રૂપાંતરણ ગાણિતિક

(transformation mathematical)

આંકડાશાસ્ત્રીય માહિતીમાં ચોકસાઈ લાવવા લઘુગણકીય કે વર્ગમૂલીય વિધેયોમાં કરવામાં આવતા ફેરફાર. બૈજિક, ભૌમિતિક, વૈશ્લેષિક, અવકાશ કે આંકડાશાસ્ત્ર અંગેના ગાણિતિક પ્રશ્નોને સરળતાથી ઉકેલવા માટે બૈજિક પદો, ભૌમિતિક યામો કે અક્ષો અને વૈશ્લેષિક આલેખનોમાં ફેરફાર કરવામાં આવે છે.

બૈજિક રૂપાંતરણ : બીજગણિતમાં બૈજિક પદાવલીઓના અવયવ પાડવામાં, પદાવલીને સંક્ષિપ્ત રૂપ આપવામાં તેમજ પદાવલીઓના લ.સા.અ.; ગુ.સા.અ. શોધતી વખતે પદાવલીનાં પદોની ફેરગોઠવણી કરવામાં આવે છે. કેટલાક ગાણિતિક કૂટપ્રશ્નો ઉકેલવા માટે અવ્યક્ત ચલરાશિઓનો ઉપયોગ કરી સમસ્યાનું બૈજિક સમીકરણના સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરવામાં આવે છે. સમીકરણનો ઉકેલ શોધતાં સમસ્યાનો ઉકેલ મળે છે. ગુણોત્તર અને પ્રમાણના પ્રશ્નોમાં  જેવું રૂપાંતરણ વાપરવામાં આવે છે. આ બધાં રૂપાંતરણ બૈજિક રૂપાંતરણ છે.

ભૌમિતિક રચનાઓ અને તે પરના દાખલાઓ ગણવામાં દરેક નવી રચના માટે ખાસ પદ્ધતિ લગાડવાને બદલે ભૌમિતિક ગુણધર્મોને આધારે રચનાઓનું વર્ગીકરણ કરી જે તે વર્ગને અનુરૂપ ભૌમિતિક રૂપાંતરણ લગાડવાથી પ્રશ્નો સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. ભૌમિતિક પરિવર્તન કે રૂપાંતરણ મુખ્યત્વે ત્રણ પ્રકારનાં છે : (1) સ્થાનાંતરણ (translation), (2) પરાવર્તન (reflection) અને (3) પરિભ્રમણ (rotation).

સ્થાનાંતરણ (translation) : ચોક્કસ દિશામાં અને ચોક્કસ અંતર સુધી બિંદુને ખસેડવાથી સ્થાનાંતરણ મળે છે. અહીં દિશા અને અંતરને સદિશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ભૂમિતિમાં કાર્તેઝીય યામ નિર્દેશનતંત્રમાંથી, ધ્રુવીય યામ નિર્દેશનતંત્રમાં ફેરફાર કરવામાં આવે ત્યારે યામાક્ષોનું રૂપાંતરણ થયું ગણાય છે. ઊગમબિંદુનું સ્થાનાંતર એ એક અક્ષ સમુચ્ચયમાંથી મૂળ અક્ષોને સમાંતર હોય તેવા બીજા અક્ષ સમુચ્ચયમાં રૂપાંતરણ છે.

પરાવર્તન સ્વરૂપનું રૂપાંતરણ : α સમતલ પર એક સુરેખા l છે. સુરેખા l પર ન હોય તેવું α સમતલ પરનું એક બિંદુ P છે. P બિંદુમાંથી l રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ F છે. PFને Q બિંદુ સુધી એવી રીતે લંબાવી છે કે જેથી PF = FQ થાય છે. આમ સુરેખા lમાં P બિંદુના પરાવર્તન દ્વારા મળતા બિંદુ Qને P બિંદુનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. જો P બિંદુ કોઈ સુરેખા પર ગતિ કરે તો Q બિંદુ પણ મૂળ રેખાને સમાંતર આવી જ એક રેખા પર ગતિ કરે છે (આકૃતિ 1). પરંતુ જો P બિંદુ વર્તુળ પર રહી દક્ષિણાવર્તી કે સમઘડી (clockwise) દિશામાં વર્તુળાકાર ગતિ કરે તો પ્રતિબિંબ P´ વામાવર્તી કે વિષમઘડી (anti-clockwise) દિશામાં વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે (આકૃતિ 2). અહીં દિશા બદલાઈ જતી હોવાથી રૂપાંતરણને પરોક્ષ (indirect) રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે.

