เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟ (Number System)
January, 2007
เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟ (Number System) : เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฅเซ เชถเชฐเซ เชเชฐเซ เชเซเชฐเชฎเชถ: เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ, เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเช, เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชคเชฅเชพ เชเซเชฒเซเชฒเซ เชธเชเชเชฐ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชธเซเชงเซ เชตเชฟเชเชธเชคเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ.
เชเชฃเชฟเชคเชเซเช เชเซเชฐเซเชจเซเชเชฐเซ เชเชนเซเชฏเซเช เชเซ เชเซ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเช 1, 2, 3, 4, ……… เชเชถเซเชตเชฐเชฆเชคเซเชค เชเซ, เชฌเชพเชเซ เชฌเชงเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชฎเชพเชจเชตเซเชจเซเช เชธเชฐเซเชเชจ เชเซ. เชฎเชพเชจเชตเซ เชเชฃเชคเชฐเซ เชเชฐเชคเซ เชฅเชพเชฏ เชเชเชฒเซ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชเชณเชเชคเซ เชฅเชพเชฏ. เชคเซเชฎเชจเชพ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ, เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชตเชเซเชฐเซ เชเซเชฐเชฟเชฏเชพเชเชฅเซ เชชเชฐเชฟเชเชฟเชค เชฅเชพเชฏ; เชชเชฐเชเชคเซ เชเซเชฎ เชเซเชฎ เชคเซเชจเชพ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเซ เชตเชงเชคเชพ เชเชพเชฏ เชคเซเชฎ เชเซเชตเชณ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซเช เชเซเชเชพเชจ เช เชชเซเชฐเชคเซเช เชเซ เชเชฎ เชคเซเชจเซ เชฒเชพเชเซ. 3 เชตเชธเซเชคเซเช 5 เชตเซเชฏเชเซเชคเชฟเช เชตเชเซเชเซ เชธเชฐเชเซ เชญเชพเชเซ เชตเชนเซเชเชเชตเชพเชจเซ เชนเซเชฏ เชคเซ เชฆเชฐเซเชเชจเซ เชญเชพเชเซ เชเซเชเชฒเซ เชตเชธเซเชคเซ เชเชตเซ เชคเซเชจเซ เชเชคเซเชคเชฐ เชเซเช เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชคเชฐเซเชเซ เชจ เชฎเชณเซ. เช เช เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ 8เชฎเชพเชเชฅเซ 10 เชฌเชพเชฆ เชเชฐเซเช เชคเซเชชเชฃ เชเชตเชพเชฌเชฎเชพเช เชเซเช เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชจ เชฎเชณเซ. เชเชฎ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเช เช เชชเซเชฐเชคเซ เชเซ เชเชฎ เชฎเชพเชจเชตเซเชจเซ เชธเชฎเชเชพเชฏ เช เชจเซ เชคเซเชจเซ เช เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ เชเซ เชเชฃ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซเชจเซ เชเชฐเซเชฐ เชฒเชพเชเซ. เช เชฌเชงเซ เชเชฐเซเชฐเชคเซ เชชเซเชฐเซ เชเชฐเชตเชพ เชฎเชพเชจเชตเซ เชจเชตเซ เชจเชตเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชฌเชจเชพเชตเชคเซ เชเชฏเซ เช เชจเซ เชเชฎ เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟ เชตเชฟเชเชธเชคเซ เชเช. เชเชคเชฟเชนเชพเชธเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชคเซ เช เชฌเชงเซ เชตเชฟเชเชพเชธ เชเซเชฏเชพเชฐเซ เชเซ เชเชฐเซเชฐ เชชเชกเซ เชคเซ เชธเชเชคเซเชทเชตเชพ เชฎเชพเชเซ เชคเชพเชคเซเชเชพเชฒเชฟเช เชชเชเชฒเชพเช เชฒเช เชฅเชคเซ เชนเชคเซ เชชเชฃ เชเชเชฃเซเชธเชฎเซ เชธเชฆเซเชฎเชพเช เชเชเชพเชฒเชฟเชฏเชจ เชเชฃเชฟเชคเซ เชชเซเชเชจเซเช เช เชตเชฟเชเชพเชธเชจเซ เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซเชฏ เชชเชพเชฏเชพ เชชเชฐ เชฎเซเชเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟเชจเซ เชตเซเชเซเชเชพเชจเชฟเช เชเชฎเชพเชฐเชค เชเชญเซ เชเชฐเซ. เชชเซเชเชจเซเช เชเซเชฏเซเช เชเซ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ Nเชฎเชพเช เชคเซเชจเซ เชฒเชเซเชคเชฎ เชธเชเชเซเชฏเชพ 1เชจเซเช เชตเชฟเชถเซเชท เชฎเชนเชคเซเชคเซเชต เชเซ. เชตเชณเซ เชฆเชฐเซเช เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชจเซ เชเช เช เชจเซเชเชพเชฎเซ (successor) เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ. 1เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ 2, 2เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ 3 เชตเชเซเชฐเซ เชเซ. เชตเชณเซ เช เชฐเซเชคเซ เชเชฐเชคเชพเช เชตเชนเซเชฒเชพเช เชเซ เชฎเซเชกเชพเช เชฆเชฐเซเช เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชธเซเชงเซ เชชเชนเซเชเชเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ; เชฆเชพ.เชค., 25 เชเช เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ เชคเซ 1เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ 2, 2เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ 3, 3เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ 4 เชเชฎ เชเชฐเชคเชพเช เชเชฐเชคเชพเช เชเซเชตเชเซ 25 เชธเซเชงเซ เชชเชนเซเชเชเซ เช เชถเชเชพเชฏ เชคเซเชตเซ เชคเซเชฃเซ เชชเซเชฐเซเชตเชงเชพเชฐเชฃเชพ เชธเซเชตเซเชเชพเชฐเซ. (เช เช เชเชฃเชฟเชคเซเชฏ เช เชจเซเชฎเชพเชจเชจเซ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชเชค เชเซ.)
