યાંત્રિક ઊર્જા

યાંત્રિક ઊર્જા : યાંત્રિક ગતિ અને પદાર્થોની વચ્ચે આંતરક્રિયાને લીધે ઉદભવતી શક્તિ. બીજી રીતે યાંત્રિક ઊર્જા એ ગતિજ ઊર્જા (kinetic energy) E_k અને સ્થિતિ-ઊર્જા (Potential energy) EPના સરવાળા બરાબર થાય છે. એટલે કે –

યાંત્રિક ઊર્જા E = E_k + E_P

ગતિજ ઊર્જા : ગતિજ ઊર્જા પદાર્થની યાંત્રિક ગતિનું માપ છે અને તે પદાર્થને પ્રતિવેગી કરી સ્થિર સ્થિતિમાં લાવતાં થતા કાર્ય જેટલી હોય છે. કણની ગતિજ ઊર્જા તેના દળ અને વેગના વર્ગના ગુણાકારના અર્ધ ભાગ જેટલી થાય છે. ગતિજ ઊર્જા = mv², જ્યાં m કણનું દળ અને v કણનો વેગ છે.

સમતલ ગતિ માટે, ધ્રુવીય યામો (Polar coordinates) (θ, Φ)માં વ્યક્ત કરતા કણની ગતિજ ઊર્જા E_k = m (θ^·2 + θ² Φ^·2).

પદાર્થની ગતિજ ઊર્જા એટલે પદાર્થ જે કણોનો બનેલો હોય તે તમામ કણોની ગતિજ ઊર્જાનો સરવાળો. તેને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે –

E_k = ½ v² dm = 1  rv² dv

જ્યાં dm એ પદાર્થના સૂક્ષ્મ અંશ(ઘટક)નું દળ છે; dv, ρ અને v = અનુક્રમે કદ, ઘનતા અને ઘટકનો વેગ છે.

પદાર્થ v વેગથી સ્થાનાંતરીય ગતિ કરતો હોય તો E_k = mv² થાય છે.

પદાર્થ કોઈ નિયત અક્ષ(ધરી)ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતો હોય તો તેની ગતિજ ઊર્જા જડત્વીય ચાકમાત્રા (moment of inertia) I અને પદાર્થના કોણીય વેગ ωના વર્ગના ગુણાકારના અર્ધ ભાગ જેટલી થાય છે :

E_k = Iω²

વ્યાપક કિસ્સામાં ગતિજ ઊર્જા

આ સંબંધને કોનિંગનું પ્રમેય કહે છે.

mv²_c એ પદાર્થ(તંત્ર)નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જ્યારે v_c વેગથી ગતિ કરતું હોય ત્યારની ગતિજ ઊર્જા અને એ પદાર્થની ગતિજ ઊર્જા, જ્યારે તે સંદર્ભ પ્રણાલીનું ઉદગમબિંદુ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર સાથે સાપેક્ષ ગતિ ધરાવે ત્યારે. ખાસ કિસ્સામાં v વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિજ ઊર્જા અને તે સમર્થ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષી ω કોણીય વેગથી ભ્રમણગતિ કરે તો નીચેના સંબંધથી મળે છે :

સમતલ ઉપર કોઈ ગોળો કે નળાકાર ગબડતો હોય ત્યારે તે આ બે પ્રકારની ગતિજ ઊર્જાઓ ધરાવે છે.

સ્થિતિજ ઊર્જા : પ્રણાલીની અવસ્થા ઉપર આધાર રાખતી આ ઊર્જા છે. એટલે કે તંત્રમાં કણોની સાપેક્ષ ગોઠવણી અને બાહ્ય બળ-ક્ષેત્રમાં તેની સ્થિતિ ઉપર આધારિત છે.

આપેલ અવસ્થામાંથી શૂન્ય અવસ્થામાં સ્થળાંતર પામતાં, પદાર્થ કે પ્રણાલીના તમામ કણો ઉપર લાગતા (બાહ્ય અને આંતરિક) સંરક્ષી બળો વડે થતા કાર્યનું માપ સ્થિતિજ ઊર્જા આપે છે. સામાન્ય રીતે શૂન્ય અવસ્થામાં સ્થિતિજ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. એટલે કે સ્થિતિજ ઊર્જાનો ઉદગમ સંપૂર્ણપણે યચ્છ (arbitrary) હોય છે; કારણ કે કોઈ પણ પ્રયોગમાં સ્થિતિજ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર જ નોંધાય છે અને નહિ કે નિરપેક્ષ સ્થિતિજ ઊર્જા.

સ્થિતિજ ઊર્જા E_P અને બળ-વિધેય vને નીચેના સંબંધથી વ્યક્ત કરાય છે :

dE_P =  du અને E_P = – u + c;

જ્યાં c એ સંકલનનો અચળાંક છે.

તંત્રની સ્થિતિજ ઊર્જા E_P = E_P^e + E_Pⁱ તરીકે અપાય છે, જ્યાં E_P^e અને બાહ્ય સંરક્ષી બળને લીધે ઉદભવતી તંત્રની બાહ્ય સ્થિતિજ ઊર્જા અને E_Pⁱ એ તંત્રના કણો કે વિવિધ ભાગો વચ્ચેની આંતરક્રિયાને લીધે ઉદભવતી આંતરિક સ્થિતિજ ઊર્જા છે. E_P² એ કણોના ઉપર આધારિત છે.

જો F^e₁ = F₁ (r_i, t) – એ તંત્રનાં i-મા કણ ઉપર લાગતા બાહ્ય સંરક્ષી બળનું પરિણામ હોય તો

જ્યાં છે અને r_i એ iમાં કણોનો ત્રિજ્યા-સદિશ (radius vector) છે. બાહ્ય બળ-ક્ષેત્ર સ્થિર હોય તો

મળે છે. ર્દઢ પદાર્થ માટે E_Pⁱ = અચળ અને તેથી E_P = E_P^e લઈ શકાય.

સંરક્ષી તંત્ર ગતિમાં હોય તો તેની યાંત્રિક ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી એટલે કે E = E_k + E_P અચળ રહે છે. આ યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો નિયમ છે. ખાસ કરીને જેમાં આંતરક્રિયા-બળો સંરક્ષી હોય તેવી બંધ પ્રણાલી (તંત્ર) માટે આ નિયમ સાચો છે; પણ બળો અસંરક્ષી હોય તો (જેમ કે ઘર્ષણબળો) બંધ યંત્રની યાંત્રિક ઊર્જા ઘટતી જાય છે.

આનંદ પ્ર. પટેલ