બિંદુનું એક રેખામાંના પરાવર્તનનું બીજી રેખામાં પુન: પરાવર્તન થાય ત્યારે દિશા જળવાઈ રહે છે. આ રૂપાંતર પ્રત્યક્ષ (direct) રૂપાંતરણ છે.

વ્યુત્ક્રમણ (inversion) : વર્તુળના સાપેક્ષે મળતા બિંદુના પરાવર્તનને વ્યુત્ક્રમણ કહેવામાં આવે છે. અહીં મૂળ વસ્તુ P છે અને વર્તુળાકાર આરસીમાં મળતું તેનું પ્રતિબિંબ P´ છે. જે રેખા OP ઉપર છે અને Oની જે તરફ P બિંદુ છે તે તરફ આવેલું છે જેથી OP. OP´ = r² છે. (જુઓ આકૃતિ 3)

 P, P´ બિંદુઓને વર્તુળના સંદર્ભમાં પરસ્પરનાં વ્યુત્ક્રમણ (inverse) બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. વ્યુત્ક્રમણને કારણે અંદરનાં અને બહારનાં બિંદુઓની ફેરબદલી થાય છે. જો P બિંદુ વર્તુળની અંદર હોય એટલે કે OP < r હોય તો પ્રતિબિંબ P´ વર્તુળની બહાર હોય છે જેથી OP´ > r થાય છે. વર્તુળના પરિઘ પરના બિંદુ Pનું પ્રતિબિંબ તે બિંદુ પોતે જ હોય છે તેથી તેનું પ્રતિબિંબ વર્તુળના પરિઘ પર જ હોય છે. વળી P બિંદુ વર્તુળના કેન્દ્રની જેમ નજીક જાય તેમ તેનું પ્રતિબિંબ P´ વર્તુળના કેન્દ્રથી દૂર અને દૂર જાય છે. આમ વ્યુત્ક્રમણને કારણે જાણે કે કેન્દ્ર O આગળના બિંદુનું પ્રતિબિંબ, અનંતને આંબે છે. સમતલ પરનાં બિંદુઓ અને વ્યુત્ક્રમણ નીચે મળતાં તેમનાં પ્રતિબિંબો વચ્ચે દ્વિ-પક્ષી અનન્ય (Bi-unique) સંગતતા મળે છે એટલે કે પ્રત્યેક બિંદુ Pનું અનન્ય પ્રતિબિંબ P´ મળે છે (અને એથી ઊલટું પણ).

બિંદુ આસપાસનું પરિભ્રમણ (rotation) : જો l અને m રેખાઓ O બિંદુમાં મળતી હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો α હોય તો પરાવર્તનને પરિણામે O બિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ મળે છે. આકૃતિ 4માં બતાવ્યા મુજબ A બિંદુનું સુરેખા lમાં પરાવર્તન થવાથી મળતું પ્રતિબિંબ B છે. સુરેખા mમાં B બિંદુનું ફરીથી પરાવર્તન થવાથી C બિંદુ મળે છે.

આમ પરાવર્તનની પરંપરાના ફલસ્વરૂપે OA થી OC સુધીનું પરિભ્રમણ β = < AOC મળે છે. (આકૃતિ 4). β ખૂણો l, m રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા α કરતાં બમણો થાય છે, એટલે કે β = 2α.

