વિભાજન (સંખ્યાઓનું)

વિભાજન (સંખ્યાઓનું) : આપેલ ધનપૂર્ણાંક સંખ્યાને ધનપૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે દર્શાવવામાં આવે તો તે સંખ્યાનું વિભાજન; દા.ત., 2 + 5 એ 7નું એક વિભાજન છે. આ વિભાજનમાં 2 અને 5 વિભાગો છે. આમ 2 + 5, 7નું બે વિભાગોમાં કરેલું વિભાજન છે. એ જ પ્રમાણે 1 + 6 અને 3 + 4, 7નાં બે વિભાગવાળાં અન્ય વિભાજનો છે. વિભાજનમાં વિભાગોનો ક્રમ અગત્યનો નથી. 2 + 5 અને 5 + 2, 7નું એક જ વિભાજન છે. આ કારણે પ્રત્યેક વિભાજનમાં વિભાગો ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવેલા છે. વિચાર કરતાં જણાશે કે કોઈ પણ સંખ્યા nનું એક જ વિભાગમાં વિભાજન કરવું હોય તો તે એક જ રીતે થઈ શકે અને તે વિભાજનનો એકમાત્ર વિભાગ સ્વયં n છે. એ જ રીતે nનું વધુમાં વધુ n વિભાગોમાં વિભાજન થઈ શકે. આવું વિભાજન પણ એક જ છે અને તેનો પ્રત્યેક વિભાગ 1 છે.

આપેલ ધનપૂર્ણાંક nને કુલ કેટલી જુદી જુદી રીતે વિભાગી શકાય, એટલે કે nનાં બધાં જ વિભાજનની સંખ્યા p(n) હોય તો p(n)ની કિંમત કેટલી ? એ જ પ્રમાણે r વિભાગોવાળાં nનાં વિભાજનોની સંખ્યા p(n, r) હોય તો p(n, r)ની કિંમત કેટલી ? આવા સવાલો ઊઠે છે.

દા.ત., 4નાં નીચે પ્રમાણે કુલ પાંચ વિભાજનો થઈ શકે :

4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1.

તેથી p(4) = 5, p(4, 2) = 2, p(4, 3) = 1.

આગળ કહ્યું છે તેમ, p(n, 1) = 1 = p(n, n). p(n, 2)ની કિંમત સહેલાઈથી શોધી શકાય. p(n, 3) માટેનું સૂત્ર મેળવવું જરા વધુ કઠિન છે. એ સૂત્ર છે :

અહીં જો પૂર્ણાંક ન હોય તો તે જે બે પૂર્ણાંકોની વચ્ચે આવેલો હોય તે પૂર્ણાંક લેવાનો છે; દા.ત.,

p(n, 4), p(n, 5) વિ.નાં સૂત્રો તો ઘણાં દુર્ગમ અને અટપટાં હોવાનાં જ. p(n) માટે દેખીતી રીતે નીચેનું સૂત્ર તો છે જ :

p(n) = p(n, –1) + p(n, –2) + p(n, –3) + ….. + p(n, –n).

પણ p(n, r)ના સૂત્રને અભાવે આ સૂત્રનો બહુ અર્થ નથી. વળી p(n) માટે એક વધુ સરળ સૂત્ર પણ છે.

હવે જુદા જુદા પ્રકારનાં વિભાજનો વચ્ચેનો સંબંધ જોવો જરૂરી છે. nના પ્રત્યેક વિભાજનની ‘આકૃતિ’ બનાવી શકાય; દા.ત., 13નું એક વિભાજન 5 + 3 + 3 + 2 છે. આ વિભાજનમાં ચાર વિભાગો છે. 13 ટપકાંને આડી હારોમાં લખી શકાય એ રીતે પ્રથમ હારમાં 5, બીજી હારમાં 3, ત્રીજી હારમાં 3 અને ચોથીમાં 2 ટપકાં મૂકવામાં આવે તો નીચેની આકૃતિ મળે :

આ આકૃતિને 5 + 3 + 3 + 2 એ વિભાજનની આકૃતિ કહેવાય છે.

