મૅક્સવેલનાં સમીકરણો, પરિવર્તી

મૅક્સવેલનાં સમીકરણો, પરિવર્તી (Varying) : વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ પણ બિંદુ આગળ પ્રયોજિત સદિશ રાશિઓને જોડતાં પ્રશિષ્ટ સમીકરણોની શ્રેણી. જેમ્સ ક્લાર્ક મૅક્સવેલે, 1864માં, આવાં ચાર વિકલ (differential) સમીકરણો રજૂ (સૂચિત) કર્યાં. આ સમીકરણોના સમૂહ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સિદ્ધાંતનો પાયો છે. શૂન્યાવકાશમાં આ ચાર સમીકરણો સદિશ સ્વરૂપે નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવ્યાં :

……………………………………………………………………………………………………(1)

……………………………………………………………………………………………………(2)

……………………………………………………………………………………………….(3)

………………………………………………………………………………………………(4)

જ્યાં D, વૈદ્યુત સ્થાનાંતર (electric displacement)

B, ચુંબકીય ફ્લક્સ-ઘનતા,

E, વિદ્યુત-ક્ષેત્રની તીવ્રતા,

H, ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા

ρ, વિદ્યુતભાર-ઘનતા અને

i, વિદ્યુત-પ્રવાહ-ઘનતા છે.

આ સમીકરણોને આધારે મૅક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ વચ્ચે આંતરસંબંધ સ્થાપિત કર્યો. પરિવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય ત્યાં તે ક્ષેત્રને લંબ રૂપે પરિવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે; તેથી ઊલટું, જ્યાં પરિવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય ત્યાં તે ક્ષેત્રને લંબ રૂપે પરિવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રેરિત થાય છે. વિદ્યુત અને ચુંબકીય  – એમ બે ક્ષેત્રો ભેગાં મળીને વિદ્યુત-ચુંબકીય ક્ષેત્રનું નિર્માણ કરે છે.

આ રીતે મૅક્સવેલે નિર્દિષ્ટ કર્યું કે પ્રત્યેક ક્ષેત્રનો સદિશ તરંગ-સમીકરણને તાબે થાય છે. વળી તેણે એ પણ તારવ્યું કે પ્રકાશ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે પણ પ્રસરણ પામે છે.

સમીકરણ (1) દર્શાવે છે કે વિદ્યુત-ક્ષેત્રની બળરેખાઓનો જો અંત આવતો હોય તો, તે હંમેશાં વિદ્યુતભાર ઉપર જ આવે છે.

સમીકરણ (2) દર્શાવે છે કે ચુંબકીય બળરેખાઓને છેડો હોતો નથી. ચુંબકની બહાર ઉત્તરથી દક્ષિણ અને ચુંબકની અંદર દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ જઈને એ બંધ (closed) પરિપથ રચે છે.

સમીકરણ (3) ફેરેડેનો પ્રેરણનો નિયમ છે. આ નિયમ મુજબ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો દર વિદ્યુતચાલક બળ (electromotive force) જેટલો હોય છે. બીજી રીતે, ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો દર પરિપથ આસપાસની વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા Eના રેખીય-સંકલન (line integral) જેટલો હોય છે, જે નીચે પ્રમાણે અપાય છે :

…………….(5)

જ્યાં n એ પૃષ્ઠને લંબરૂપ એકમ સદિશ છે. સમીકરણ (5)માં ત્રીજું (છેલ્લું) સંકલન બીજા સંકલનમાંથી સ્ટૉકના પ્રમેયને આધારે મળે છે. જો કોઈ પણ પૃષ્ઠ (surface) S માટે આ સત્ય હોય તો પૃષ્ઠ-સંકલનના સંકલ્ય (integrand) સરખા હોય છે અને સમીકરણ (3)માંથી મળે છે.

આ સાથે ચોથું સંકલન પણ મળે છે, અને તે અંશત: એમ્પિયરના સ્થિર પ્રવાહના પ્રયોગ પર આધારિત છે. તે મુજબ ચુંબકીય તીવ્રતા H (અથવા ^B⁄_μ જ્યાં μ માધ્યમની પારગમ્યતા (permeability) છે) બંધ વક્ર આસપાસનું રેખીય સંકલન વીંટળાતાં વિદ્યુતપ્રવાહ બરાબર થાય છે. આ વિદ્યુત-પ્રવાહ બંધ વિસ્તારના સામાન્ય પ્રવાહ-ઘનતાના સંકલનથી નીચે પ્રમાણે મળે છે :

 …………….(6)

અહીં સ્ટૉકનું પ્રમેય બીજા સંકલનનું ત્રીજા સંકલનમાં રૂપાંતર કરે છે. પૃષ્ઠ યચ્છ (arbitrary)  છે. જેથી પૃષ્ઠ-સંકલનના સંકલ્ય સરખા હોય છે. આ હકીકત  પદની અનુપસ્થિતિમાં સમીકરણ (4) આપે છે.

સૌપ્રથમ મૅક્સવેલને એ વાસ્તવિક્તા સમજાઈ કે વધઘટ થતા (fluctuating) વિદ્યુતપ્રવાહ માટે, જ્યાં વિદ્યુતભારનો સંચય થાય છે ત્યાં સાતત્ય (continuity) સમીકરણ સંતોષાય તે માટે  પદ અનિવાર્ય બને છે. વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થવાનું હોય તો જરૂરી છે કે કોઈ પણ વિસ્તારમાં વધારાનો દર વિદ્યુત-પ્રવાહના વહન બરાબર થાય છે. આથી આ રીતે મળતું

………………………………………………………………………………………………(7)

સમીકરણ સાચું ઠરે છે. જ્યારે સમીકરણ (4)નું અપસરણ (divergenee) લેવામાં આવે અને સમીકરણ(1)ને આધારે Dનો લોપ કરવામાં આવે ત્યારે સમીકરણ (4) મળે છે. રાશિને વિસ્થાપન (સ્થાનાંતરણ – displacement) પ્રવાહ કહે છે.

