યાર્થીની પસંદગી થાય તે માટેની સંભાવના, P(A ેં B) = P(A) ્ર P(B/A)

               =  ત્  = .

ઉદાહરણ 3 : એક ફૅક્ટરીના 50 કર્મચારીઓની માહિતી નીચે પ્રમાણે છે :

પ્રકાર           જાતિ

        પુરુષ           સ્ત્રી

ટૅક્નિકલ        7               3

નૉન-ટૅક્નિકલ  23             17

ગમે તે એક કર્મચારીની પસંદગી યદૃચ્છ રીતે કરવામાં આવે તો (i) કર્મચારી ટૅક્નિકલ હોય તેમ આપેલું હોય અને તે પુરુષ હોય (ii) કર્મચારી નૉન-ટૅક્નિકલ હોય તેમ આપેલું હોય અને તે પુરુષ હોય (iii) કર્મચારી પુરુષ છે એમ જ્ઞાત હોય અને તે ટૅક્નિકલ હોય અને (iv) કર્મચારી સ્ત્રી હોય તેમ જ્ઞાત હોય અને તે નૉન-ટૅક્નિકલ હોય તે માટેની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ : ઘટના A ડ્ડ પસંદ કરેલ કર્મચારી પુરુષ છે

        ઘટના A^ ડ્ડ પસંદ કરેલ કર્મચારી સ્ત્રી છે

        ઘટના B ડ્ડ પસંદ કરેલ કર્મચારી ટૅક્નિકલ છે

        ઘટના B^ ડ્ડ પસંદ કરેલ કર્મચારી નૉન-ટૅક્નિકલ છે.

	પ્રકાર	જાતિ
	પુરુષ	સ્ત્રી	કુલ	ઘટના
ટૅક્નિકલ	7	3	10	B
નૉન-ટૅક્નિકલ	23	17	40	B’
કુલ	30	20	50
ઘટના	A	A’

(i) કર્મચારી ટૅક્નિકલ હોય તે જ્ઞાત હોય અને તે પુરુષ હોય તે માટેની સંભાવના = P (A / B).

P(A / B) =

P(A ેં B) = , P(B) =

\ P(A / B) = .

(ii) કર્મચારી નૉન-ટૅક્નિકલ હોય તેમ આપેલું હોય અને તે પુરુષ હોય તે માટેની સંભાવના

= P(A / B^) =  =  = .

(iii) કર્મચારી પુરુષ હોય એમ આપેલું હોય અને તે ટૅક્નિકલ હોય તે માટેની સંભાવના

= P (B / A) =  =  = .

(iv) કર્મચારી સ્ત્રી હોય તેમ જ્ઞાત છે અને તે નૉન-ટૅક્નિકલ હોય તે માટેની સંભાવના

= P (B^ / A^) =  =  = .

પ્રમેય 3 : બેઇઝનું પ્રમેય (Baye’s Theorem)

(I) બે ઘટનાઓ માટે

જો B₁ અને B₂ બે પરસ્પર નિવારક અને સમગ્રલક્ષી ઘટનાઓ હોય તથા P(B₁), P(B₂), P(A / B₁) અને P(A / B₂) જ્ઞાત હોય તથા P(A) દ 0 હોય તો

P(B₁ / A) =

અને P(B2 / A) =

નોંધ : (1) ઉપરનું પ્રમેય શરતી સંભાવનાનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે.

(2) આ પરિણામોને આ પ્રમાણે પણ લખી શકાય :

    P(B₁ / A) =

અને P(B₂ / A) =

જ્યાં P(A ેં B₁) = P(B1) ્ર P(A / B₁)

    P(A ેં B2) = P(B2) ્ર P(A / B2)

અને P(A) = P(A ેં B1) + P(A ેં B2)

         = P(B1) ્ર P(A / B1) + P(B2) ્ર P(A / B2)