હવે આ જ આકૃતિને કાટખૂણે ફેરવતાં આડી પંક્તિઓ ઊભી થઈ જાય છે અને ઊભી પંક્તિઓ આડી થઈ જાય છે. એ રીતે નીચે પ્રમાણેની આકૃતિ મળે છે :

આ આકૃતિ તો 4 + 4 + 3 + 1 + 1 એ વિભાજનની આકૃતિ છે. આવાં બે વિભાજનો અનુબદ્ધ વિભાજનો કહેવાય. આ રીતે 5 + 3 + 3 + 2 અને 4 + 4 + 3 + 1 + 1, 13નાં બે અનુબદ્ધ વિભાજનો છે. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે આપેલ વિભાજનના વિભાગોની સંખ્યા તેના અનુબદ્ધ વિભાજનમાંના મોટામાં મોટા વિભાગ જેટલી થાય. આ રીતે નીચેનું પ્રમેય મળે છે :

પ્રમેય : nનાં r વિભાગોમાં થઈ શકતાં વિભાજનોની કુલ સંખ્યા, એટલે કે p(n, r) nનાં જે વિભાજનોમાં મોટામાં મોટો વિભાગ r હોય તેમની સંખ્યા જેટલી છે.

જેમાં મોટામાં મોટો વિભાગ 3 હોય તેવાં 7નાં વિભાજનો 3 + 3 + 1, 3 + 2 + 2, 3 + 2 + 1 + 1  અને 3 + 1 + 1 + 1 + 1 છે. તેમની સંખ્યા ચાર છે. 7નાં ત્રણ વિભાગોવાળાં વિભાજનો 3 + 2 + 2, 3 + 3 + 1,  4 + 2 + 1 અને 5 + 1 + 1 છે અને તેમની સંખ્યા પણ ચાર છે.

કોઈ વિભાજન તેના અનુબદ્ધ વિભાજનની બરાબર હોય તેવું પણ બને; દા.ત., આકૃતિ 3માંનાં ટપકાં આડી હારોમાં ગણો કે ઊભી હારોમાં વિભાજન એક જ છે : 5 + 3 + 3 + 1 + 1. આવા વિભાજનને સ્વાનુબદ્ધ વિભાજન કહી શકાય. આવા વિભાજનની આકૃતિમાં પહેલી હાર અને પહેલા સ્તંભમાં સરખી સંખ્યામાં ટપકાં હોય છે. આવું જ બીજી હાર અને બીજા સ્તંભ, ત્રીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભ વગેરે વિશે બને છે. હવે આવી આકૃતિમાં ટપકાં ગણવાની જુદી પદ્ધતિ આ પ્રમાણે છે : પહેલી હાર અને પહેલા સ્તંભમાં આવેલાં કુલ ટપકાં ગણવામાં આવે, પછી બીજી હાર અને બીજા સ્તંભમાં આવેલા કુલ ટપકાં ગણવામાં આવે તો nનું એક જુદું વિભાજન મળે. આકૃતિ 4માં પહેલી હાર અને પહેલા સ્તંભમાં કુલ 9 ટપકાં છે, બીજી હાર અને

બીજા સ્તંભમાં (આ પહેલાં ન ગણાયેલ ટપકાં) 3 છે અને ત્રીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભમાં 1 ટપકું બાકી રહે છે નીચે પ્રમાણે :

તેથી 9 + 3 + 1 એ 13નું વિભાજન મળે છે. સ્વાનુબદ્ધ વિભાજન પરથી આ રીતે જે નવું વિભાજન મળે તેમાં પ્રત્યેક વિભાગ એકી હોવાનો અને કોઈ પણ બે વિભાગ સરખા નહિ હોવાના. એથી ઊલટું nનું એકી અસમાન વિભાગોવાળું વિભાજન આપ્યું હોય તો તેની યોગ્ય આકૃતિ બનાવી તેમાંથી nનું એક સ્વાનુબદ્ધ વિભાજન નિપજાવી શકાય. આમ નીચેનું પ્રમેય મળે છે :

પ્રમેય : nનાં સ્વાનુબદ્ધ વિભાજનોની સંખ્યા nનાં એકી અસમાન વિભાગોમાં થઈ શકતાં વિભાજનોની સંખ્યા જેટલી છે.

આના જેવું જ પણ જુદી જ રીતે સાબિત થતું એક પ્રમેય નીચે મુજબ છે :

પ્રમેય : nના અસમાન વિભાગોમાં થઈ શકતાં વિભાજનોની સંખ્યા nના એકી વિભાગોમાં થઈ શકતાં વિભાજનોની સંખ્યા જેટલી જ છે.

દા.ત., 5ના અસમાન વિભાગોવાળાં વિભાજન 5, 4 + 1, 3 + 2 છે. તેમની સંખ્યા ત્રણ છે. 5ના એક વિભાગોવાળાં વિભાજન 5, 3 + 1 + 1, 1 + 1 + 1+ 1 + 1 છે અને તેમની સંખ્યા પણ ત્રણ છે.

