મૅક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમૅન વિતરણ સિદ્ધાંત

મૅક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમૅન વિતરણ સિદ્ધાંત : ચિરપ્રતિષ્ઠિત (classical) કણોને (જેવા કે વાયુના અણુઓને) લાગુ પડતો વિતરણ સિદ્ધાંત. T નિરપેક્ષ તાપમાને હોય તેવા કણોના તંત્રમાં ∈ ઊર્જાવાળી સ્થિતિમાં કણોની સરેરાશ સંખ્યા f(∈) નીચે આપેલા મૅક્સવેલ બોલ્ટ્ઝમૅન વિતરણ સિદ્ધાંતથી દર્શાવી શકાય છે.

…………….(1)

જ્યાં Aનું મૂલ્ય તંત્રમાં કણોની સંખ્યા ઉપર આધારિત છે. કાર્ય વિધેયમાં તે પ્રસામાન્યીકરણ અચળાંક્ધો અનુરૂપ ભાગ ભજવે છે. k બોલ્ટ્ઝમૅન અચળાંક છે, જેનું મૂલ્ય 1.381 x 10^–23 જૂલ/K અથવા 8.617 x 10^–5 eV/K છે.

અહીં ભેદપૂર્ણ (ભિન્ન) N કણોના સમૂહનો ખ્યાલ કરવામાં આવે છે, જેમની ઊર્જા ∈₁, ∈₂, …… ∈_i ……….. છે. આ ઊર્જાઓ કાં તો વિભિન્ન (પૃથક્) ક્વૉન્ટમ અવસ્થાઓ અથવા ઊર્જા અંતરાલની શ્રેણી અંતર્ગત સરેરાશ ઊર્જાઓને વ્યક્ત કરે છે. પ્રાવસ્થા-સમષ્ટિ(phase space)માં એકથી વધુ કોષ આપેલ ઊર્જાને અનુરૂપ હોય છે.

જો ∈_i ઊર્જા ધરાવતાં g_i કોષ હોય તો, એક અણુ ∈_i ઊર્જા ધરાવે તેવા કુલ રસ્તા g_i હોય છે. બે અણુઓ ∈_i ઊર્જા ધરાવે તેવા  હોય છે. તે જ રીતે n_i અણુઓ ∈_i ઊર્જા ધરાવે તેવા કુલ રસ્તાઓ થાય છે. તેથી વિવિધ ઊર્જાઓ વચ્ચે N અણુઓના વિતરણ માટે

 …….. થાય છે.       …………………….(1a)

પણ શરત એ છે કે ∑n_i = n₁ + n₂ + n₃ + ….. = N ….. (2) થવું જોઈએ. આ સાથે જુદા ઊર્જાસ્તરો માટે અણુઓના શક્ય એટલા ક્રમચય (permutations) લેવા પડે. N અણુઓ માટે કુલ ક્રમચય સમૂહ N ! થાય છે. N = 4 અણુઓ હોય તો 4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

એટલે કે 4 અણુઓ જુદી જુદી 24 રીતે ગોઠવી શકાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

એક જ ઊર્જાસ્તરમાં એકથી વધુ અણુઓ હોય તો આ પરિસ્થિતિમાં ક્રમચયનું કોઈ મહત્ત્વ નથી. ઉદાહરણ તરીકે અણુઓ a, b, c એક જ ઊર્જાસ્તર j માં હોય તો તેમને abc, bca, bac, cab, cba, તરીકે લઈ શકાય છે. પણ આ તમામ વિતરણ એકસરખાં છે. કારણ કે, અહીં n_j = 3 થાય છે. તેથી n_i અણુઓમાં iમા સ્તરનો ફાળો n_j! થાય છે, જે અપ્રસ્તુત ક્રમચયની સંખ્યા છે. જો સ્તર–1માં n₁ અણુઓ, સ્તર-2માં n₂ અણુઓ, સ્તર-3માં n₃ અણુઓ……….. વગેરે હોય તો અપ્રસ્તુત ક્રમચયની સંખ્યા n₁ ! n₂ ! n₃ ! …………. થાય છે. આપણે તો શક્ય એવા પ્રસ્તુત ક્રમચયની જરૂર છે અને આ શક્ય ક્રમચયની સંખ્યા

 થાય છે ……………………………….(3)

આથી ભિન્ન ભિન્ન રીતે N અણુઓનું વિતરણ કરી શકાય તે માટેની સંખ્યા

W =  …………………………..(4)

થાય છે.

કયું વિતરણ વધુમાં વધુ શક્ય છે તે નક્કી કરવાનું રહે છે. અથવા તો ક્યા પ્રકારના વિતરણ માટે Wનું મૂલ્ય વધુમાં વધુ મળે છે.