เช เชชเชเซ เชชเซเชเชจเซเช Nเชฎเชพเช เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเชชเซ. เชเซเช เชชเชฃ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ n เชฎเชพเชเซ n + 1 เชเชเชฒเซ nเชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ, n + 2 เชเชเชฒเซ n + (1เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ) เชเชเชฒเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ n + 2 เชเชเชฒเซ (n + 1)เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ. เช เช เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ n + 3 เชเชเชฒเซ n + 2เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ เช เชจเซ เชเชฎ เชเชเชณ. เช เชฐเซเชคเซ เชฌเชงเชพ เช n, m โ N เชฎเชพเชเซ n + mเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เช เชชเชพเช เชเชพเชฏ. เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเซ เช เชเซเชฐเชฟเชฏเชพ เชเซเชฐเชฎ เชคเซเชฎ เช เชเซเชฅเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎเชจเซ เช เชจเซเชธเชฐเซ เชเซ เชคเซ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ เชถเชเชพเชฏ.
เชนเชตเซ เชชเซเชเชจเซ Nเชฎเชพเช เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เช เชฐเซเชคเซ เชเชชเซ เชเซ. เชเซเช เชชเชฃ n โ N เชฎเชพเชเซ n.1 = n, n.2 = n + n, n.3 = 2n + n เชตเชเซเชฐเซ. เช เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชชเชฃ เชเซเชฐเชฎ เชคเชฅเชพ เชเซเชฅเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎเชจเซ เช เชจเซเชธเชฐเซ เชเซ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซเช เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชชเชฐ เชฅเชพเชฏ เชเซ.
Nเชฎเชพเช เชเซเชฐเชฎเชธเชเชฌเชเชง เชชเชฃ เชเซ. n, m โ N เชฎเชพเชเซ เชเซ k โ N เชเชตเซ เชฎเชณเซ เชเซ n + k = m เชคเซ n < m เชเชตเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเซ. Nเชจเชพ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเช เช เชฐเชฟเชเซเชค เชเชชเชเชฃเชฎเชพเช เชเช เชฒเชเซเชคเชฎ เชธเชญเซเชฏ เชนเซเชฏ เชเซ เชคเซ Nเชจเซ เชฒเชพเชเซเชทเชฃเชฟเช เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เชเซ. เชเชจเซ Nเชฎเชพเชเชจเซ เชธเซเชเซเชฐเชฎเชคเชพเชจเซ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชเชค (well-ordering principle) เชเชนเซ เชเซ.
Nเชฎเชพเช เชเซเชเชฒเซเช เชคเซเชฐเซเชเชฟเช เชชเชฃ เชเซ. เชเซ n, m โ N เชคเซ n + k = m เชฅเชพเชฏ เชคเซเชตเซ k โ N เชฎเชณเซ เช เชเชตเซ เชเซเช เชเชพเชคเชฐเซ เชจเชฅเซ (เชฌเซเชเชพ เชถเชฌเซเชฆเซเชฎเชพเช mย n Nเชฎเชพเช เช เชนเซเชฏ เชคเซเชฎ เชจ เชเชนเซ เชถเชเชพเชฏ), เช เช เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ nu = m เชฅเชพเชฏ เชคเซเชตเซ n โ Nเชฎเชพเช เชฎเชณเซ เชคเซ เชชเชฃ เชเชฐเซเชฐเซ เชจเชฅเซ.
เชเชตเซ เชคเซเชฐเซเชเชฟเช เชฆเซเชฐ เชเชฐเชตเชพ เชฎเชพเชเซ Nเชฎเชพเชเชฅเซ เชเชชเชฃเซ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเช เชเชฃ Zเชฎเชพเช (เชเซ เชคเซเชฅเซ เชชเชฃ เชเชเชณ) เชเชตเซเช เชชเชกเซ เชเซ.