આ પ્રમેયની એક સરસ સાબિતીમાં દ્વિઅંકી સંખ્યા-પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.

સંખ્યાઓના વિભાજનનો અભ્યાસ 18મી સદીમાં ઑઇલરે શરૂ કર્યો. આપણે ઉપર જોયાં તેવાં કેટલાંક પરિણામો તેમણે મેળવ્યાં અને n = 2, 3, 4,… માટે ક્રમશ: p(n)ની કિંમતો શોધી શકાય તે માટે નીચેનું સૂત્ર પણ શોધ્યું : p(n)  p(n – 1)  p(n – 2) + p(n – 5) + p(n – 7)  p(n – 12)  p(n – 15) + p(n – 22) + p(n – 26) …… = 0.

અહીં બે પદો ઋણ અને બે પદો ધન, ફરી બે પદો ઋણ અને બે પદો ધન એ તરેહ છે. nમાંથી બાદ કરેલી સંખ્યાઓ,

1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26,……

બધી ½k(3k – 1) અને ½k(3k + 1) પ્રકારની છે; જ્યારે ડાબી બાજુએ કૌંસમાંની સંખ્યા ઋણ થાય ત્યારે અટકી જવાનું છે, p(0) = 1 લેવાનું છે; દા.ત., p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5 અને p(5) = 7 એવી જાણ હોય તો p(6)ની ગણતરી આ પ્રમાણે થઈ શકે. ઑઇલરના સૂત્ર પ્રમાણે,

p(6)  p(6 – 1)  p(6 – 2) + p(6 – 5) = 0,

∴  p(6) = p(5) + p(4) – p(1) = 7 + 5  1 = 11.

ઈ. સ. 1916માં ઇંગ્લૅન્ડના હાર્ડી અને ભારતના શ્રીનિવાસ રામાનુજને p(n)નું સૂત્ર મેળવવાના પ્રશ્ર્નનો ખૂબ ઊંડો અભ્યાસ કર્યો. nની પ્રત્યેક કિંમત માટે સાચું પડે તેવું સૂત્ર મેળવવાને બદલે તેમનો પ્રયત્ન nની ‘મોટી’ કિંમતો માટે ‘લગભગ’ સાચું પડે તેવું સૂત્ર મેળવવાનો હતો. આ પ્રયત્નમાં તેમને સુંદર સફળતા મળી અને તેમણે સાબિત કર્યું કે nની પર્યાપ્ત મોટી કિંમતો માટે p(n)ની કિંમત લગભગ e^{c √ n}  / (4 √ 3n) છે, જ્યાં c = π √ (2/3) અને e = 2.71828. તેમના સૂત્રની ચોકસાઈ ચકાસવા માટે nની ‘મોટી’ કિંમતો માટે p(n)ની ખરી કિંમત જાણવાની જરૂર હતી. આથી મૅકમૅહોને ઑઇલરના સૂત્રની મદદથી nની 1થી 200 સુધીનો કિંમતો માટે p(n)ની કિંમતોનું કોષ્ટક તૈયાર કર્યું. આ કોષ્ટકથી જણાયું કે p(n)ની ખરી કિંમતો હાર્ડીરામાનુજન સૂત્રથી બહુ જુદી ન હતી. પછી તો હાર્ડી-રામાનુજને પોતાના સૂત્રને વધુ સૂક્ષ્મ બનાવ્યું. આખરે તે એટલું બધું સૂક્ષ્મ બન્યું કે તેમના સૂત્ર પ્રમાણે p(100)નું મૂલ્ય 190569291.996 મળ્યું જ્યારે p(100)ની ખરી કિંમત 190569292 છે !

પરંતુ રામાનુજન્ આટલેથી અટક્યા નહિ. મૅકમૅહોનના કોષ્ટક પર નજર કરતાં તેમણે પ્રથમ અટકળ કરી અને પછી સાબિત કર્યું કે પ્રત્યેક પૂર્ણાંક k માટે (i) p(5k + 4)ને 5 વડે (ii) p(7k + 5)ને 7 વડે અને (iii) p(11k + 6)ને 11 વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય. વિધેય p(n)ની વ્યાખ્યા માત્ર સરવાળાની ક્રિયા પર જ અવલંબે છે; તેમ છતાં તે વિધેયમાં ગુણાકાર-વિષયક ગુણધર્મો પણ છે તે હકીકત કંઈક અંશે આશ્ર્ચર્યજનક છે તેમ જ સંખ્યાઓમાં રહેલી સુરાજકતાની દ્યોતક છે.

અરુણ મ. વૈદ્ય