સંખ્યાસંહતિ (Number System) : પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓથી શરૂ કરી ક્રમશ: પૂર્ણાંકો, સંમેય સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ તથા છેલ્લે સંકર સંખ્યાઓ સુધી વિકસતો સંખ્યાગણ.
ગણિતજ્ઞ ક્રૉનેકરે કહ્યું છે કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, ……… ઈશ્વરદત્ત છે, બાકી બધી સંખ્યાઓ માનવીનું સર્જન છે. માનવી ગણતરી કરતો થાય એટલે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને ઓળખતો થાય. તેમના સરવાળા, ગુણાકાર વગેરે ક્રિયાઓથી પરિચિત થાય; પરંતુ જેમ જેમ તેના વ્યવહારો વધતા જાય તેમ કેવળ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું જ્ઞાન અપૂરતું છે એમ તેને લાગે. 3 વસ્તુઓ 5 વ્યક્તિઓ વચ્ચે સરખે ભાગે વહેંચવાની હોય તો દરેકને ભાગે કેટલી વસ્તુ આવે તેનો ઉત્તર કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા તરીકે ન મળે. એ જ પ્રમાણે 8માંથી 10 બાદ કરીએ તોપણ જવાબમાં કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા ન મળે. આમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અપૂરતી છે એમ માનવીને સમજાય અને તેને અપૂર્ણાંકો કે ઋણ પૂર્ણાંકોની જરૂર લાગે. આ બધી જરૂરતો પૂરી કરવા માનવી નવી નવી સંખ્યાઓ બનાવતો ગયો અને એમ સંખ્યાસંહતિ વિકસતી ગઈ. ઐતિહાસિક રીતે તો આ બધો વિકાસ જ્યારે જે જરૂર પડે તે સંતોષવા માટે તાત્કાલિક પગલાં લઈ થતો હતો પણ ઓગણીસમી સદીમાં ઇટાલિયન ગણિતી પીએનોએ આ વિકાસને શાસ્ત્રીય પાયા પર મૂકી સંખ્યાસંહતિની વૈજ્ઞાનિક ઇમારત ઊભી કરી. પીએનોએ જોયું કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાગણ Nમાં તેની લઘુતમ સંખ્યા 1નું વિશેષ મહત્ત્વ છે. વળી દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને એક અનુગામી (successor) પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. 1ની અનુગામી 2, 2ની અનુગામી 3 વગેરે છે. વળી આ રીતે કરતાં વહેલાં કે મોડાં દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા સુધી પહોંચી શકાય છે; દા.ત., 25 એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે તો 1ની અનુગામી 2, 2ની અનુગામી 3, 3ની અનુગામી 4 એમ કરતાં કરતાં છેવટે 25 સુધી પહોંચી જ શકાય તેવી તેણે પૂર્વધારણા સ્વીકારી. (આ જ ગણિતીય અનુમાનનો સિદ્ધાંત છે.)
આ પછી પીએનોએ Nમાં સરવાળાની વ્યાખ્યા આપી. કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે n + 1 એટલે nની અનુગામી, n + 2 એટલે n + (1ની અનુગામી) એટલે વ્યાખ્યા પ્રમાણે n + 2 એટલે (n + 1)ની અનુગામી. એ જ પ્રમાણે n + 3 એટલે n + 2ની અનુગામી અને એમ આગળ. આ રીતે બધા જ n, m ∈ N માટે n + mની વ્યાખ્યા અપાઈ જાય. સરવાળાની આ ક્રિયા ક્રમ તેમ જ જૂથના નિયમને અનુસરે છે તે દર્શાવી શકાય.
હવે પીએનો Nમાં ગુણાકારની વ્યાખ્યા આ રીતે આપે છે. કોઈ પણ n ∈ N માટે n.1 = n, n.2 = n + n, n.3 = 2n + n વગેરે. આ ગુણાકાર પણ ક્રમ તથા જૂથના નિયમને અનુસરે છે તથા ગુણાકારનું વિભાજન સરવાળા પર થાય છે.
Nમાં ક્રમસંબંધ પણ છે. n, m ∈ N માટે જો k ∈ N એવો મળે કે n + k = m તો n < m એવી વ્યાખ્યા છે. Nના પ્રત્યેક અરિક્ત ઉપગણમાં એક લઘુતમ સભ્ય હોય છે તે Nનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. એને Nમાંનો સુક્રમતાનો સિદ્ધાંત (well-ordering principle) કહે છે.
