મૂળભૂત પ્રમેયો : ગણિતની અમુક શાખાઓના વિકાસમાં પાયાનો ભાગ ભજવતાં પ્રમેયો. આ રીતે અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય, બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય અને કલનશાસ્ત્રનું મૂળભૂત પ્રમેય જાણીતાં છે.
અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય : ધન પૂર્ણાંકોમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એ અર્થમાં મૂળ સંખ્યાઓ છે કે (1 સિવાયના) તમામ ધન પૂર્ણાંકોને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર રૂપે (અથવા અવિભાજ્ય રૂપે) દર્શાવી શકાય છે. દા. ત., 29 પોતે અવિભાજ્ય છે, 30 એ 2, 3, 5 એ અવિભાજ્યોનો ગુણાકાર છે, 100 એ 2, 2, 5, 5 એ અવિભાજ્યોનો ગુણાકાર છે, એટલું જ નહિ પણ દરેક પૂર્ણાંકને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર રૂપે એક જ રીતે લખી શકાય. 100ને અવિભાજ્યોના ગુણાકાર રૂપે લખવા માટે બે વાર 2 અને બે વાર 5નો ઉપયોગ જ કરવો પડે. આ હકીકતને જ અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય કહે છે. તેનું વિધાન આ પ્રમાણે છે :
1થી અધિક દરેક પૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય રૂપે અથવા અવિભાજ્યોના ગુણાકાર રૂપે એક અને માત્ર એક જ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય.
આ પ્રમેય અંકગણિતના વિકાસમાં ઘણું મહત્વનું છે. પૂર્ણાંકના અવયવો, બે પૂર્ણાંકોના ગુ. સા. અ. કે લ. સા. અ. વગેરેની ગણતરીમાં આ પ્રમેય ભાગ ભજવે છે. કેટલાંક પરિણામો એવાં પણ છે કે જેમાં આ પ્રમેય બહુ પ્રચ્છન્ન પણ અતિ મહત્વનો ભાગ ભજવતું હોય. દા. ત., 
અસંમેય છે. તેની સાબિતીમાં અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયનો જાણ્યે-અજાણ્યે ઉપયોગ થાય જ છે.
બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય : ઐતિહાસિક ર્દષ્ટિએ બીજગણિતનો મુખ્ય ઉદ્દેશ સમીકરણોનાં બીજ શોધવાનો હતો. પરંતુ 1 કે તેથી મોટા ઘાટના બહુપદી સમીકરણ
an xn + an–1 xn–1 + ………. + a1x + a0 = 0 ને બીજ હોય જ ? એવો પ્રશ્ન ઉદભવે.
બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય એમ કહે છે કે જો સહગુણકો a0, a1, ……… an સંકર સંખ્યાઓ હોય, an ≠ 0 હોય તથા n ≥ 1 હોય તો ઉપરના સમીકરણને ઓછામાં ઓછું 1 સંકર બીજ હોય જ. આ પ્રમેય તથા શેષ પ્રમેયને ભેગાં કરવાથી એમ પણ સાબિત કરી શકાય છે કે ઉપરના સમીકરણને વધુમાં વધુ n ભિન્ન સંકર બીજો હોઈ શકે.
એ નોંધવા જેવું છે કે a0, a1, ………, an સંમેય (કે વાસ્તવિક) હોય તો સમીકરણને સંમેય (કે વાસ્તવિક) બીજ હોય જ તેવું નથી.
બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયને બીજગણિતની રીતોથી સાબિત કરી શકાતું નથી. એ જ કદાચ બતાવે છે કે તે બીજગણિત માટે કેટલું પાયાનું છે – જો તેના ઉપયોગ વગર બીજગણિતમાં કશું સાબિત કરવું હોય તો તે લગભગ અશક્ય છે. આ પ્રમેયની સાબિતીમાં સંકર ચલનાં વિધેયોના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. આ પ્રમેયની પ્રથમ સાબિતી ઈ. સ. 1800માં પોતાની પીએચ.ડી.ની થીસિસમાં જર્મન ગણિતજ્ઞ ગૌસે આપી હતી.
કલનશાસ્ત્રનું મૂળભૂત પ્રમેય : આ પ્રમેય સંકલન અને વિકલન વચ્ચેનો અદભુત સંબંધ છતો કરે છે. ઐતિહાસિક ર્દષ્ટિએ વિકલન અને સંકલન એકબીજાંથી સ્વતંત્ર રીતે વિકસાવાયાં હતાં. એમની વચ્ચે સંબંધ સ્થાપી આપતું નીચેનું પ્રમેય કલનશાસ્ત્રનું મૂળભૂત પ્રમેય કહેવાય છે.
ધારો કે વિધેય f(x) અંતરાલ [a, x] પર સંકલનીય છે તથા 
, તો F'(x) = f(x) તે કલનનું મૂળભૂત પ્રમેય છે. ધારો કે વિધેય f(x) અંતરાલ [a, b] પર સંકલનીય છે તથા એવું વિધેય F(x) સહેલાઈથી મળે છે કે જેથી F'(x) = f(x). આવા Fને fનો પૂર્વગ કહેવાય. પૂર્વગનું મહત્વ એ છે કે તેથી મૂળ વિધેયના સંકલોની ગણતરી સરળ થઈ જાય છે. દા.ત. 2xનું પૂર્વગ x2 છે તે દેખીતું છે. આથી મૂળભૂત પ્રમેય પ્રમાણે
આમ જે વિધેયનો સંકલ જાણીતો હોય તેનું સંકલન કરવાનું કામ મૂળભૂત પ્રમેયથી સરળ થાય છે.
અરુણ વૈદ્ય