સમતલ કે અવકાશમાંની આકૃતિઓના ગુણધર્મો અંગેનો અભ્યાસ યૂક્લિડની ભૂમિતિ દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ ગુણધર્મો એટલા બધા વૈવિધ્યભર્યા છે કે જ્ઞાનના આ વિપુલ ભંડારમાં સુવ્યવસ્થા આણવી જરૂરી છે. તે માટે વૈશ્લેષિક (analytic) અને સાંશ્લેષિક (synthetic) પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સાંશ્લેષિક પદ્ધતિનો ઉપયોગ યૂક્લિડે તેની ભૂમિતિમાં વિવિધ પ્રમેયો ક્રમશ: સિદ્ધ કરવામાં કરેલો છે. વૈશ્લેષિક પદ્ધતિમાં બૈજિક પ્રવિધિઓ અને વિવિધ યામ-પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઈ. સ. 1872માં ફેલિક્સ ક્લાઇને ‘‘રૂપાંતરણો અને ભૌમિતિક ગુણધર્મ’’ વિષય પર પ્રવચન આપ્યાં હતાં, જે એરલાંગેન પ્રોગ્રામ (Erlangen programme) તરીકે જાણીતાં છે. તેમાં દૃઢગતિ રૂપાંતરણ, પ્રક્ષેપી રૂપાંતરણ અને સાંસ્થિતિક રૂપાંતરણનો ઉલ્લેખ છે. પદાર્થ કે આકૃતિના ભૌમિતિક ગુણધર્મ અમુક રૂપાંતરણ નીચે અવિચળ રહે છે, પરંતુ બીજા રૂપાંતરણ નીચે બદલાય છે. આમ રૂપાંતરણ સાપેક્ષે ભૌમિતિક ગુણધર્મોમાં થતા ફેરફારોને અનુલક્ષીને વિવિધ ભૂમિતિઓનો ઉદભવ અને વિકાસ થયો.

દૃઢગતિ રૂપાંતરણ : આ રૂપાંતરણમાં સમતલ પરનાં કોઈ પણ બે બિંદુ વચ્ચેનું અંતર અને રૂપાંતરણ પછીનાં તેમનાં પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર સરખાં રહે છે. યૂક્લિડીય ભૂમિતિની આકૃતિઓનાં લંબાઈ, ખૂણા અને ક્ષેત્રફળનાં ‘માન’ (magnitude) દૃઢગતિ રૂપાંતરણ નીચે જળવાઈ રહે છે પરંતુ પ્રક્ષેપી રૂપાંતરણ નીચે બદલાય છે. આથી યૂક્લિડીય ભૂમિતિના ‘માન’ અંગેના ગુણધર્મો પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ નથી.

વસ્તુનું પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ થાય ત્યારે વસ્તુની ભૌમિતિક આકૃતિનું પ્રક્ષેપિત પ્રતિબિંબ વિરૂપિત થાય છે. પરિણામે તેની લંબાઈ, ખૂણા અને ક્ષેત્રફળનાં માન બદલાય છે. દા.ત., ચિત્રકાર મૂળ વસ્તુનું ચિત્ર બનાવે ત્યારે કૅનવાસ ઉપર મૂળવસ્તુનું સ્વરૂપ અને આકાર જળવાઈ રહે છે પરંતુ તેનાં લંબાઈ અને ખૂણાનાં માન બદલાઈ જાય છે. છતાં મૂળવસ્તુના કેટલાક ગુણધર્મ જળવાઈ રહ્યા હોવાથી ચિત્ર જોવાથી મૂળવસ્તુ ઓળખાઈ આવે છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં પ્રક્ષેપી રૂપાંતરણ નીચે જળવાઈ રહેલા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ ભૂમિતિવિદ્ પૉંસ્લેએ આવો અભ્યાસ કર્યો હતો. ફ્રાન્સના રશિયા સાથેના યુદ્ધમાં તેઓ યુદ્ધકેદી તરીકે પકડાયા હતા. કારાવાસ દરમિયાન ભૌમિતિક આકૃતિઓના ‘પ્રક્ષેપી ગુણધર્મોનો પ્રબંધ’ (ફ્રેંચ ભાષામાં ‘ત્રેત દ’ પ્રોપાઇટીસ પ્રોજેક્ટિવ્ઝ દ’ ફીગર્સ’) ગ્રંથ રચ્યો હતો. કોઈ બિંદુ એક સુરેખા પર આવેલું હોય અથવા તે બિંદુમાંથી સુરેખા પસાર થતી હોય તો બિંદુ અને સુરેખા આપાતી (incident) છે એમ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ અને રેખા આપાતી હોવાનો ગુણધર્મ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં અવિચલ છે આથી પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ છે. એટલે કે સંગામીપણા (concurrency) અને સમરેખસ્થતા(collinearity)ના ગુણધર્મ પ્રક્ષેપી ગુણધર્મો છે.