Nમાં કેટલીક ત્રુટિઓ પણ છે. જો n, m ∈ N તો n + k = m થાય તેવો k ∈ N મળે જ એવી કોઈ ખાતરી નથી (બીજા શબ્દોમાં m n Nમાં જ હોય તેમ ન કહી શકાય), આ જ પ્રમાણે nu = m થાય તેવો n ∈ Nમાં મળે તે પણ જરૂરી નથી.
આવી ત્રુટિઓ દૂર કરવા માટે Nમાંથી આપણે પૂર્ણાંક ગણ Zમાં (કે તેથી પણ આગળ) જવું પડે છે.
Nમાંથી Zમાં જવા માટે Nની ક્રમયુક્ત જોડોના ગણને S કહીએ. જો (a, b) ∈ S, (c, d) ∈ S માટે a + d = b + c હોય તો (a, b) અને (c, d) અમુક સંબંધ Rથી સંકળાયા છે તેમ કહીએ અને (a, b) R (c, d) લખીએ. દા.ત., (5, 7) R (1, 3) કારણ કે 5 + 3 = 7 + 1. આ સંબંધ સામ્યસંબંધ છે તેથી તે Sનું વિભાજન સામ્યગણોમાં કરે છે. આ સામ્યગણોના ગણને Z કહીએ, અને દરેક સામ્યગણને પૂર્ણાંક કહેવાય. જે સામ્યગણમાં (a, b) છે તેને [a, b] લખીએ, તો [5, 7] = [1, 3], [1, 1] = [11, 11].
આમ Z = {[a, b] a, b ∈ N}
Zમાં સરવાળા તથા ગુણાકારની વ્યાખ્યા આવી છે :
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
[a, b] [c, d] = [ac + bd, ad + bc]
(આ વ્યાખ્યાઓ સુવ્યાખ્યાયિત છે તેમ બતાવી શકાય.)
સરવાળા તથા ગુણાકારની આ ક્રિયાઓ ક્રમ, જૂથ તથા વિભાજનના નિયમોને અનુસરે છે. વળી
[a, b] + [x, x] = [a, b]
તથા [a, b] · [x + 1, x] = [a, b]
પણ ખરું છે. આ કારણે [x, x]ને શૂન્ય કહેવાય અને તેને 0 લખાય તથા [x + 1, x]ને એક કહેવાય તથા 1 લખાય. આ ઉપરાંત જુઓ કે
[a, 0] + [b, 0] = [a + b, 0]
તથા [a, 0] [b, 0] = [ab, 0]
આમને અનુક્રમે (a) + (b) = a + b
તથા (a) (b) = ab
સાથે સરખાવતાં દેખાય છે કે સરવાળા તથા ગુણાકારમાં [a, 0] aની જેમ વર્તે છે. આ કારણે [a, 0]ને બદલે a જ લખવાનો રિવાજ છે.
શાસ્ત્રીય રીતે જો Zનો ઉપગણ N´ = {[a, 0] a ∈ N} લેવામાં આવે તો f : N´ ડ્ડ N જ્યાં f ([a, 0]) = a તે N´થી Nની એકરૂપતા છે. આમ N તે Zના એક ઉપગણ N´ સાથે એકરૂપ છે. N તથા N´ને સરખા ગણવાનું રખાય (એટલે કે [a, 0] માટે a જ લખાય) તો N પોતે જ Zનો ઉપગણ છે તેમ ગણી શકાય.
હવે જુઓ કે કોઈ પણ [a, b] ∈ Z માટે
[a, b] + [b, 0] = [a + b, b] = [a, 0]
તેથી [a, b] = [a, 0] [b, 0] = a b
આમ હવેથી [a, b]ને સ્થાને a b લખી શકાય. પૂર્ણાંકો [a, 0] અને [0, a] માટે [a, 0] + [0, a] = [a, a] = 0 તેથી [0, a] તે [a, 0]નો વિરોધી છે. [a, 0] માટે a લખીએ છીએ, તેથી [0, a] માટે a લખાય. આમ પૂર્ણાંકોનો ગણ Z = {a a ∈ N} U {a a ∈ N} U {0}.
