શુદ્ધ ગતિશાસ્ત્ર (kinematics)

શુદ્ધ ગતિશાસ્ત્ર (kinematics) : દળ કે બળના સંદર્ભ વિના થતી પદાર્થની ગતિ માટેના ગતિવિજ્ઞાનની એક શાખા. તેમાં પ્રયોજિત બળને લક્ષમાં રાખ્યા સિવાય પદાર્થની ગતિનું ગણિતીય વર્ણન કરવામાં આવે છે. તેમાં સ્થાન, પથ, સમય, વેગ અને પ્રવેગ જેવી રાશિઓ મુખ્ય ભાગ ભજવતી હોય છે

અમુક સમયગાળામાં પદાર્થ તેનું સ્થાન બદલતો હોય તો તે ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. ગતિના વર્ણન માટે પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા યામ-પદ્ધતિ(co-ordinate system)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ગતિ કરતા પદાર્થનું સ્થાન એક, બે કે ત્રણ સંખ્યાત્મક માન વડે દર્શાવી શકાય તો ગતિ અનુક્રમે એક, બે કે ત્રણ પરિમાણી કહેવાય. જુદા જુદા હેતુઓ માટે જુદી જુદી યામપદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. જેમકે (1) સજાતીય (affine) એટલે કે જેમાં સમાંતર રેખાઓ સમાંતર રેખાઓમાં પરિવર્તન પામે, તેવી યામપદ્ધતિ, (2) કાર્તીય (cartesian), (3) ધ્રુવીય (polar), (4) ગોલીય (spherical) અને (5) સિલિન્ડરી (cylindrical) યામપદ્ધતિ.

પદાર્થ કે કણનું સ્થાન સ્થાનસદિશ (position vector) વડે દર્શાવાય છે. યામપદ્ધતિમાં ઊગમબિંદુ અને અવકાશમાં કણના સ્થાનને જોડતા સદિશને સ્થાનસદિશ કહે છે. સ્થાનસદિશને સ્તંભ-સદિશ (column vector) તરીકે નીચે પ્રમાણે દર્શાવાય છે.

જ્યાં x, y, z અવકાશીય ઘટકો છે. સ્થાનવિધેય

એ t સમયે પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવે છે. આ સ્થાન વિધેય ગતિને ચોક્કસ અને સંપૂર્ણપણે વ્યક્ત કરે છે.

ગતિ કરતો પદાર્થ જે જે બિંદુઓ (સ્થાનો) ઉપર થઈને પસાર થાય છે તેને જોડતાં ગતિપથ મળે છે. જે પથને વિધેય તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેને પ્રક્ષેપપથ (trajectory) કહે છે. અહીં પ્રાચલ p એ સમયે t અથવા પથલંબાઈ (s) હોઈ શકે છે.

તંત્રનું સ્થાન નિશ્ચિતપણે નક્કી કરવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર રાશિઓની સંખ્યાને મુક્તતાની માત્રા (degrees of freedom) કહે છે. બિંદુવત્ કણને ત્રિ-પરિમાણ અવકાશમાં મુક્તતાની માત્રાઓ ત્રણ હોય છે. ત્રિ-પરિમાણમાં N બિંદુવત્ કણોના તંત્રને 3N મુક્તતાના અંશ (માત્રા) હોય છે. ગતિતંત્ર ઉપર આંતરિક કે બાહ્ય પ્રતિબંધો (constraints) k લાગતા હોય તો મુક્તતાના અંશ f = 3N − k થાય છે. શુદ્ધગતિના વર્ણનમાં સમય, લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ, કદ, કોણ જેવી રાશિઓનો ઉપયોગ થતો હોય છે.

યાંત્રિક તંત્ર : અહીં બિંદુવત્ દળ ખાસ ઉલ્લેખનીય છે. પદાર્થને આદર્શ રૂપ આપવા માટે તેને ગાણિતિક બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે. આવા આદર્શ પદાર્થને પરિમાણો હોતાં નથી પણ મિશ્રિત દળ (mass) હોય છે.