અહીં n! = n(n–1) (n–2) ……… (4) (3) (2) છે.

∴ ln n! = ln₂ + ln₃ ………. ln (n–1) + ln n

nનું મૂલ્ય ઘણું વધારે હોય તો n = 1 અને n = n વચ્ચે સંકલન કરતાં ln nનું મૂલ્ય મળે છે.

અહીં n >> 1 છે. આથી ઉપરના સમીકરણમાં 1(એક)ની અવગણના કરતાં

ln n! = n ln n – n મળે છે ………………………………. (5)

સમીકરણ (5) સ્ટર્લિંગના સૂત્ર તરીકે ઓળખાય છે. સમીકરણ (4)ના પ્રાકૃતિક ઘાતાંક નીચે પ્રમાણે મળે છે :

ln W = ln N! – ∑ ln n_i ! + ∑ n_i l n g_i

સ્ટર્લિંગ-સૂત્રને આધારે આને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ln W = N ln N–N– ∑n_i ln n_i + ∑n_i + ∑n_i ln g_i. પણ ∑n_i = N છે.

∴ ln W = N ln N–∑n_i ln n_i + ∑n_i ln g_i ……………………….(6)

આ સાથે (ln W)_{મહત્તમ} = ln W_{મહત્તમ} થાય છે.

n_iમાં થતા ફેરફાર δn_iને લીધે lnWમાં થતો ફેરફાર δ ln W સમીકરણ (6) પરથી નીચે પ્રમાણે મળે છે,

δ ln W_{મહત્તમ} = –∑n_i d ln n_i – ∑ ln n_i dn_i + ∑ ln g_i δn_i = 0 ……………………………(7)

પણ N ln N અચળ છે. માટે δ ln n_i =  અને તેથી

∑n_i δ ln n_i = ∑ dn_i

કુલ અણુઓની સંખ્યા અચળ હોઈ  = 0 થાય છે.

એટલે કે ∑n_i δ ln n_i = 0

આથી સમીકરણ (7) સમીકરણ (8)માં ફેરવાય છે.

– ∑ ln n_i δni + ∑ ln g_i δn_i = 0 ……………………(8)

અત્રે કણોની સંખ્યાનું સંરક્ષણ કરવું અનિવાર્ય છે.

એટલે કે ∑n_i = n₁ + n₂ + n₃ + ………….. = N

ઊર્જાનું સંરક્ષણ પણ અનિવાર્ય છે. એટલે કે

…………….. (9)

જ્યાં E એ અણુઓના સમૂહની કુલ ઊર્જા છે. પરિણામ-સ્વરૂપે પ્રત્યેક ઊર્જાસ્તરમાં અણુઓની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર δn₁, δn₂ ….. એકબીજાથી સ્વતંત્ર નથી. માટે નીચેના સંબંધોનું પાલન થવું આવશ્યક છે.

આ શરત સમીકરણ (8)માં જોડી દેવા માટે લાગ્રેન્જેની અનિર્ધારિત ગુણકો(undertermined multipliers)ની રીતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. તે માટે સમી.(10)ને –α વડે અને સમી.(11)ને –β વડે ગુણીને મળતાં પદો સમી.(8) માં ઉમેરવાથી સમી. (12) મળે છે. અહીં α અને β એ તમામ n_iથી સ્વતંત્ર રાશિઓ છે.

 ……………………. (12)

આ સમીકરણ સાચું ઠરે તે માટે કૌંસમાં આપેલી રાશિ iના પ્રત્યેક મૂલ્ય માટે શૂન્ય થવી જોઈએ. આમ,

આમાંથી મૅક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમૅન વિતરણનો નિયમ મળી રહે છે.

………………. (13)

આ સમીકરણ ∈_i ઊર્જા ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા ni આપે છે.

જો લેવામાં આવે તો સમી. (13)ની રાશિ સમી. (2)નું વિતરણ વિધેય આપે છે. અહીં ઘાતાંક મહત્વનો છે. ગાણિતિક રીતે ઘાતાંક ધન (+) અને ઋણ (–) બની શકે છે. પણ ધન ઘાતાંકથી મળે છે; પણ તેનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે અનંત ઊર્જા ધરાવતા કણોની સંભવિતતા અનંત થાય છે. ∈ ઊર્જા ધરાવતા કણોની સંખ્યા n(∈) = g(∈) f(∈) હોવાથી ∈ ઊર્જા ધરાવતા મૅક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમૅન કણોની સંખ્યા  થાય છે.

આનંદ પ્ર. પટેલ