Nเชฎเชพเชเชฅเซ Zเชฎเชพเช เชเชตเชพ เชฎเชพเชเซ Nเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซเชจเชพ เชเชฃเชจเซ S เชเชนเซเช. เชเซ (a, b) โ S, (c, d) โ S เชฎเชพเชเซ a + d = b + c เชนเซเชฏ เชคเซ (a, b) เช เชจเซ (c, d) เช เชฎเซเช เชธเชเชฌเชเชง Rเชฅเซ เชธเชเชเชณเชพเชฏเชพ เชเซ เชคเซเชฎ เชเชนเซเช เช เชจเซ (a, b) R (c, d) เชฒเชเซเช. เชฆเชพ.เชค., (5, 7) R (1, 3) เชเชพเชฐเชฃ เชเซ 5 + 3 = 7 + 1. เช เชธเชเชฌเชเชง เชธเชพเชฎเซเชฏเชธเชเชฌเชเชง เชเซ เชคเซเชฅเซ เชคเซ Sเชจเซเช เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเซเชฎเชพเช เชเชฐเซ เชเซ. เช เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเซเชจเชพ เชเชฃเชจเซ Z เชเชนเซเช, เช เชจเซ เชฆเชฐเซเช เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเชจเซ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเช เชเชนเซเชตเชพเชฏ. เชเซ เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเชฎเชพเช (a, b) เชเซ เชคเซเชจเซ [a, b] เชฒเชเซเช, เชคเซ [5, 7] = [1, 3], [1, 1] = [11, 11].
เชเชฎ Z = {[a, b]ย a, b โ N}
Zเชฎเชพเช เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเชตเซ เชเซ :
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
[a, b] [c, d] = [ac + bd, ad + bc]
(เช เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเช เชธเซเชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชเซ เชคเซเชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ เชถเชเชพเชฏ.)
เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซ เช เชเซเชฐเชฟเชฏเชพเช เชเซเชฐเชฎ, เชเซเชฅ เชคเชฅเชพ เชตเชฟเชญเชพเชเชจเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎเซเชจเซ เช เชจเซเชธเชฐเซ เชเซ. เชตเชณเซ
ย ย ย ย ย ย ย [a, b] + [x, x] = [a, b]
เชคเชฅเชพย ย ย [a, b] ยท [x + 1, x] = [a, b]
เชชเชฃ เชเชฐเซเช เชเซ. เช เชเชพเชฐเชฃเซ [x, x]เชจเซ เชถเซเชจเซเชฏ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เช เชจเซ เชคเซเชจเซ 0 เชฒเชเชพเชฏ เชคเชฅเชพ [x + 1, x]เชจเซ เชเช เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชคเชฅเชพ 1 เชฒเชเชพเชฏ. เช เชเชชเชฐเชพเชเชค เชเซเช เชเซ
ย ย ย ย ย ย ย [a, 0] + [b, 0] = [a + b, 0]
เชคเชฅเชพย ย ย [a, 0] [b, 0] = [ab, 0]
เชเชฎเชจเซ เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ (a) + (b) = a + b
ย ย ย ย ย ย ย เชคเชฅเชพย ย ย (a) (b) = ab
เชธเชพเชฅเซ เชธเชฐเชเชพเชตเชคเชพเช เชฆเซเชเชพเชฏ เชเซ เชเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชฎเชพเช [a, 0] aเชจเซ เชเซเชฎ เชตเชฐเซเชคเซ เชเซ. เช เชเชพเชฐเชฃเซ [a, 0]เชจเซ เชฌเชฆเชฒเซ a เช เชฒเชเชตเชพเชจเซ เชฐเชฟเชตเชพเช เชเซ.
เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซเชฏ เชฐเซเชคเซ เชเซ Zเชจเซ เชเชชเชเชฃ Nยด = {[a, 0]ย a โ N} เชฒเซเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ f : Nยด เชกเซเชก N เชเซเชฏเชพเช f ([a, 0]) = a เชคเซ Nยดเชฅเซ Nเชจเซ เชเชเชฐเซเชชเชคเชพ เชเซ. เชเชฎ N เชคเซ Zเชจเชพ เชเช เชเชชเชเชฃ Nยด เชธเชพเชฅเซ เชเชเชฐเซเชช เชเซ. N เชคเชฅเชพ Nยดเชจเซ เชธเชฐเชเชพ เชเชฃเชตเชพเชจเซเช เชฐเชเชพเชฏ (เชเชเชฒเซ เชเซ [a, 0] เชฎเชพเชเซ a เช เชฒเชเชพเชฏ) เชคเซ N เชชเซเชคเซ เช Zเชจเซ เชเชชเชเชฃ เชเซ เชคเซเชฎ เชเชฃเซ เชถเชเชพเชฏ.