જ્યારે પદાર્થની ગતિનું નિરૂપણ કરવામાં આવતું હોય ત્યારે બિંદુવત્ પદાર્થનું પરિરૂપ (model) પર્યાપ્ત બને છે. પણ અહીં આપેલી ભૌતિક સ્થિતિમાં પદાર્થના દળના વિતરણને લક્ષમાં લીધા સિવાય તેના ગુરુત્વકેન્દ્રની ગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ભ્રમણગતિ (rotational motion) સિવાયની ગતિના ગણિતીય વર્ણનમાં દૃઢ પદાર્થ(rigid body)ની ગતિને તેની અંદર સ્થિત એવા ગુરુત્વકેન્દ્રની ગતિ તરીકે લેવામાં આવે છે. સૌર પ્રણાલીના ગ્રહોની ગતિના નિરૂપણમાં ગ્રહોને બિંદુવત્ ગણવામાં આવે છે, કારણ કે ગ્રહો વચ્ચેના અંતરની સાપેક્ષ ગ્રહોનો વિસ્તાર અવગણ્ય ગણાય છે.

બિંદુવત્ દળોના તંત્રમાં ત્રણ પ્રકારનાં બળોનો ખ્યાલ રહેલો હોય છે.

(1) આંતરિક બળો : આવાં બળો કણો વચ્ચે લાગતાં હોય છે. આંતરિક બળો ખાસ કરીને દ્વિપિંડી બળો (two-body forces) હોય છે, જે ફક્ત બે કણો વચ્ચેના અંતર અને સંભવત: વેગો ઉપર આધારિત હોય છે.

(2) બાહ્ય બળો : જે તંત્રની બહારથી લાગતાં હોય છે. બાહ્ય બળો તંત્ર સાથે નિસબત ન ધરાવતા પદાર્થોમાંથી ઉદ્ભવતાં હોય છે.

(3) વ્યવરોધ(constraint)-બળો અથવા પ્રતિક્રિયા-બળો તંત્રને અનુરોધિત કરતાં હોય છે. તંત્ર અને વ્યવરોધ વચ્ચેની આંતરક્રિયા પ્રતિક્રિયા તરીકે કાર્ય કરે છે. આ પ્રતિક્રિયા પ્રણોદિત (enforced) પથને લંબરૂપે લાગે છે. વ્યવરોધ-બળ તંત્રની ગતિને પરિમિત (મર્યાદિત) કરે છે.

મુક્ત અને બંધ (સંવૃત) તંત્રો : તેમાં બિંદુવત્ દળ અથવા બિંદુવત્ દળોનું તંત્ર કોઈ પણ વ્યવરોધ સિવાય પ્રયોજિત બળો સામે પ્રતિક્રિયા કરે છે. જે તંત્ર બાહ્ય બળોને અધીન ન  હોય તેને બંધતંત્ર કહે છે. દૃઢ પદાર્થ (rigid body) એવો પદાર્થ છે, જેના અંગીભૂત કણો વચ્ચેનું અંતર કોઈ પણ સંજોગોમાં એકબીજાથી અફર રહે છે. આકૃતિ 1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દૃઢ પદાર્થનાં તમામ i, j બિંદુઓ વચ્ચેનાં અંતરો અચળ રહે છે.

દૃઢ પદાર્થની ગતિને બે પ્રકારે વર્ણવી શકાય છે :

(1) સ્થાનાંતરણ ગતિ, જેમાં તમામ બિંદુઓ એક જ દિશામાં એક જ સરખા અંતર સાથે ગતિ કરે છે. આવા પદાર્થની ગતિને પ્રતિનિધિ-બિંદુની ગતિ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. (જુઓ આકૃતિ 2અ).

(2) ભ્રમણગતિમાં તમામ બિંદુઓ એક અક્ષ(ધરી)ની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. કોઈ પણ બિંદુનું અંતર ભ્રમણાક્ષથી જેમનું તેમ રહે છે અને તે વર્તુળાકાર પથ ઉપર ગતિ કરે છે. (જુઓ આકૃતિ 2આ).

આકૃતિ 2ઇમાં બંનેનાં સ્થાનાંતરણ અને ભ્રમણગતિ દર્શાવેલાં છે. સરેરાશ વેગ કોઈ પણ સમયે બિંદુવત્ પદાર્થની ગતિની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. અથવા એકમ સમયમાં નિશ્ચિત દિશામાં કાપેલું અંતર વેગનું મૂલ્ય આપે છે. સમયગાળામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો પથ  છે. તેનો એકમ મીટર / સેકન્ડ છે. યામોને અનુલક્ષી પદાર્થ ધન અથવા ઋણ દિશામાં ગતિ કરતો હોય તો વેગ અનુક્રમે ધન અને ઋણ મળે છે.

મોટર જેવાં વાહનોનો વેગ (ઝડપ) સ્પીડોમિટર વડે મપાય છે. રડારનો ઉપયોગ કરીને ડૉપ્લર ઘટના વડે વેગનું માપન કરી શકાય છે.