(3) આ પ્રમેય દ્વારા આપેલી મર્યાદિત માહિતીને આધારે મેળવેલા સંભાવનાઓના પ્રાથમિક અંદાજો (prior estimates) પરથી નવી શરતીય સંભાવનાઓના પશ્ર્ચાદ્ અંદાજો (posterior estimates) મેળવી શકાય છે. તેથી આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓમાં સંભાવનાના અભ્યાસને આધારે બેઇઝનું આ પ્રમેય એક શક્તિશાળી સાધન બની રહે છે. સંભાવના માટેના આધુનિક અભિગમોમાં તેથી આ પ્રમેયનું મહત્ત્વ વધી જાય છે. નિર્ણય લેવાની આધુનિક પદ્ધતિ હવે બેઇઝના નિર્ણય-સિદ્ધાન્ત (Bayesian Decision Theory) તરીકે ઓળખાય છે. આંકડાશાસ્ત્રીય નિર્ણાયકતા સિદ્ધાંત(Statistical Decision Theory)ના હાર્દમાં આ પરિણામ મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે.

(II) ત્રણ ઘટનાઓ માટે બેઇઝનું પ્રમેય

જો B₁, B₂ અને B₃ ત્રણ પરસ્પર નિવારક અને સમગ્રલક્ષી ઘટનાઓ હોય તથા i = 1, 2, 3 માટે P(Bi), P(A / Bi) જ્ઞાત હોય અને P(A) દ 0 હોય તો

P(Bi / A) =  (i = 1, 2, 3)

જેને P(Bi / A) =  (i = 1, 2, 3)

તરીકે લખી શકાય કે જ્યાં

P(A ેં Bi) = P(Bi)્રP(A / Bi) (i = 1, 2, 3)

અને P(A) =  P(Bi)્રP(A / Bi)

(III) n ઘટનાઓ માટે બેઇઝના પ્રમેયનું વિસ્તૃતીકરણ

જો B₁, B₂, …… Bn એ પરસ્પર નિવારક અને સમગ્રલક્ષી n ઘટનાઓ હોય તથા i = 1, 2, …… n માટે P(Bi) અને P(A / B_i) જ્ઞાત હોય અને P(A) દ 0 હોય તો

P(Bi / A) =  (i = 1, 2, …… n)

જેને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :

P(Bi / A) =  (i = 1, 2, …… n)

જ્યાં P(A ેં Bi) = P(Bi) ્ર P(A / Bi) (i = 1, 2, …… n)

અને P(A) =  P(Bi) ્ર P(A / Bi)

ઉદાહરણ 4 : બૉલબેરિંગ બનાવતી ત્રણ ફૅક્ટરીઓ અનુક્રમે બૉલબેરિંગના કુલ ઉત્પાદનના 25 %, 35 % અને 40 % જેટલું ઉત્પાદન કરે છે. આ ઉત્પાદનોમાંથી જે તે ફૅક્ટરી માટેનાં અનુક્રમે 5 %, 4 % અને 2 % જેટલું ઉત્પાદન ખામીભર્યું છે. જો ઉત્પાદિત જથ્થામાંથી યદૃચ્છ રીતે એક બૉલબેરિંગને પસંદ કરવામાં આવે તો તે ખામીવાળું જણાય છે. આ ઉત્પાદન બીજી ફૅક્ટરી Bમાંથી થયું હોય તેની સંભાવના કેટલી ?

ઉકેલ : ત્રણ ફૅક્ટરીઓને I, II અને III તરીકે અહીં ઓળખાવી.

ઘટના B₁ ડ્ડ બૉલબેરિંગ ફૅક્ટરી Iમાં ઉત્પાદિત થયું.

ઘટના B₂ ડ્ડ બૉલબેરિંગ ફેક્ટરી IIમાં ઉત્પાદિત થયું.

ઘટના B₃ ડ્ડ બૉલબેરિંગ ફેક્ટરી IIIમાં ઉત્પાદિત થયું.

તેથી P(B₁) = 0.25, P(B₂) = 0.35, P(B₃) = 0.40. આ ત્રણેય ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક અને સમગ્રલક્ષી છે. હવે ઘટના A ડ્ડ પસંદ કરેલ બૉલબેરિંગ ખામીવાળું છે.