เชนเชตเซ เชเซเช เชเซ เชเซเช เชชเชฃ [a, b] โ Z เชฎเชพเชเซ
ย ย ย ย ย ย ย ย [a, b] + [b, 0] = [a + b, b] = [a, 0]
เชคเซเชฅเซ [a, b] = [a, 0]ย [b, 0] = aย b
เชเชฎ เชนเชตเซเชฅเซ [a, b]เชจเซ เชธเซเชฅเชพเชจเซ aย b เชฒเชเซ เชถเชเชพเชฏ. เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ [a, 0] เช เชจเซ [0, a] เชฎเชพเชเซ [a, 0] + [0, a] = [a, a] = 0 เชคเซเชฅเซ [0, a] เชคเซ [a, 0]เชจเซ เชตเชฟเชฐเซเชงเซ เชเซ. [a, 0] เชฎเชพเชเซ a เชฒเชเซเช เชเซเช, เชคเซเชฅเซ [0, a] เชฎเชพเชเซย a เชฒเชเชพเชฏ. เชเชฎ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซเชจเซ เชเชฃ Z = {aย a โ N} U {aย a โ N} U {0}.
เชนเชตเซ Zเชฎเชพเช Nเชจเชพ เชนเชฟเชธเชพเชฌเซ เชเซ เชตเชงเชพเชฐเชพเชจเซ เชธเชเชตเชก เชเซ เชคเซ เช เชเซ เชเซ เชฌเซ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซเชจเซ เชฌเชพเชฆเชฌเชพเชเซ เชชเชฃ Zเชฎเชพเช เช เชนเซเชฏ เชเซ. เชฌเซเชเซ เชคเชฐเชซ Nเชฎเชพเช เชเซ เชธเซเชเซเชฐเชฎเชคเชพเชจเซ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเชเชค เชเซ เชคเซ Zเชฎเชพเช เชจเชฅเซ. เชฌเชงเชพ เช เชเชฃ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซเชจเชพ เชเชฃเชฎเชพเช เชเซเช เชฒเชเซเชคเชฎ เชธเชญเซเชฏ เชจเชฅเซ. Zเชฎเชพเช (Nเชจเซ เชเซเชฎ เช) เชเช เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เช เชเซ เชเซ เชเซเช เชชเชฃ n โ Z เชฎเชพเชเซ nเชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ n + 1 Zเชฎเชพเช เชเซ เชคเซเชฎเช n เชคเชฅเชพ n + 1เชจเซ เชตเชเซเชเซ Zเชจเซ เชเซเช เชธเชญเซเชฏ เชจเชฅเซ.
Zเชจเซ เชเช เชเชพเชฎเซ เช เชเซ เชเซ เชเช เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเชจเซ เชฌเซเชเชพ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเช เชตเชกเซ เชญเชพเชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ เชเชตเชพเชฌเชฎเชพเช เชนเชฎเซเชถเชพเช เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเช เช เชฎเชณเซ เชคเซเชตเซเช เชฌเชจเชคเซเช เชจเชฅเซ. เช เชเชพเชฎเซ เชฆเซเชฐ เชเชฐเชตเชพ Zเชฎเชพเชเชฅเซ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ Qเชฎเชพเช เชเชตเซเช เชชเชกเซ เชเซ. Zเชฅเซ Q เชธเซเชงเซเชจเซ เชธเชซเชฐ Nเชฅเซ Zเชจเซ เชธเชซเชฐ เชเซเชตเซ เช เชเซ.
Nเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซเชจเซ เชเชฃ S = {(a, b)ย a, b โ Z, b เชฆ 0} เชฒเช เชคเซเชฎเชพเช เชเช เชธเชเชฌเชเชง R เชเชตเซ เชฆเชพเชเชฒ เชเชฐเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ (a, b) R (c, d) เชเซ ad = bc. เชเชฎ เชฆเชพ.เชค., (3, 2) R (9, 6) เชเชพเชฐเชฃ เชเซ 3 เชคเซ 6 = 2 เชคเซ 9. เช เชธเชเชฌเชเชง R เชธเชพเชฎเซเชฏเชธเชเชฌเชเชง เชเซ เช เชจเซ เชคเซ Sเชจเซ เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเซเชฎเชพเช เชตเชฟเชญเชพเชเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ. เช เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเซเชจเชพ เชเชฃเชจเซ Q เชเชนเซ เชเซ. Q = {[a, b]ย a, b โ Z, b เชฆ 0} Qเชจเชพ เชฆเชฐเซเช เชธเชญเซเชฏเชจเซ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเชนเซ เชเซ. Qเชฎเชพเช เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เช เชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเชตเซ เชเซ :
[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd],
[a, b] ยท [c, d] = [ac, bd]
เช เชเซเชฐเชฟเชฏเชพเช เชเซเชฐเชฎ, เชเซเชฅ เชคเชฅเชพ เชตเชฟเชญเชพเชเชจเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎเซเชจเซ เช เชจเซเชธเชฐเซ เชเซ. เชนเชตเซ เชเซเช เชเซ
ย ย ย ย ย ย ย [a, b] + [0, d] = [ad, bd] = [a, b]
เชคเชฅเชพย ย ย [a, b] + [c, c] = [ac, bc] = [a, b]
เชเชฎเซ [0, d] เชถเซเชจเซเชฏ เชเซ เชคเชฅเชพ [c, c] เชเช เชเซ. เชฎเชพเชเซ [0, d] เชฎเชพเชเซ 0 เชคเชฅเชพ [c, c] เชฎเชพเชเซ 1 เชฒเชเชพเชฏ เชเซ.