જ્યારે સમયગાળો (Δt) શૂન્યની નજીક હોય છે ત્યારે સરેરાશ વેગને તાત્ક્ષણિક (instantaneous) વેગ કહે છે.

પ્રવેગ એ બદલાતા જતા વેગનું લક્ષણ દર્શાવે છે. વેગના ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહે છે; જ્યારે વેગ વધતો હોય ત્યારે તેને પ્રવેગ (acceleration) અને ઘટતો જતો હોય ત્યારે તેને પ્રતિવેગ (retardation) કહે છે.

સરેરાશ પ્રવેગ  તેનો એકમ મીટર/સેકન્ડ² છે.

જ્યારે સમયગાળો (Δt) શૂન્યની નજીક જાય છે ત્યારે સરેરાશ પ્રવેગને તાત્ક્ષણિક (instantaneous) પ્રવેગ કહે છે.

અચળગતિ (uniform motion) : જે ગતિ દરમિયાન પદાર્થનો વેગ બદલાતો ન હોય તેવી ગતિને અચળવેગી કહે છે. અચળગતિના નિયમો નીચે પ્રમાણે અપાય છે.

અચળપ્રવેગી ગતિ : ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ અચળ રહેતો હોય તેવી ગતિને અચળપ્રવેગી કહે છે.

એટલે કે

અહીં અચળપ્રવેગી ગતિના આલેખ આકૃતિ 3અ અને 3આમાં દર્શાવ્યા છે. વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ υ₀t ક્ષેત્રફળના લંબચોરસ અને ક્ષેત્રફળના ત્રિકોણના સરવાળા બરાબર થાય છે.

પ્રતિવેગમાં વેગ અને પ્રવેગની સંજ્ઞાઓ વિરુદ્ધ હોય છે; આથી વેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.

ત્રિપરિમાણમાં પ્રક્ષેપ-પથ (trajectory) :

ત્રિપરિમાણમાં કણ કે બિંદુનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે સ્થાનસદિશ- (position vector)ની જરૂર પડે છે. કાર્તીય યામોના ઉદ્ગમ બિંદુ અને કણના સ્થાનને જોડતા સદિશને સ્થાન-સદિશ કહે છે.

તે x, y અને z ઘટકો ધરાવે છે.

સદિશ વિધેય,  અવકાશમાં બિંદુ કે કણનો પ્રક્ષેપ-પથ દર્શાવે છે. (જુઓ આકૃતિ 4).

વેગ સદિશ (velocity vector) : એ બિંદુવત્ પદાર્થના વેગની દિશા અને મૂલ્ય દર્શાવે છે.

વેગ-સદિશ હમેશાં ગતિની દિશામાં હોય છે. સ્થાનસદિશ ફેરફાર ઉપર વેગસદિશ આધાર રાખે છે. સ્થાનસદિશનું મૂલ્ય અચળ રહે તે રીતે તેનું દિગ્વિન્યાસ (orientation) બદલાઈ શકે છે. વર્તુળગતિમાં આવું બને છે.

પ્રવેગ-સદિશ : તે વેગ-સદિશનું સમય સાથે વિકલન દર્શાવે છે.

સ્પર્શીય (tangential) અને લંબ (normal) પ્રવેગ, પ્રવેગ-સદિશનો સ્પર્શક ઉપર પ્રક્ષેપ અને પ્રવેગને લંબદિશામાં તેનો પ્રક્ષેપ છે, જે આ પ્રમાણે મળે છે : જે આકૃતિ 6માં દર્શાવ્યા છે.

અહીં સુધીની બધી ચર્ચા કાર્તીય યામોના સંદર્ભમાં કરવામાં આવી છે. તે જ રીતે સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગ ધ્રુવીય, ગોલીય અને સિલિન્ડરી યામોમાં દર્શાવી શકાય છે.

મુક્ત પતન (free fall) : સ્થિર સ્થિતિમાં રહેલો પદાર્થ h₀ ઊંચાઈએથી માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચે પતન કરતો હોય છે. અહીં ઘર્ષણ અને અવરોધ જેવાં બળોને અવગણવામાં આવ્યાં છે. અહીં સ્થાનને y યામ વડે દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

પતનનો વેગ υ(t) = υ_y(t) અને પ્રારંભિક ઊંચાઈ h₀ છે.