તેથી P(A / B₁) = ફૅક્ટરી Iમાં ઉત્પાદિત થયેલું બૉલબેરિંગ ખામીવાળું હોવાની સંભાવના

P(A / B₂) = ફૅક્ટરી IIમાં ઉત્પાદિત બૉલબેરિંગ ખામીવાળું હોવાની સંભાવના

P(A / B₃) = ફૅક્ટરી IIIમાં ઉત્પાદિત બૉલબેરિંગ ખામીવાળું હોવાની સંભાવના

આપેલી માહિતી પરથી  P(A / B₁) = 0.05

        P(A / B₂) = 0.04

             અને       P(A / B₃) = 0.02

હવે યદૃચ્છ રીતે ઉત્પાદિત જથ્થામાંથી એક બૉલબેરિંગ પસંદ કરતાં તે ખામીવાળું જણાય છે અને તે ફૅક્ટરી B દ્વારા ઉત્પાદિત થયું હોય તે માટેની સંભાવના શોધવી છે. આ સંભાવના = P(B₂ / A)

બેઇઝનાં પ્રમેયના આધારે

P(B2 / A) =

=

\ P(B2 / A) =  =

3. સંભાવનાની સ્વયંસત્યતાપૂર્ણ વ્યાખ્યા (axiomatic definition of probability) : સંભાવનાની વ્યાખ્યાના આધુનિક ખ્યાલ પ્રમાણે સ્વયંસત્યતાપૂર્ણ વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે :

વ્યાખ્યા : સંભાવના એ એક વાસ્તવિક કિંમત ધરાવતું ગણ વિધેય (set function) P છે. જે નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલ પ્રત્યેક ઘટના A માટે કોઈ એક સંખ્યા P(A) ધારણ કરે છે અને તેને ઘટના A બનવા માટેની સંભાવના કહેવામાં આવે છે.

આ માટે નીચે પ્રમાણેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ :

(1) P(A) થ્ 0

(2) P(S) = 1

(3) જો A1, A2, A3, ……… નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી ઘટનાઓ હોય અને Ai ેં Aj = f (જ્યાં i દ j) તો પ્રત્યેક ઘનપૂર્ણાંક K માટે P(A1 ફ્ A2 ફ્ …….. ફ્ AK) = P(A1) + P(A2) + ………. + P(Ak) અને અનંત છતાં ગણ્ય ઘટનાઓની સંખ્યા માટે P(A1 ફ્ A2 ફ્ A3 ફ્ ……….) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ……….

નોંધ : ઉપરની વ્યાખ્યા સંભાવનાના ખ્યાલને કોઈ પણ પ્રકારની સંદિગ્ધતા વગર સ્પષ્ટપણે રજૂ કરે છે. હવે સંભાવના અંગેનાં કેટલાંક અગત્યનાં પરિણામો પ્રસ્તુત છે :

પ્રમેય (4) : નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી n ઘટનાઓ A1, A2, ….. An પરસ્પર નિવારક હોય તે જરૂરી નથી એવા પ્રકારની છે. આમાંની ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તે માટેની સંભાવના નીચે પ્રમાણે છે :

P Ai = S1  S2 + S3  ………. + (1)n1 Sn

જ્યાં S1 =  P(Ai), S2 =  P(AiAj), S3 =  P(AiAjAk)

        ……………….

Sn = P(A1A2 …….. An).

પ્રમેય 5 : બુલની અસમતા (Boole’s Inequality) નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી ઘટનાઓ A₁, A₂, …… A_n (n > 1) માટે

P  જ્ર  P(Ai)

[નોંધ : બે ઘટનાઓ A₁, A₂ માટે ઉપરની અસમતાને આધારે P(A₁ ફ્ A₂) જ્ર P(A₁) + P(A₂) થશે.]

પ્રમેય 6 : બોનફેરોનીની અસમતા (Bonferroni’s Inequality) નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી ઘટનાઓ A₁, A₂, ….. An (n > 1) માટે

 P(Ai)   P (AiAj)

જ્ર P  જ્ર

પ્રમેય 7 : નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી ઘટનાઓ A1, A2, ….. An માટે બરોબર r ઘટનાઓ (1 જ્ર r જ્ર n) બને તે માટેની સંભાવના

P[r] = Sr   Sr+1 +  Sr+2  ……… ણ્  Sn

જ્યાં Sr+1, Sr+2, ….. Sn વગેરેનો અર્થ અગાઉના પ્રમેયમાં દર્શાવ્યા અનુસાર છે.