เช เชชเชฃ เชจเซเชเชงเซเช เชเซ เชเซ a เชฆ 0, b เชฆ 0 เชคเซ [a, b] ยท [b, a] = [ab, ab] = 1.
เชเชฎ Qเชฎเชพเช เชถเซเชจเซเชฏเซเชคเชฐ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเชพ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชชเชฃ เชเซ เช เชจเซ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชนเซเชตเชพเชฅเซ เชญเชพเชเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฐเชฟเชฏเชพ Qเชฎเชพเช เชถเชเซเชฏ เชเซ.
เช เชชเชฃ เชเซเช เชเซ [a, 1] + [b, 1] = [a + b, 1]
ย ย ย ย ย ย ย เชคเชฅเชพย ย ย [a, 1] ยท [b, 1] = [ab, 1].
เชเชฎ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชฎเชพเชเซ [a, 1] เชเซเชตเซ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเช aเชจเซ เชเซเชฎ เช เชตเชฐเซเชคเซ เชเซ. เชคเซเชฅเซ [a, 1] = a เชฒเชเชพเชฏ เชเซ. เช เชชเชฃ เชเซเช เชเซ [1, b] เชคเซ [b, 1] = bเชจเซ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชเซ เชคเซเชฅเซ [1, b] =ย เชฒเชเซ เชถเชเชพเชฏ. เชตเชณเซ [a, b] = [a, 1] [1, b] = a เชคเซย = . เชเชฎ [a, b]เชจเซ เชฌเชฆเชฒเซย เชฒเชเชพเชฏ เชเซ.
เชคเซเชฅเซ Q =ย ย a, b โ Z, b เชฆ 0.
เชซเชฐเซเชฅเซ เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซเชฏ เชฐเซเชคเซ Q = {[a, b]ย a, b โ Z, b เชฆ 0}เชจเซ เชเชชเชเชฃ Zยด = {[a, 1]ย a โ Z} เชฒเซเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ f : Zยด เชกเซเชก Z เชเซเชฏเชพเช f ([a, 1]) = a เชคเซ Zยดเชฅเซ Zเชจเซ เชเชเชฐเซเชชเชคเชพ เชเซ. เชฎเชพเชเซ Qเชฎเชพเช Z เชธเชพเชฅเซ เชเชเชฐเซเชช เชเชตเซ เชเช เชเชชเชเชฃ Zยด เชเซ. เช เชฌเซเชจเซ เชธเชฐเชเชพ เชงเชพเชฐเซ เชฒเซเชตเชพเชฏ, (เชเชเชฒเซ เชเซ [a, 1]เชจเซ เชฌเชฆเชฒเซ a เช เชฒเชเชตเชพเชจเซเช เชฐเชเชพเชฏ) เชคเซ Z เชชเซเชคเซ เช Qเชจเซ เชเชชเชเชฃ เชเซ เชคเซเชฎ เชเซเช เชถเชเชพเชฏ.
N เชคเชฅเชพ Zเชฎเชพเช เชเซ เชเซเชฐเชฎเชธเชเชฌเชเชง เชเซ เชคเซเชจเซ Qเชฎเชพเช เชชเชฃ เชตเชฟเชธเซเชคเชพเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ; เชชเชฃ Qเชฎเชพเช โเช เชจเซเชเชพเชฎเซโเชจเซ เชตเชพเชค เชฐเชนเซเชคเซ เชจเชฅเซ; เชฆเชพ.เชค., 1เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเช เช เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซ เชเซเช เชเชคเซเชคเชฐ เชจเชฅเซ เชเชพเชฐเชฃ เชเซ 1 เชชเชเซเชจเซ เชเซเช เชชเชฃ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ r เชฎเชพเชเซ 1 (r + 1) เช เชจเซ r เช เชจเซ 1 เชตเชเซเชเซเชจเซ เชเช เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ เชคเซเชฅเซ r เชคเซ 1เชจเซ เช เชจเซเชเชพเชฎเซ เชจเชฅเซ. เชเชฐเซเชเชฐ เชคเซ เชเซเช เชชเชฃ เชฌเซ เชญเชฟเชจเซเชจ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชตเชเซเชเซ เช เชจเชเชค เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชเชตเซเชฒเซ เชเซ.
Q เชเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชเซ; เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ, เชฌเชพเชฆเชฌเชพเชเซ, เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เช เชจเซ เชญเชพเชเชพเชเชพเชฐ Qเชฎเชพเช เชเซเชเชฅเซ เชฅเช เชถเชเซ เชเซ.