હવે Zમાં Nના હિસાબે જે વધારાની સગવડ છે તે એ છે કે બે પૂર્ણાંકોની બાદબાકી પણ Zમાં જ હોય છે. બીજી તરફ Nમાં જે સુક્રમતાનો સિદ્ધાંત છે તે Zમાં નથી. બધા જ ઋણ પૂર્ણાંકોના ગણમાં કોઈ લઘુતમ સભ્ય નથી. Zમાં (Nની જેમ જ) એક ગુણધર્મ એ છે કે કોઈ પણ n ∈ Z માટે nને અનુગામી n + 1 Zમાં છે તેમજ n તથા n + 1ની વચ્ચે Zનો કોઈ સભ્ય નથી.
Zની એક ખામી એ છે કે એક પૂર્ણાંકને બીજા પૂર્ણાંક વડે ભાગવામાં આવે તો જવાબમાં હમેશાં પૂર્ણાંક જ મળે તેવું બનતું નથી. આ ખામી દૂર કરવા Zમાંથી સંમેય સંખ્યાગણ Qમાં જવું પડે છે. Zથી Q સુધીની સફર Nથી Zની સફર જેવી જ છે.
Nની ક્રમયુક્ત જોડોનો ગણ S = {(a, b) a, b ∈ Z, b દ 0} લઈ તેમાં એક સંબંધ R એવો દાખલ કરવામાં આવે કે (a, b) R (c, d) જો ad = bc. આમ દા.ત., (3, 2) R (9, 6) કારણ કે 3 ત્ 6 = 2 ત્ 9. આ સંબંધ R સામ્યસંબંધ છે અને તે Sને સામ્યગણોમાં વિભાજિત કરે છે. આ સામ્યગણોના ગણને Q કહે છે. Q = {[a, b] a, b ∈ Z, b દ 0} Qના દરેક સભ્યને સંમેય સંખ્યા કહે છે. Qમાં સરવાળા અને ગુણાકારની વ્યાખ્યા આવી છે :
[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd],
[a, b] · [c, d] = [ac, bd]
આ ક્રિયાઓ ક્રમ, જૂથ તથા વિભાજનના નિયમોને અનુસરે છે. હવે જુઓ કે
[a, b] + [0, d] = [ad, bd] = [a, b]
તથા [a, b] + [c, c] = [ac, bc] = [a, b]
આમે [0, d] શૂન્ય છે તથા [c, c] એક છે. માટે [0, d] માટે 0 તથા [c, c] માટે 1 લખાય છે.
એ પણ નોંધીએ કે જો a દ 0, b દ 0 તો [a, b] · [b, a] = [ab, ab] = 1.
આમ Qમાં શૂન્યેતર સંખ્યાઓના વ્યસ્ત પણ છે અને વ્યસ્ત હોવાથી ભાગાકારની ક્રિયા Qમાં શક્ય છે.
એ પણ જુઓ કે [a, 1] + [b, 1] = [a + b, 1]
તથા [a, 1] · [b, 1] = [ab, 1].
આમ સરવાળા તથા ગુણાકાર માટે [a, 1] જેવી સંમેય સંખ્યાઓ પૂર્ણાંક aની જેમ જ વર્તે છે. તેથી [a, 1] = a લખાય છે. એ પણ જુઓ કે [1, b] તે [b, 1] = bનો વ્યસ્ત છે તેથી [1, b] = લખી શકાય. વળી [a, b] = [a, 1] [1, b] = a ત્ = . આમ [a, b]ને બદલે લખાય છે.
તેથી Q = a, b ∈ Z, b દ 0.
ફરીથી શાસ્ત્રીય રીતે Q = {[a, b] a, b ∈ Z, b દ 0}નો ઉપગણ Z´ = {[a, 1] a ∈ Z} લેવામાં આવે તો f : Z´ ડ્ડ Z જ્યાં f ([a, 1]) = a તે Z´થી Zની એકરૂપતા છે. માટે Qમાં Z સાથે એકરૂપ એવો એક ઉપગણ Z´ છે. આ બેને સરખા ધારી લેવાય, (એટલે કે [a, 1]ને બદલે a જ લખવાનું રખાય) તો Z પોતે જ Qનો ઉપગણ છે તેમ જોઈ શકાય.
