રેડિયલ, તરંગફલન (radial wave-function) R(r) અથવા R(nl) : પરમાણુના નાભિકથી તેના અંતરના ફલન (function) તરીકે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તણૂક દર્શાવતું તરંગફલન. પરમાણુઓ અથવા અણુઓમાંના ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તણૂક સમજવા માટે ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીનો ઉપયોગ થાય છે. આ સિદ્ધાંત પ્રણાલીના ક્વૉન્ટીકૃત (quantized) ઊર્જાસ્તરોની આગાહી કરે છે. અહીં અણુ કે પરમાણુની કક્ષકોમાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ વર્ણવવામાં અને તે વડે તેની ઊર્જા, વેગમાન વગેરેની ગણતરી કરવા માટે તેના તરંગફલનનો ઉપયોગ થાય છે. આવા તરંગફલનને Ψ (સાઇ, psai) સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરમાણુઓ ગોળાકાર (spherical) કલ્પવામાં આવ્યા હોવાથી તેમના અભ્યાસ માટે ગોલીય ધ્રુવીય યામો (spherical polar coordinates) વડે તેમનાં તરંગફલનોને વર્ણવવાં સરળ પડે છે. આ પૈકી નાભિકથી ઇલેક્ટ્રૉનનું અંતર દર્શાવતા r–યામનું ફલન (વિધેય) R(r), θનું Θ(θ) અને Φનું વિધેય Φ(Φ) છે. દરેક ઇલેક્ટ્રૉન માટે કુલ તરંગફલન, Ψ(r,θ,Φ), આ ત્રણ તરંગફલનોના ગુણાકારથી મેળવાય છે અને તેને કક્ષક કહેવામાં આવે છે. આમ,
Ψ(r,θ,Φ) = R(r)Θ(θ)Φ(Φ) …………………………………………………………………………………………………..(1)
R(r)ને ઇલેક્ટ્રૉનનું રેડિયલ તરંગફલન કહે છે અને તે માત્ર r–યામ ઉપર આધારિત છે. Θ(θ)અને Φ(Φ) ના ગુણાકાર (Θ(θ) Φ(Φ))ને કોણીય (angular) તરંગફલન અથવા ગોલીય (spherical) પ્રસંવાદી (સ્વરિત, સંનાદી, harmonics) કહે છે અને તે કક્ષકની દિશા દર્શાવે છે. આમ પરમાણુ-કક્ષકો માટેનાં ગાણિતિક સમીકરણો આ બે અવયવો – (i) રેડિયલ અને (ii) કોણીય તરંગફલન – ના ગુણાકાર વડે દર્શાવાય છે. રેડિયલ તરંગફલન પરમાણુકેન્દ્રથી ત્રિજ્ય(radial)-અંતરના ફલન તરીકે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે. કોણીય તરંગફલન કેન્દ્રની આસપાસના અવકાશમાંની દિશા સાથે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તણૂક કેવી રીતે બદલાય છે તે દર્શાવે છે. કોણીય તરંગફલનો મુખ્ય ક્વૉન્ટમ-આંક n ઉપર આધાર રાખતાં ન હોવાથી, તે s, p, d, …… કક્ષકોનાં વિશિષ્ટ લક્ષણો છે.
ઉપર જણાવેલ સમીકરણ (1) પ્રમાણે તરંગફલન Ψ(r,θ,Φ)માં rનું કેટલું અને કેવું પ્રદાન છે તે R(r)ના મૂલ્ય ઉપરથી જાણી શકાય. R(r) અને r વચ્ચેના સંબંધને દર્શાવતું સૂત્ર સંલગ્ન લગૂરે બહુપદી(Associated Laguerre Polynomial)ના ઉપયોગ વડે મેળવી શકાય છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં આવેલા એક ઇલેક્ટ્રૉન માટે R(r)ની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ઉપજાવવા માટે શ્રૉડિંજર સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને Ψ(r,θ,Φ) તરંગફલનમાંથી ગાણિતિક ગણતરી કરીને, R(r), Θ(θ), અને Φ(Φ) ત્રણેય તરંગફલનોને અલગ કરવામાં આવે છે. આથી પૃથક્ પ્રાપ્ત થતાં માત્ર રેડિયલ તરંગફલનયુક્ત સમીકરણ મળે છે, જે નીચે આપેલ છે :
…………….(2)
અહીં m = ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ, e = તેના ઉપરનો વીજભાર, l = અચલ (કક્ષકીય ક્વૉન્ટમ-આંક) તથા h = પ્લાંકનો અચળાંક છે. આ સમીકરણ(2)માં હાઇડ્રોજનની કુલ ઊર્જા, 
મૂકીને તથા કેટલુંક જરૂરી સરલીકરણ કરવાથી R(r) અને r વચ્ચેનું સમીકરણ મળે છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :
…………..(3)
અહીં ao = અચલ (બોહર-ત્રિજ્યા; હાઇડ્રોજનમાંના ઇલેક્ટ્રૉનની પ્રથમ કક્ષા માટે 0.529 Å) છે. 