સાંસ્થિતિક રૂપાંતરણ : કોઈ સંરચના કે વિન્યાસ (configuration) પર ખેંચવા, વાળવા, દબાવવા જેવાં વિરૂપણ કરતાં બળ લગાડતાં તેનો આકાર બદલાય છે, પરંતુ સંરચના ફાટી ન જાય કે તેને વળ ચડી ન જાય ત્યાં સુધી સંરચનાના કેટલાક મૂળભૂત ગુણધર્મ જળવાઈ રહે છે. આવું વિરૂપણ ઊભું કરતાં રૂપાંતરણને સાંસ્થિતિકીય રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે. આમ વર્તુળનું ઉપવલય, ત્રિકોણ કે ગમે તેટલી બાજુવાળા બહુકોણમાં વિરૂપણ થઈ શકે છે પરંતુ ફાટ્યા સિવાય પરસ્પરને છેદતાં બે વર્તુળમાં કે વળ ચડાવ્યા સિવાય અંગ્રેજી આઠડાના આકારમાં વિરૂપણ થઈ શકતું નથી. ગાણિતિક સ્વરૂપમાં ગણ Aથી ગણ B પરના એક-એક, વ્યાપ્ત અને દ્વિસતત (bicontinuous) આલેખનને સાંસ્થિતિકીય કે તદરૂપતા રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે.

વિધેયની પરિભાષામાં કહીએ તો X અને Y સાંસ્થિતિક અવકાશો છે. f : X → Y વિધેય છે. જો (1) વિધેય f, એક-એક(one-to-one) હોય, (2) વિધેય f વ્યાપ્ત (onto) હોય અને (3) વિધેય f તેમજ તેનું પ્રતીપ વિધેય (inverse function) f^–1 બંને સતત હોય એટલે કે વિધેય f દ્વિસતત (bicontinuous) હોય તો f ને તદરૂપતા (homeomorphic) રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે તેમજ અવકાશોને તદરૂપ અવકાશો કહેવામાં આવે છે. સાંસ્થિતિક અવકાશોનો કોઈ ગુણધર્મ એવો હોય કે જેથી જ્યારે તે એક અવકાશ માટે સાચો હોય ત્યારે આ ગુણધર્મ ઉપર્યુક્ત અવકાશને તદરૂપ બધા અવકાશમાં પણ સાચો હોય તો આવા ગુણધર્મને સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ કે સાંસ્થિતિક નિશ્ચર (invariant) કહેવામાં આવે છે.

સમકોણી રૂપાંતરણ (conformal map) : આ પ્રકારના આલેખનમાં પરસ્પરને છેદતા બે સરલ વક્રો એકબીજા સાથે θ ખૂણાઓ બનાવી છેદતા હોય તો તે વક્રોના પ્રતિબિંબ-વક્રો પણ એકબીજા સાથે θ ખૂણો બનાવી છેદે છે. આમ સમકોણી આલેખનમાં ખૂણા θનું માન (magnitude) જળવાઈ રહે છે. આવા આલેખનને સમકોણી કે તુલ્યકોણી (isogonal) આલેખન કહેવામાં આવે છે. યૂક્લિડીય ભૂમિતિમાં વ્યુત્ક્રમણ, પરાવર્તન, સ્થાનાંતરણ અને આવર્ધન (magnification) એ સમકોણી આલેખનો છે. વૈશ્લેષિક વિધેય (analytic function) W = f (Z), Z = x + iy અને W = u + iv થી વ્યાખ્યાયિત અને શૂન્યેતર વિકલન ફળવાળું રૂપાંતરણ પણ સમકોણી રૂપાંતરણ છે.

