યૂક્લિડીય ગાણિતિક વિધિ (Euclidean algorithm) : આપેલી બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુરુતમ સામાન્ય અવયવ શોધવાની ગાણિતિક વિધિ. પ્રચલિત ગાણિતિક વિધિઓમાં આ એક જાણીતી વિધિ છે.
મર્યાદિત પગલાંમાં ગાણિતિક સમસ્યા ઉકેલવા માટેની સોપાનબદ્ધ પ્રક્રિયાને ગાણિતિક વિધિ (algorithm) કહેવામાં આવે છે. તેમાં પ્રત્યેક સોપાન પરત્વે સ્પષ્ટ સૂચનો કરેલાં હોય છે. આવી વિધિઓમાં કોઈ વાર સોપાનનું પુનરાવર્તન પણ કરવામાં આવે છે.
હવે બે પૂર્ણ સંખ્યાઓ a અને bનો ગુ. સા. અ. (ગુરુતમ સાધારણ અવયવ) શોધવાની યૂક્લિડીય ગાણિતિક વિધિ અંગેના નિયમો આ પ્રમાણે છે :
(1) બે સંખ્યાઓ a અને b તદ્દન સરખી હોય (a = b) તો તેમની સામાન્ય કિંમત એ જ તેમનો ગુરુતમ સાધારણ અવયવ છે.
(2) બે સંખ્યા a અને b નાનીમોટી હોય (a > b) તો મોટી સંખ્યા aને b વડે ભાગવામાં આવે છે; આથી
ભાજ્ય = (ભાગાકાર) (ભાજક) + શેષ સૂત્રાનુસાર a = be + r થાય છે.
જો ભાગાકાર નિ:શેષ મળે એટલે કે r = 0 થાય તો a = bc + 0 થાય છે અને ભાજક b એ બે સંખ્યાનો ગુ. સા. અ. છે. દા.ત., 72 અને 12નો ગુ. સા. અ. શોધવો છે. 72 = 12 × 6 + 0 છે; આથી 12 એ બે સંખ્યાનો ગુ. સા. અ. છે.
(3) ભાજ્યને ભાજક વડે ભાગતાં શેષ શૂન્ય ન મળે તો ભાજકને શેષ વડે ભાગવામાં આવે છે. શેષ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી આ વિધિનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. છેલ્લે ભાગાકાર નિ:શેષ થાય ત્યારનો ભાજક એ ગુ. સા. અ. છે; દા.ત., 111 અને 12નો ગુ. સા. અ. શોધવા માટે યૂક્લિડીય વિધિ મુજબ 111 = 9 × 12 + 3, શેષ 3 0 આથી વિધિ આગળ ચલાવતાં 12 = 4 × 3 + 0 છે. અહીં શેષ શૂન્ય છે. આથી ભાજક 3 જે ગુ. સા. અ. છે. આમ 111 અને 12નો ગુ. સા. અ. 3 છે.
(4) જો વિધિમાં ભાગાકાર ફરી ફરીને નિ:શેષ આવતો હોય તો ભાગાકારનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે છે. છેલ્લે જ્યારે નિ:શેષ ભાગાકાર મળે તે વખતનો ભાજક એ આપેલી બે સંખ્યાઓનો ગુ. સા. અ. છે; દા.ત., 721 અને 595નો ગુ. સા. અ. શોધવો છે :
721 = 1 × 595 + 126
595 = 4 × 126 + 91
126 = 1 × 91 + 35
91 = 2 × 35 + 21
35 = 1 × 21 + 14
21 = 1 × 14 + 7
14 = 2 × 7 + 0
વિધિના વારંવાર પુનરાવર્તન પછી અહીં શેષ શૂન્ય મળે છે. આથી 721 અને 595નો ગુ. સા. અ. 7 છે. એમ કહી શકાય છે કે કોઈ પણ શૂન્યેતર a અને b પર આ વિધિ કરવાથી સાંત સંખ્યાના પગલામાં જ શૂન્ય શેષ મળશે જ. તેથી આ વિધિથી હમેશાં ગુ. સા. અ. શોધી જ શકાય. આવી અન્ય ગાણિતિક વિધિઓ પણ છે; જેમ કે, આર્કિમીડીઅ ઍલ્ગોરિધમ, હ્યૂરિસ્ટિક ઍલ્ગોરિધમ, ફર્મા ઍલ્ગોરિધમ, ગાઉસનો સંનિકટન ઍલ્ગોરિધમ, માર્કોવ ઍલ્ગોરિધમ, પ્રાઇમ ફૅક્ટરાઇઝેશન ઍલ્ગોરિધમ, કોશન્ટ ડીફરન્સ ઍલ્ગોરિધમ વગેરે.
શિવપ્રસાદ મ. જાની