N તથા Zમાં જે ક્રમસંબંધ છે તેને Qમાં પણ વિસ્તારી શકાય છે; પણ Qમાં ‘અનુગામી’ની વાત રહેતી નથી; દા.ત., 1ની અનુગામી સંમેય સંખ્યા કઈ એ પ્રશ્નનો કોઈ ઉત્તર નથી કારણ કે 1 પછીની કોઈ પણ સંમેય સંખ્યા r માટે 1 (r + 1) અને r અને 1 વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે તેથી r તે 1ની અનુગામી નથી. ખરેખર તો કોઈ પણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અનંત સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી છે.
Q એક ક્ષેત્ર છે; સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર Qમાં છૂટથી થઈ શકે છે.
આમ છતાં Qમાં પણ ખામીઓ છે. તેમાંની એક ખામી કલનશાસ્ત્રના અભ્યાસ માટે આડખીલીરૂપ બને છે. સંમેય સંખ્યાઓની કેટલીક શ્રેણીઓ કે જેમને સ્વાભાવિક રીતે લક્ષ્ય હોવું જોઈએ તેમને Qમાં લક્ષ્ય નથી હોતું; દા.ત., શ્રેણી 
લઈએ. જો 
લખવામાં આવે તો શ્રેણી {an} તે 
, …….. છે, જે સંમેય સંખ્યાઓની શ્રેણી છે. આ શ્રેણી તે ખરેખર તો 2, 2.25, 2.352, 2.441, 2.488, 2.52, …….. છે. આ શ્રેણી માટે ક્રમિક પદોનો તફાવત an + 1 an વધુ ને વધુ નાનો થતો જાય છે. ખરેખર તો જેમ n ડ્ડ ઝ્ તેમ an + 1 an ડ્ડ 0 થાય છે. આવી શ્રેણી {an}ને મૂળભૂત (fundamental) શ્રેણી કહે છે. કલનશાસ્ત્રના અભ્યાસ માટે એ આવશ્યક છે કે દરેક મૂળભૂત શ્રેણીને લક્ષ્ય હોય. પણ Q માટે આવું બનતું નથી. આ કમી દૂર કરવા માટે Qને વિસ્તારી વાસ્તવિક સંખ્યાગણ R પ્રયોજવામાં આવે છે. આ પૂર્વે જોયું તેમ Nમાંથી Z કે Zમાંથી Q મેળવવા માટે ક્રમયુક્ત જોડ લેવાથી વાત બની જાય છે. Qમાંથી R મેળવવા માટે ક્રમયુક્ત જોડો લેવાથી વાત બનતી નથી. Qની બધી મૂળભૂત શ્રેણીઓનો ગણ લઈ તેમાં સામ્યસંબંધ દાખલ કરી તે રીતે સામ્યગણોના ગણને R તરીકે ઓળખાવવો પડે છે. (આ પગલાંની વિગતો આપવાનું અહીં ટાળ્યું છે.) Qમાંથી R મેળવવા માટેનો એક બીજો અભિગમ ડેડીકિન્ડ કાપ(cut)નો છે. બંને અભિગમથી એક જ ગણ R મળે છે, R પણ ક્ષેત્ર છે, Q ૈં R તથા Rમાં ક્રમસંબંધ પણ છે. Rની મૂળભૂત શ્રેણી લેતાં તેને Rમાં લક્ષ્ય મળે જ છે. (આને R પૂર્ણ અવકાશ, complete space છે તેમ કહે છે.)
N, Z અને Q ગણનીય (countable) ગણો છે, એટલે કે તે પ્રત્યેકની ગણ N સાથે એક-એક અને વ્યાપ્ત સંગતતા છે પણ વાસ્તવિક સંખ્યાગણ ગણનીય નથી. R અને N વચ્ચે કોઈ એક-એક અને વ્યાપ્ત સંગતતા નથી. [જો Qની ક્રમયુક્ત જોડો લેવાથી R મળતો હોત તો R પણ ગણનીય હોત તેથી Qમાંથી R મેળવવાનો ક્રમયુક્ત જોડોનો અભિગમ સફળ થાય જ નહિ.]
માનાવકાશ (metric space) તરીકે R પૂર્ણ છે, પણ ક્ષેત્ર તરીકે તે બંધક્ષેત્ર (algebraically closed) નથી. એટલે કે વાસ્તવિક સહગુણકોવાળાં બધાં જ બહુપદી સમીકરણોનાં બીજ Rમાં નથી હોતાં એ Rની ખામી છે. દા.ત., x2 + 1 = 0નાં બીજ વાસ્તવિક નથી.