એ સંલગ્ન લેગૂરે પદાવલી; અહીં n = મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક અને l = કોણીય વેગમાન (angular momentum) અથવા એઝિમ્યુથલ (azimuthal) ક્વૉન્ટમ-આંક છે. આ સમીકરણ ઉપરથી જોઈ શકાય છે કે નાભિકથી r અંતરે R(r)નું મૂલ્ય બે ક્વૉન્ટમ-આંક n અને l ઉપર આધાર રાખે છે. આ કારણસર R(r)ને R(nl) સંજ્ઞા વડે પણ દર્શાવવામાં આવે છે. આવા જ કારણસર Θ(θ) ને Θ(lm) અને Φ(Φ)ને Φ(m) સંજ્ઞાઓ આપવામાં આવે છે, જેમાં m એ ચુંબકીય ક્વૉન્ટમ આંક છે. કોઈ એક કક્ષક Ψ(r,θ,Φ)ને મેળવવા R(nl) Θ(lm) Φ(m) ગુણાકાર કરવાનો થાય અને તેથી તેને Ψ(n, l, m) વડે પણ દર્શાવાય છે. વળી બધી કક્ષકોને lના મૂલ્ય ઉપરથી લેબલ આપવામાં આવે છે; જેમ કે, l = 0, 1, 2, 3, …… મૂલ્ય ધરાવતી કક્ષકોને અનુક્રમે s, p, d, f, …. સંજ્ઞાઓથી ઓળખવામાં આવે છે. આ સંજ્ઞાઓની આગળ મુખ્ય ક્વૉન્ટમ-આંકને લખવાથી જે તે કક્ષકોને ઓળખી શકાય છે; જેમ કે, 1s, 2p, 3p, 3d વગેરે કક્ષકો.
સમીકરણ(3)માં n અને lની જુદી જુદી કિંમતો મૂકવાથી રેડિયલ તરંગફલન(Rnl)નાં ગાણિતિક પદો મળે છે, જે લંબકોણીય (લંબસામાન્ય, લાંબિક, લંબચ્છેદી, orthogonal) હોય છે. સાથેના કોષ્ટકમાં R(nl)નાં કેટલાંક આવાં પદો આપેલાં છે. સાથે તેમની આગળ તે R(nl) કઈ કક્ષક Ψ(nlm)ની રચનામાં ઉપયોગમાં લેવાય છે તે પણ દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ 1 : R(nl) વિરુદ્ધ rના આલેખો
[કોષ્ટકના છેલ્લા ખાનામાં એક-ઇલેક્ટ્રૉનવાળા આયનો, દા.ત., He+ અથવા Li 2+ માટેનું સામાન્ય પદ આપેલ છે, જેમાં 
σ વડે દર્શાવેલ છે. (Z = પરમાણુક્રમાંક)]
આ કોષ્ટકને આધારે શરૂઆતનાં કેટલાંક R(nl)નાં મૂલ્યો વિરુદ્ધ rની કિંમતના આલેખો સાથેની આકૃતિ 1માં આપેલ છે. કૌંસમાં જે કક્ષકની રચના માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે તેનો ઉલ્લેખ કરેલ છે.
આ આલેખો પરથી મળતી કેટલીક મહત્વની માહિતી નીચે પ્રમાણે છે :
(અ) rનું મૂલ્ય અનંત (infinite) તરફ વધતાં બધા જ R(nl) શૂન્યવત્ બને છે.
(બ) બધાં જ l = 0 મૂલ્યવાળાં R(n0) તરંગફલન (એટલે કે s–કક્ષકો) નાભિકની નજીક હોવાની સંભાવના સારી એવી માત્રામાં ધરાવે છે, જ્યારે l = 1 (p–કક્ષકો), l = 2 (d–કક્ષકો) અને l = 3 (f–કક્ષકો)માં R(nl)નું મૂલ્ય નાભિક આગળ શૂન્ય હોય છે.
(ક) બધાં જ l = 0 વાળાં R(n0) તરંગફલનમાં (જેમાં n = 1, 2, 3, ……પૂર્ણાંકો છે તેમાં) nનું મૂલ્ય વધે તેમ તેમાં નિર્નતિ (node) (શૂન્ય ઇલેક્ટ્રૉન-સંભાવના સ્તર)ની સંખ્યા વધે છે. R10માં એક પણ નિર્નતિ નથી. R20માં એક, R30માં બે – એમ નિર્નતિની સંખ્યા વધે છે. l = 1 વાળા રેડિયલ ફલન (Rn1) તેમજ l = 2 વાળા R(n2)માં પણ આવી સંક્રાંતિ જોવા મળે છે. કક્ષકોની ઊર્જા વધે તેમ તેમાં નિર્નતિની સંખ્યા વધે તે નિયમ સાથે આ વલણ સુસંગત છે.
રેડિયલ ફલનની r અને (r + dr) અંતર વચ્ચેની સાંકડી, નાની (dr પહોળાઈવાળી) નાભિકને ફરતી ગોળ પટ્ટીમાં ઇલેક્ટ્રૉન હોવાની સંભાવનાને રેડિયલ સંભાવના-વિતરણ (radial probability distribution) કહે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ત્રણ કક્ષકો માટે r સાથે બદલાતા આવા સંભાવના-વિતરણનો આલેખ આકૃતિ 2માં દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ 2
R10 (Ψ1s કક્ષક) માટે આવી સંભાવનાનું મહત્તમ મૂલ્ય a0 (Å) ઉપર પ્રાપ્ત થાય છે. હાઇઝનબર્ગના અચોક્કસતાના સિદ્ધાંતને લીધે હાઇડ્રોજન પરમાણુની નિમ્નતમ કક્ષાનો પથ a0 (Å) ત્રિજ્યાના વર્તુળરૂપે હોય છે તેવો બોહરનો પ્રસ્તાવ અપ્રસ્તુત બનેલો. હવે a0 એટલે હાઇડ્રોજનની પ્રથમ કક્ષકમાં રેડિયલ સંભાવના-વિતરણનું મૂલ્ય જે અંતરે છે તે અંતર બને છે. પરમાણુ એકમ(a. u.)માં આ અંતરને a0 = 1 બોહર ગણવામાં આવે છે.
લ. ધ. દવે