เชเชฎ เชเชคเชพเช Qเชฎเชพเช เชชเชฃ เชเชพเชฎเซเช เชเซ. เชคเซเชฎเชพเชเชจเซ เชเช เชเชพเชฎเซ เชเชฒเชจเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเชพ เช เชญเซเชฏเชพเชธ เชฎเชพเชเซ เชเชกเชเซเชฒเซเชฐเซเชช เชฌเชจเซ เชเซ. เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชเซเชเชฒเซเช เชถเซเชฐเซเชฃเซเช เชเซ เชเซเชฎเชจเซ เชธเซเชตเชพเชญเชพเชตเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชฒเชเซเชทเซเชฏ เชนเซเชตเซเช เชเซเชเช เชคเซเชฎเชจเซ Qเชฎเชพเช เชฒเชเซเชทเซเชฏ เชจเชฅเซ เชนเซเชคเซเช; เชฆเชพ.เชค., เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชฒเชเช. เชเซ เชฒเชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ เชถเซเชฐเซเชฃเซ {an} เชคเซ , …….. เชเซ, เชเซ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชเซ. เช เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชคเซ เชเชฐเซเชเชฐ เชคเซ 2, 2.25, 2.352, 2.441, 2.488, 2.52, …….. เชเซ. เช เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฐเชฎเชฟเช เชชเชฆเซเชจเซ เชคเชซเชพเชตเชคย an + 1ย anย เชตเชงเซ เชจเซ เชตเชงเซ เชจเชพเชจเซ เชฅเชคเซ เชเชพเชฏ เชเซ. เชเชฐเซเชเชฐ เชคเซ เชเซเชฎ n เชกเซเชก เชเซ เชคเซเชฎย an + 1ย anย เชกเซเชก 0 เชฅเชพเชฏ เชเซ. เชเชตเซ เชถเซเชฐเซเชฃเซ {an}เชจเซ เชฎเซเชณเชญเซเชค (fundamental) เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชเชนเซ เชเซ. เชเชฒเชจเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเชพ เช เชญเซเชฏเชพเชธ เชฎเชพเชเซ เช เชเชตเชถเซเชฏเช เชเซ เชเซ เชฆเชฐเซเช เชฎเซเชณเชญเซเชค เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเซ เชฒเชเซเชทเซเชฏ เชนเซเชฏ. เชชเชฃ Q เชฎเชพเชเซ เชเชตเซเช เชฌเชจเชคเซเช เชจเชฅเซ. เช เชเชฎเซ เชฆเซเชฐ เชเชฐเชตเชพ เชฎเชพเชเซ Qเชจเซ เชตเชฟเชธเซเชคเชพเชฐเซ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ R เชชเซเชฐเชฏเซเชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. เช เชชเซเชฐเซเชตเซ เชเซเชฏเซเช เชคเซเชฎ Nเชฎเชพเชเชฅเซ Z เชเซ Zเชฎเชพเชเชฅเซ Q เชฎเซเชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชก เชฒเซเชตเชพเชฅเซ เชตเชพเชค เชฌเชจเซ เชเชพเชฏ เชเซ. Qเชฎเชพเชเชฅเซ R เชฎเซเชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซ เชฒเซเชตเชพเชฅเซ เชตเชพเชค เชฌเชจเชคเซ เชจเชฅเซ. Qเชจเซ เชฌเชงเซ เชฎเซเชณเชญเซเชค เชถเซเชฐเซเชฃเซเชเชจเซ เชเชฃ เชฒเช เชคเซเชฎเชพเช เชธเชพเชฎเซเชฏเชธเชเชฌเชเชง เชฆเชพเชเชฒ เชเชฐเซ เชคเซ เชฐเซเชคเซ เชธเชพเชฎเซเชฏเชเชฃเซเชจเชพ เชเชฃเชจเซ R เชคเชฐเซเชเซ เชเชณเชเชพเชตเชตเซ เชชเชกเซ เชเซ. (เช เชชเชเชฒเชพเชเชจเซ เชตเชฟเชเชคเซ เชเชชเชตเชพเชจเซเช เช เชนเซเช เชเชพเชณเซเชฏเซเช เชเซ.) Qเชฎเชพเชเชฅเซ R เชฎเซเชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชเซเชจเซ เชเช เชฌเซเชเซ เช เชญเชฟเชเชฎ เชกเซเชกเซเชเชฟเชจเซเชก เชเชพเชช(cut)เชจเซ เชเซ. เชฌเชเชจเซ เช เชญเชฟเชเชฎเชฅเซ เชเช เช เชเชฃ R เชฎเชณเซ เชเซ, R เชชเชฃ เชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชเซ, Q เซเช R เชคเชฅเชพ Rเชฎเชพเช เชเซเชฐเชฎเชธเชเชฌเชเชง เชชเชฃ เชเซ. Rเชจเซ เชฎเซเชณเชญเซเชค เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชฒเซเชคเชพเช เชคเซเชจเซ Rเชฎเชพเช เชฒเชเซเชทเซเชฏ เชฎเชณเซ เช เชเซ. (เชเชจเซ R เชชเซเชฐเซเชฃ เช เชตเชเชพเชถ, complete space เชเซ เชคเซเชฎ เชเชนเซ เชเซ.)