વાસ્તવિક સંખ્યાગણમાંથી જે બૈજિક રીતે બંધક્ષેત્ર હોય તેવો ગણ મેળવવા માટે ફરી ક્રમયુક્ત જોડોનો ગણ કામ લાગે છે. Rની ક્રમયુક્ત જોડોના ગણને સંકર સંખ્યાગણ C કહેવાય છે. આમ
C = {(a, b) a ∈ R, b ∈ R}
Cનો દરેક સભ્ય સંકરસંખ્યા કહેવાય છે. Cમાં સરવાળા તથા ગુણાકારની વ્યાખ્યા આવી લેવાય છે :
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc).
આ વ્યાખ્યાઓ હેઠળ C એક ક્ષેત્ર બને છે. તેનો શૂન્ય (0, 0) છે અને એકમ ઘટક (1, 0) છે. (a, b) શૂન્યેતર હોય તો (a, b)નો વ્યસ્ત ઘટક 
છે.
હવે Cનો ઉપગણ R´ = {a, 0) a ∈ R} લેવામાં આવે તો R´ એ વાસ્તવિક સંખ્યાગણ સાથે એકરૂપ છે અને એકરૂપતા
Φ : R´ → R તે
Φ (a, 0) = a
છે. આ કારણે R પોતે Cનો ઉપગણ છે તેમ માની લેવાય છે અને (a, 0) = a લખાય છે. હવે એ ચકાસવું સરળ છે કે (0, 1)
(b, 0) = (0, b). તેથી
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
= (a, 0) + (0, 1) (b, 0).
હવે જો (0, 1) માટે સંકેત i વાપરવામાં આવે તો (a, 0) = a તથા (b, 0) = b લખતા હોવાથી (a, b) = (a, 0) + (0, 1)
(b, 0) = a + ib થાય. આમ સંકરસંખ્યા (a, b)ને બદલે a + ib પણ લખી શકાય. વળી
i2 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1
આમ
C = {a + i, b a, b ∈ R, i2 = 1}.
હવે એવું જણાય છે કે C બૈજિક રીતે બંધક્ષેત્ર છે, એટલે કે સંકર સહગુણકોવાળી કોઈ પણ અચળેતર બહુપદી f(x) હોય તો સમીકરણ f(x) = 0ના તમામ બીજ સંકરસખ્યાઓ જ હોય. આને બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય કહે છે.
બીજી તરફ R સુધી જે પ્રકારનો ક્રમસંબંધ હતો તે Cમાં નથી રહેતો. ક્રમિતક્ષેત્રના ક્રમમાં કેટલાક અનિવાર્ય ગુણધર્મો હોવા જરૂરી છે; જેમાં આ મુખ્ય છે : (1) દરેક a દ 0 માટે a > 0 અને
a > 0માંથી એક અને માત્ર એક જ સાચું હોવું જોઈએ. (2) દરેક a દ 0 માટે a2 > 0.
હવે Cમાં i દ 0 તથા i2 = 1, વળી 1 દ 0 તથા 12 = 1. ઉપરના (2) અનુસાર 1 > 0 અને 1 > 0 બંને સાચાં હોવાં જોઈએ પણ તે (1)થી વિરુદ્ધ છે. આમ Cમાં ક્રમસંબંધ નથી.
આમ Nથી શરૂ કરી Z, Q, R અને C સુધી સંખ્યાસંહતિનો વિકાસ થાય છે. દર તબક્કે મૂળ ગણની કોઈક ખામીને દૂર કરવાના ઉદ્દેશથી નવા મોટા ગણની રચના કરાય છે. દર વખતે એ ખામી તો દૂર થાય છે પણ મૂળ ગણનો અન્ય કોઈક ગુણધર્મ નવા ગણમાં સચવાતો નથી; પણ છેવટે C મળતાં આપણને એવી સંખ્યાસંહતિ મળે છે, જે ક્ષેત્ર હોય, માનાવકાશ તરીકે પૂર્ણ હોય અને બૈજિક રીતે પણ બંધ હોય. એટલે C આગળ આપણી તલાશ પૂરી થાય છે.
અરુણ મ. વૈદ્ય
શિવપ્રસાદ મ. જાની