સાદૃશ્યરૂપાંતરણ (Affine transformation) : યૂક્લિડીય અવકાશથી યૂક્લિડીય અવકાશ પરના તેમજ સમાંતર રેખાઓને રૂપાંતરણ બાદ પણ સમાંતર રેખાઓમાં જાળવી રાખતા રૂપાંતરણને સાદૃશ્ય (affine) રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે. અહીં ભૌમિતિક આકૃતિઓના અમુક ગુણધર્મો જળવાઈ રહે છે; જેમ કે સાદૃશ્ય રૂપાંતરણ, ઉપવલયને ઉપવલયમાં, મધ્યબિંદુને મધ્યબિંદુમાં રૂપાંતરિત કરે છે. સમરેખસ્થ બિંદુઓ સાશ્ય રૂપાંતરણ પછી પણ સમરેખસ્થ જ રહે છે. સાશ્ય રૂપાંતરણ સાથે સુરેખ રૂપાંતરણ પ્રયોજાયેલું હોય છે. જેમ કે F : Rⁿ → Rⁿ, f(p) = Ap + q, ∀ p ∈ Rⁿ. અહીં A સુરેખ રૂપાંતરણ છે. આ રૂપાંતરણ દૃઢગતિ (rigid) રૂપાંતરણ ન હોવાથી તેમાં લંબાઈ અને ખૂણા બદલાય છે. સાદૃશ્યરૂપાંતરણ સાથે સંકળાયેલી ભૂમિતિ તે સાદૃશ્ય ભૂમિતિ (affine geometry) છે. વિસ્ફારણ (dilatation), વિસ્તરણ, પરાવર્તન, પરિભ્રમણ, સ્થાનાંતરણ આ બધાં સાદૃશ્યરૂપાંતરણ છે.

સુરેખ રૂપાંતરણ (linear transformation) : એક જ ક્ષેત્ર F ઉપર V_n(F), V_m(F) સદિશ-અવકાશો વ્યાખ્યાયિત કરેલા છે. રૂપાંતરણ T : V_n(F) → V_m(F) માટે ∀ α, β ∈ F અને  થાય તો. આ રૂપાંતરણ Tને સુરેખ રૂપાંતરણ કહેવામાં છે. જો આ રૂપાંતરણ T : V_n(F) → V_m(F) એક-એક અને વ્યાપ્ત હોય તો સદિશ-અવકાશો V_n(F) અને V_m(F)ને એકરૂપ અવકાશો કહેવામાં છે.

સુરેખ રૂપાંતરણ અને શ્રેણિક :

T : V_n(F) → V_m(F) સુરેખ વિધેય છે. {a₁, a₂, ……, a_n} એ V_n(F) પરનો એક આધાર (basis) છે અને {b₁, b₂, ……, b_m} એ V_m(F) પરનો આધાર છે.

આમ સુરેખ રૂપાંતરણનું T અને આધાર આપેલો હોય તો શ્રેણિક (α_ij)_m´n નક્કી કરી શકાય છે. આ શ્રેણિકમાં પ્રથમ, દ્વિતીય, ……… સ્તંભો અનુક્રમેના રૂપાંતરિત સદિશોના સંઘટકોથી બનેલા છે. આથી ઊલટું શ્રેણિક (α_ij)_m×n આપેલો હોય અને V_n(F) અને V_m(F)ના આધારો  અને  આપેલા હોય તો આ શ્રેણિકને અનુરૂપ સુરેખ રૂપાંતરણ T : V_n(F) → V_m(F) અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અને પ્રત્યેક j = 1, 2, ……., n માટે મેળવી શકાય છે. આમ (α_ij)_m×n શ્રેણિકના jમા સ્તંભના ઘટકો  રૂપાંતરિત સદિશ દર્શાવે છે.

આમ સુરેખ રૂપાંતરણ T : V_n(F) → V_m(F) નિશ્ચિત કરી શકાય છે.

અરુણ વૈદ્ય

શિવપ્રસાદ મ. જાની