N, Z เช เชจเซ Q เชเชฃเชจเซเชฏ (countable) เชเชฃเซ เชเซ, เชเชเชฒเซ เชเซ เชคเซ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเชเชจเซ เชเชฃ N เชธเชพเชฅเซ เชเช-เชเช เช เชจเซ เชตเซเชฏเชพเชชเซเชค เชธเชเชเชคเชคเชพ เชเซ เชชเชฃ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ เชเชฃเชจเซเชฏ เชจเชฅเซ. R เช เชจเซ N เชตเชเซเชเซ เชเซเช เชเช-เชเช เช เชจเซ เชตเซเชฏเชพเชชเซเชค เชธเชเชเชคเชคเชพ เชจเชฅเซ. [เชเซ Qเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซ เชฒเซเชตเชพเชฅเซ R เชฎเชณเชคเซ เชนเซเชค เชคเซ R เชชเชฃ เชเชฃเชจเซเชฏ เชนเซเชค เชคเซเชฅเซ Qเชฎเชพเชเชฅเซ R เชฎเซเชณเชตเชตเชพเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซเชจเซ เช เชญเชฟเชเชฎ เชธเชซเชณ เชฅเชพเชฏ เช เชจเชนเชฟ.]
เชฎเชพเชจเชพเชตเชเชพเชถ (metric space) เชคเชฐเซเชเซ R เชชเซเชฐเซเชฃ เชเซ, เชชเชฃ เชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชคเชฐเซเชเซ เชคเซ เชฌเชเชงเชเซเชทเซเชคเซเชฐ (algebraically closed) เชจเชฅเซ. เชเชเชฒเซ เชเซ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชนเชเซเชฃเชเซเชตเชพเชณเชพเช เชฌเชงเชพเช เช เชฌเชนเซเชชเชฆเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเชพเช เชฌเซเช Rเชฎเชพเช เชจเชฅเซ เชนเซเชคเชพเช เช Rเชจเซ เชเชพเชฎเซ เชเซ. เชฆเชพ.เชค., x2 + 1 = 0เชจเชพเช เชฌเซเช เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชจเชฅเซ.
เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃเชฎเชพเชเชฅเซ เชเซ เชฌเซเชเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชฌเชเชงเชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชนเซเชฏ เชคเซเชตเซ เชเชฃ เชฎเซเชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชเซ เชซเชฐเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซเชจเซ เชเชฃ เชเชพเชฎ เชฒเชพเชเซ เชเซ. Rเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชฏเซเชเซเชค เชเซเชกเซเชจเชพ เชเชฃเชจเซ เชธเชเชเชฐ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ C เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เชเชฎ
C = {(a, b)ย a โ R, b โ R}
Cเชจเซ เชฆเชฐเซเช เชธเชญเซเชฏ เชธเชเชเชฐเชธเชเชเซเชฏเชพ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. Cเชฎเชพเช เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ เชคเชฅเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเชตเซ เชฒเซเชตเชพเชฏ เชเซ :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) (c, d) = (ac โ bd, ad + bc).
เช เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเช เชนเซเช เชณ C เชเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชฌเชจเซ เชเซ. เชคเซเชจเซ เชถเซเชจเซเชฏ (0, 0) เชเซ เช เชจเซ เชเชเชฎ เชเชเช (1, 0) เชเซ. (a, b) เชถเซเชจเซเชฏเซเชคเชฐ เชนเซเชฏ เชคเซ (a, b)เชจเซ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชเชเช เชเซ.
เชนเชตเซ Cเชจเซ เชเชชเชเชฃ Rยด = {a, 0)ย a โ R} เชฒเซเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ Rยด เช เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฃ เชธเชพเชฅเซ เชเชเชฐเซเชช เชเซ เช เชจเซ เชเชเชฐเซเชชเชคเชพ
ฮฆ : Rยด โ R เชคเซ
ฮฆ (a, 0) = a
เชเซ. เช เชเชพเชฐเชฃเซ R เชชเซเชคเซ Cเชจเซ เชเชชเชเชฃ เชเซ เชคเซเชฎ เชฎเชพเชจเซ เชฒเซเชตเชพเชฏ เชเซ เช เชจเซ (a, 0) = a เชฒเชเชพเชฏ เชเซ. เชนเชตเซ เช เชเชเชพเชธเชตเซเช เชธเชฐเชณ เชเซ เชเซ (0, 1)
(b, 0) = (0, b). เชคเซเชฅเซ
(a, b)ย = (a, 0) + (0, b)
ย ย ย ย ย ย ย = (a, 0) + (0, 1) (b, 0).
เชนเชตเซ เชเซ (0, 1) เชฎเชพเชเซ เชธเชเชเซเชค i เชตเชพเชชเชฐเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซ (a, 0) = a เชคเชฅเชพ (b, 0) = b เชฒเชเชคเชพ เชนเซเชตเชพเชฅเซ (a, b) = (a, 0) + (0, 1)
(b, 0) = a + ib เชฅเชพเชฏ. เชเชฎ เชธเชเชเชฐเชธเชเชเซเชฏเชพ (a, b)เชจเซ เชฌเชฆเชฒเซ a + ib เชชเชฃ เชฒเชเซ เชถเชเชพเชฏ. เชตเชณเซ
i2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1
เชเชฎ
C = {a + i, bย a, b โ R, i2 = 1}.