ઉપપ્રમેય : નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી n ઘટનાઓ A1, A2, ….. Anમાંથી ઓછામાં ઓછી r ઘટનાઓ બને તે માટેની સંભાવના

P[r] + P[r+1] + ……. + P[n]

જ્યાં P[r] = r ઘટનાઓ બને તે માટેની સંભાવના છે, વગેરે……

પ્રમેય 8 : સાતત્યતાનું પ્રમેય

જો નિદર્શાવકાશ Sમાં આવેલી ઘટનાઓ માટે {An} એ એકલક્ષી શ્રેણિ (monotone sequence) હોય તો

P An =  {P(An)}.

4. સંભાવનાનો વિસ્તૃત અભ્યાસ : સૈદ્ધાન્તિક સ્વરૂપના વૈવિધ્ય તેમજ વ્યવહારુ ઉપયોગની વિશાળતાને કારણે સંભાવનાનો વિસ્તૃત અભ્યાસ ઘણો જ રસપ્રદ છે. ઉપરની રજૂઆતોમાં સંભાવનાની પરિમાણાત્મક સિદ્ધાન્તની વ્યાખ્યા(Definition of Probability in terms of Measure Theory)ની ચર્ચા સ્થળસંકોચને કારણે કરી નથી. સંભાવનાની ઉપયોગિતા અનેક ક્ષેત્રોમાં આવતી વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં જોવા મળે છે. નીચે કેટલાંક ઉદાહરણો આપેલાં છે, જેના પરથી આનું મહત્ત્વ સ્પષ્ટ થશે :

(1) સારી રીતે ચીપેલાં સમાન પત્તાંઓવાળા બે ગંજીફાને પરસ્પર ગોઠવીને તેમાંની જોડીઓને સરખાવવાની છે. ઓછામાં ઓછી એક જોડી મળી રહે તે માટેની સંભાવના કેટલી ? આ પ્રકારની સમસ્યા જોડીની સમસ્યા (matching problem) તરીકે ઓળખાય છે.

(2) આપેલી r પેટીઓમાં n દડાઓને યદૃચ્છ રીતે વહેંચી દેવામાં આવે છે. કોઈ પણ પેટીમાં એકથી વધુ દડો ન આવે તે માટેની સંભાવના કેટલી ? આ પ્રકારનો પ્રશ્ન સ્થાનપૂરકતાનો પ્રશ્ન (occupancy problem) કહેવાય છે.

(3) n દડાઓને r પેટીઓમાં યદૃચ્છ રીતે મૂકવાના છે. તો બરોબર K પેટીઓ ખાલી રહે તે માટેની સંભાવના કેટલી ? આ સમસ્યા ખાલી પેટીઓની સમસ્યા (number of empty boxes) તરીકે ઓળખાય છે.

સંભાવનાના વિસ્તૃતીકરણ માટેનાં આવાં અનેક ઉદાહરણો છે. સંભાવના-વિતરણ, વિતરણ-વિધેય, સંભાવના-સર્જક-વિધેય વગેરે માટે તેના મૂળમાં સંભાવનાનો ખ્યાલ રહેલો છે. કોઈ પણ આંકડાકીય વિધાન સંભાવનાના સંદર્ભ વગર અધૂરું છે. આંકડાકીય વિતરણોનો અભ્યાસ, પરિકલ્પના-પરીક્ષણ, નિદર્શન-પદ્ધતિ વગેરે માટે સંભાવના મૂળભૂત પાયો છે. સંભવિત પદ્ધતિઓ (stochastic processes) અને તેની ઉપયોગિતાઓ માટે સંભાવનાનો અભ્યાસ જરૂરી બની રહે છે. સંભાવનાની ઉપયોગિતાની વિશદ ચર્ચા અહીં કરવાનું મુશ્કેલ છે; કેમ કે એટલો મોટો વિસ્તૃત ફલક છે કે જે વિશે લખતાં-વિચારતાં અંત ન આવે. આ લેખમાં તેથી માત્ર કેટલાક પાયાના સિદ્ધાંતો, વ્યાખ્યાઓ, જરૂરી પરિણામો અને પસંદ કરેલાં કેટલાંક ઉદાહરણોનો જ અભ્યાસ કરાવાયો છે. વિસ્તૃત અભ્યાસ માટે જે તે સંદર્ભગ્રંથોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી બને છે.

ભરત ભી. જાની

રાજશ્રી ગોપાલ ભટ્ટ