લંબ-નિર્દેશાંકો(rectangular coodinates)માં જ્યારે સમીકરણ (1)થી (4)ના ઘટકોને અભિવ્યક્ત કરવામાં આવે ત્યારે નીચે પ્રમાણે મળે છે :

મૅક્સવેલના સમય દરમિયાન E અને B, E અને D કરતાં જુદી જુદી એકમ-પ્રણાલીઓમાં મળતા હતા. શૂન્યાવકાશમાં જ્યાં i શૂન્ય છે ત્યાં  અવયવ સમીકરણ (3) અને (4)ની જમણી બાજુએ દાખલ થાય છે; જેથી સમીકરણ (3)ના કર્લ(curl)માં સમીકરણ (4)નો ઉપયોગ કરીને કર્લ (curl) B-નો લોપ કરી શકાય છે. પરિણામે નીચે પ્રમાણે સમીકરણ મળે છે.

……………(12)

તરંગવેગ C માટેનું આ વિકલ-સમીકરણ છે. આ રીતે, મૅક્સવેલની આગાહીની પ્રાયોગિક ચકાસણી એટલે કે પ્રકાશનો વેગ વિદ્યુતભારના વિદ્યુતચુંબકીય એકમના ગુણોત્તર બરાબર છે, તે બાબત પ્રકાશની વિદ્યુતચુંબકીય પ્રકૃતિ સાબિત કરે છે.

સંવાહી (conducting) માધ્યમ : જો ϒ (ગૅમા) પદાર્થની વાહકતા હોય તો ઓહ્મના નિયમ મુજબ સમીકરણ (4)માં સામેલ થતા વિદ્યુતપ્રવાહ iને સ્થાને ϒE મૂકી શકાય. આમ કર્યા પછી અને H તથા Dના સ્થાને અને εE (∈ પરાવૈદ્યુતાંક permitivity) મૂકવામાં આવે તો સમીકરણ (3)નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (4)ના કર્લમાંથી કર્લ E(Curl E)નો લોપ કરતાં નીચે પ્રમાણે સમીકરણ મળે છે :

અવમંદિત (damped) તરંગ માટેનું આ વિકલ સમીકરણ છે. Bને સ્થાને E મૂકતાં પણ આ સમીકરણ સાચું ઠરે છે.

જ્યારે γ > > ε થાય ત્યારે ઉપરના સમીકરણની જમણી બાજુનું બીજું પદ અવગણ્ય બને છે. એટલે કે  મળે છે. સમીકરણ (13ક) પ્રેરણ-તાપન ગણતરી અને ત્વાચિક પ્રભાવ(skin effect)માં આવતાં ધૂમરી (eddy) પ્રવાહ માટેનું વિકલ-સમીકરણ બને છે.

વક્રીભવનાંક : જ્યારે γ શૂન્ય બને છે ત્યારે સમીકરણ 13નો ઉકેલ વેગ ધરાવતો અનવમંદિત તરંગ દર્શાવે છે. પ્રકાશિકી(optics)માં માધ્યમના વક્રીભવનાંક(refractive index)ને પ્રકાશના શૂન્યાવકાશમાં વેગ અને માધ્યમમાં પ્રકાશના વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ રીતે મૅક્સવેલના સિદ્ધાંતને આધારે વક્રીભવનાંક્ધો માધ્યમની પારગમ્યતા (μ) અને પરાવૈદ્યુતાંક (ε) સંદર્ભમાં પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે :

વક્રીભવનાંક  …………….(14)

અહીં ν પ્રકાશનો માધ્યમમાં વેગ છે.

લોહચુંબકીય (ferromagnetic) પદાર્થો સિવાય બધા જ પદાર્થો માટે μ₁ » μ થાય છે. પરાવૈદ્યુતાંક (∈) એ આવૃત્તિનું વિધેય છે, તેથી સ્થૈત (static) મૂલ્યોનો સાવચેતીપૂર્વક ઉપયોગ કરવાનો રહે છે. સામાન્યત: તે રેડિયો-આવૃત્તિના ગાળામાં આવે છે.

સંકલન-સ્વરૂપ : સમીકરણો (1) અને (2) વિકલ-સ્વરૂપ કરતાં સંકલન-સ્વરૂપે ઘણી વખત ભૌતિક અર્થ વધુ સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરે છે. સમીકરણ (5) અને (6)ની મદદથી મૅક્સવેલ સમીકરણો સંકલન-સ્વરૂપે નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે :

લૉરેન્ટ્ઝ નિશ્ચરતા (invariace) : એકબીજાને સાપેક્ષ અચળ સુરેખ (translation) વેગથી ગતિ કરતી તમામ નિર્દેશાંક પ્રણાલીઓમાં મૅક્સવેલનાં સમીકરણોનું સ્વરૂપ એકસરખું રહે છે. અવલોકિત ક્ષેત્રોનાં મૂલ્યો તથા ρ, i, μ, ∈ અને γ નાં મૂલ્યો જુદાં જુદાં હોઈ શકે છે. લૉરેન્ટ્ઝ રૂપાંતરણો(transformations)નો ઉપયોગ કરીને કેટલીક વખત એકાદ ક્ષેત્રનો સદંતર લોપ કરી શકાય છે. આને કારણે ગણતરીઓ ઘણી સરળ બને છે.

આનંદ પ્ર. પટેલ