เชนเชตเซ เชเชตเซเช เชเชฃเชพเชฏ เชเซ เชเซ C เชฌเซเชเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชฌเชเชงเชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชเซ, เชเชเชฒเซ เชเซ เชธเชเชเชฐ เชธเชนเชเซเชฃเชเซเชตเชพเชณเซ เชเซเช เชชเชฃ เช เชเชณเซเชคเชฐ เชฌเชนเซเชชเชฆเซ f(x) เชนเซเชฏ เชคเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ f(x) = 0เชจเชพ เชคเชฎเชพเชฎ เชฌเซเช เชธเชเชเชฐเชธเชเซเชฏเชพเช เช เชนเซเชฏ. เชเชจเซ เชฌเซเชเชเชฃเชฟเชคเชจเซเช เชฎเซเชณเชญเซเชค เชชเซเชฐเชฎเซเชฏ เชเชนเซ เชเซ.
เชฌเซเชเซ เชคเชฐเชซ R เชธเซเชงเซ เชเซ เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฐเชฎเชธเชเชฌเชเชง เชนเชคเซ เชคเซ Cเชฎเชพเช เชจเชฅเซ เชฐเชนเซเชคเซ. เชเซเชฐเชฎเชฟเชคเชเซเชทเซเชคเซเชฐเชจเชพ เชเซเชฐเชฎเชฎเชพเช เชเซเชเชฒเชพเช เช เชจเชฟเชตเชพเชฐเซเชฏ เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ เชนเซเชตเชพ เชเชฐเซเชฐเซ เชเซ; เชเซเชฎเชพเช เช เชฎเซเชเซเชฏ เชเซ : (1) เชฆเชฐเซเช a เชฆ 0 เชฎเชพเชเซ a > 0 เช เชจเซ
a > 0เชฎเชพเชเชฅเซ เชเช เช เชจเซ เชฎเชพเชคเซเชฐ เชเช เช เชธเชพเชเซเช เชนเซเชตเซเช เชเซเชเช. (2) เชฆเชฐเซเช a เชฆ 0 เชฎเชพเชเซ a2 > 0.
เชนเชตเซ Cเชฎเชพเช i เชฆ 0 เชคเชฅเชพ i2 = 1, เชตเชณเซ 1 เชฆ 0 เชคเชฅเชพ 12 = 1. เชเชชเชฐเชจเชพ (2) เช เชจเซเชธเชพเชฐ 1 > 0 เช เชจเซ 1 > 0 เชฌเชเชจเซ เชธเชพเชเชพเช เชนเซเชตเชพเช เชเซเชเช เชชเชฃ เชคเซ (1)เชฅเซ เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชเซ. เชเชฎ Cเชฎเชพเช เชเซเชฐเชฎเชธเชเชฌเชเชง เชจเชฅเซ.
เชเชฎ Nเชฅเซ เชถเชฐเซ เชเชฐเซ Z, Q, R เช เชจเซ C เชธเซเชงเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟเชจเซ เชตเชฟเชเชพเชธ เชฅเชพเชฏ เชเซ. เชฆเชฐ เชคเชฌเชเซเชเซ เชฎเซเชณ เชเชฃเชจเซ เชเซเชเช เชเชพเชฎเซเชจเซ เชฆเซเชฐ เชเชฐเชตเชพเชจเชพ เชเชฆเซเชฆเซเชถเชฅเซ เชจเชตเชพ เชฎเซเชเชพ เชเชฃเชจเซ เชฐเชเชจเชพ เชเชฐเชพเชฏ เชเซ. เชฆเชฐ เชตเชเชคเซ เช เชเชพเชฎเซ เชคเซ เชฆเซเชฐ เชฅเชพเชฏ เชเซ เชชเชฃ เชฎเซเชณ เชเชฃเชจเซ เช เชจเซเชฏ เชเซเชเช เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เชจเชตเชพ เชเชฃเชฎเชพเช เชธเชเชตเชพเชคเซ เชจเชฅเซ; เชชเชฃ เชเซเชตเชเซ C เชฎเชณเชคเชพเช เชเชชเชฃเชจเซ เชเชตเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชธเชเชนเชคเชฟ เชฎเชณเซ เชเซ, เชเซ เชเซเชทเซเชคเซเชฐ เชนเซเชฏ, เชฎเชพเชจเชพเชตเชเชพเชถ เชคเชฐเซเชเซ เชชเซเชฐเซเชฃ เชนเซเชฏ เช เชจเซ เชฌเซเชเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชชเชฃ เชฌเชเชง เชนเซเชฏ. เชเชเชฒเซ C เชเชเชณ เชเชชเชฃเซ เชคเชฒเชพเชถ เชชเซเชฐเซ เชฅเชพเชฏ เชเซ.
เช เชฐเซเชฃ เชฎ. เชตเซเชฆเซเชฏ
เชถเชฟเชตเชชเซเชฐเชธเชพเชฆ เชฎ. เชเชพเชจเซ