ઇમ્પેક્ટ (impact) વેગ મળે છે. ઊર્ધ્વ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત ગતિપદાર્થ શરૂઆતમાં h0 ઊંચાઈએ છે અને તેને ઊર્ધ્વ દિશામાં n0 વેગ મળે છે; આથી

જ્યારે V_y(t) = 0 થાય છે ત્યારે પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈ H પ્રાપ્ત કરે છે અને તેનો સમય TH હોય છે.

આનત (inclined) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ : અહીં પદાર્થ x તેમજ y દિશામાં ગતિ કરતો હોય છે. x દિશા એટલે કે સમક્ષિતિજ દિશામાં પદાર્થ ગતિ કરતો હોય છે ત્યારે તેના ઉપર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર થતી નથી. આથી તે ઘટક અચળ રહે છે. y દિશામાં ગતિના ઘટક ઉપર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર થાય છે; આથી

પ્રક્ષિપ્ત કોણ (α)ના સંદર્ભમાં પ્રારંભિક વેગના ઘટકો નીચે પ્રમાણે દર્શાવાય છે :

h₀ = 0 માટે ઉડ્ડયનના સર્વોચ્ચ બિંદુ માટેના આરોહણ-સમય T_H અને ઉડ્ડયન-સમય T નીચે પ્રમાણે મળે છે :

આનન પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે તેનો ગતિપથ પરવલયાકાર (parabolic) મળે છે; જે આકૃતિ 7માં દર્શાવ્યો છે. તેનો પથ

હવાના અવરોધને લક્ષમાં લેતાં, પતનવેગ અમર્યાદિત બની શકતો નથી પણ તેનું મર્યાદિત મૂલ્ય υ_max થાય છે. જ્યારે ઘર્ષણ  ગુરુત્વાકર્ષણ બરાબર થાય છે એટલે કે થાય છે. જ્યાં m પદાર્થનું દળ ρ, હવાની ઘનતા, Cw હવાના અવરોધનો ગુણાંક અને A, પદાર્થના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.

વર્તુળાકાર (circular) ગતિ : કોણીય વેગ , એ ભ્રમણાક્ષ(axis of rotation)ની દિશા દર્શાવતો સદિશ છે.

ભ્રમણકોણ છે; તેનો એકમ સેકન્ડ^-1 છે. દિગ્વિન્યાસ ભ્રમણનો ખ્યાલ આપે છે. (જુઓ આકૃતિ 8).

એકમ સમયમાં થતાં ભ્રમણોની સંખ્યાને કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. કોણીય આવૃત્તિ ω = 2πn; જ્યાં n એકમ સમયમાં ભ્રમણોની સંખ્યા છે.

એક ભ્રમણ માટે લાગતા સમયને આવર્તકાળ (T) કહે છે.

કોણીય પ્રવેગ  : એટલે એકમ સમયમાં કોણીય વેગનો ફેરફાર એટલે કે સરેરાશ કોણીય પ્રવેગ

તેનો એકમ સેકન્ડ^-2 છે. m દળના પદાર્થનો વર્તુળાકાર કક્ષા ઉપર કક્ષીય (orbital) વેગ એટલે કોણીય વેગ અને સ્થાનસદિશ નો સદિશ  જ્યાં  કક્ષીય વેગ;  સ્થાનસદિશ અને કોણીય વેગ છે. (જુઓ આકૃતિ 9).

કક્ષીય વેગ-સદિશનું વિઘટન : સદિશ તે બે ઘટકોમાં વહેંચી શકાય છે. એક જે કોણીય વેગ ને સમાંતર (એટલે કે ભ્રમણાક્ષને સમાંતર) હોય છે અને બીજો તેને લંબ હોય છે; આથી  અને તેથી,

આથી કક્ષીય વેગ માટે ભ્રમણાક્ષથી માત્ર લંબ અંતર જ પ્રસ્તુત છે. કક્ષીય વેગનું મૂલ્ય નીચે પ્રમાણે મળે છે.

જ્યાં α એ ભ્રમણાક્ષ અને સ્થાનસદિશ વચ્ચેનો કોણ છે. ખાસ કરીને R ત્રિજ્યાના ચક્રની પરિધિ (circumference) ઝડપ માટે

જ્યાં n ચક્રીય આવૃત્તિ અને T ભ્રમણ સમય છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R = 6380 કિમી. છે; આથી વિષુવવૃત્ત આગળ પરિધિ ઝડપ

      = 464 મીટર/સેકન્ડ = 1,670 કિમી./કલાક

45° અક્ષાંશે આવેલા બિંદુ(જે પૃથ્વીની ભ્રમણાક્ષને લંબ છે)નો વેગ

કિમી./કલાક થાય છે.

આશા પ્ર. પટેલ