મુક્ત પતન (ભૌતિકવિજ્ઞાન)

મુક્ત પતન (ભૌતિકવિજ્ઞાન) : પૃથ્વીના માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણબળની હાજરીમાં પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ પ્રવેગી ગતિ. અહીં પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણબળ સિવાય બીજા કોઈ પ્રકારનું બળ લાગતું નથી. પૃથ્વીની સપાટી નજીક પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોય તો તે પ્રત્યેક સેકન્ડે લગભગ 9.8 મીટર/સેકન્ડ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. એટલે કે આ પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થયેલો પ્રવેગ 9.8 મીટર/સેકન્ડ² જેટલો થાય છે.

પદાર્થ ઉપર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણબળ જેટલું હોય છે. પરિણામે પદાર્થ F = mg બળથી પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે. અહીં M, પૃથ્વીનું દળ; m, મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનું દળ; G, ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક; g, પૃથ્વી વડે પેદા થતો ગુરુત્વ-પ્રવેગ અને r, પદાર્થ અને પૃથ્વીનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.

અહીં mg થાય છે માટે મળે છે.

આમ, પદાર્થ ઉપર પેદા થતો ગુરુત્વપ્રવેગ  થાય છે. આ સૂત્ર ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પદાર્થ ઉપર લાગતો ગુરુત્વ-પ્રવેગ તે પદાર્થના દળ કે પ્રકૃતિ ઉપર આધારિત નથી. ટૂંકાં અંતરો માટે ગુરુત્વ-પ્રવેગ(g)નું મૂલ્ય અચળ ગણી શકાય છે.

પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાંથી મુક્ત પતન કરે તો t સમય બાદ પદાર્થનો વેગ V_t = gt → (1) થાય છે, પતન કરતો પદાર્થ કોઈ પણ દિશામાં વેગ ધરાવતો હોય તો તે વેગ તો ધારણ કરી રાખે છે; સિવાય કે તેના ઉપર બીજા કોઈ પ્રકારનું બળ લાગતું હોવું જોઈએ નહિ. બાહ્ય બળો લાગુ પડે તો પદાર્થની ગતિની દિશા બદલાય છે અને પતનનો દર પણ. આવાં બળોની પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપર કોઈ અસર થતી નથી. આવા સંજોગોમાં પદાર્થને મુક્ત પતન કરતો ગણી શકાય, પરિણામી (resultant) ગતિ ઊર્ધ્વદિશામાં માલૂમ પડે તોપણ.

અધોદિશામાં પદાર્થ પ્રારંભિક વેગ V_o ધરાવતો હોય તો t સેકન્ડ પછી પદાર્થનો વેગ V_t નીચેના સૂત્ર વડે અપાય છે :

V_t = V_o (↓) + gt → (2)

પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ V_oથી ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે તો t સેકન્ડ બાદ પદાર્થનો વેગ V_t નીચેના સૂત્ર વડે અપાય છે :

V_t = V_o (↑) – gt → (3)

પદાર્થનો ઊર્ધ્વદિશામાં વેગ ક્રમશ: ઘટતો જાય છે. જ્યારે તેનો વેગ V_t શૂન્ય થાય છે ત્યારે પદાર્થે ઊર્ધ્વદિશામાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરેલી હોય છે.

પૃથ્વીની સપાટીથી ઘણી વધારે ઊંચાઈએથી પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોય તો ગુરુત્વ-પ્રવેગ(g)ને અચળ ગણી શકાય નહિ. ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ, બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું બળ તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં મલે છે. આથી પૃથ્વી અને પદાર્થ વચ્ચેનું અંતર વધે તેમ ગુરુત્વ-પ્રવેગ ઝડપથી ઘટે છે. પદાર્થ વધુ ઊંચાઈ hથી મુક્ત પતન કરતો હોય તો તેના અંતિમ વેગ માટે બળ અને અંતર વચ્ચે મળતા વિધેયનું સંકલન કરતાં વેગ V_f નીચે પ્રમાણે મળે છે :

જ્યાં R, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.

પૃથ્વીની સપાટીથી અનંત અંતરેથી પદાર્થ મુક્ત પતન કરે તો સમીકરણ(4)ને   વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે. પૃથ્વીની બાબતે આ વેગ 11·3 કિલોમીટર/1 સેકન્ડ જેટલો મળે છે. આ વેગને નિષ્ક્રમણ-વેગ (escape velocity) કહે છે. પૃથ્વીની સપાટી ઉપર રહીને પદાર્થને આટલા વેગથી ઊર્ધ્વ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે તો તે અનંત અંતરે એટલે કે જ્યાં પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થાય છે, ત્યાં પહોંચે છે.

બળ સંલગ્ન બળોની અસરથી સ્વતંત્ર હોવાને કારણે પદાર્થ કે બંદૂક્ધો સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે ત્યારે પણ તે સ્થિર અવસ્થામાંથી જે દરે પ્રવેગી ગતિ કરે છે તે જ દરથી પ્રવેગી ગતિ કરશે. તેમાં સમક્ષિતિજ ગતિનો કોઈ બાધ આવતો નથી. (જુઓ આકૃતિ 1).

પદાર્થ ગોળીના જેટલા પ્રારંભિક વેગની સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે તેટલા જ પ્રારંભિક વેગથી પ્રયોગકર્તા સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે તો પ્રયોગકર્તા તેની સાથે સાથે જ રહે છે અને પ્રયોગકર્તાની સંદર્ભપ્રણાલી(frame of reference)માં જે ગતિ જોવા મળે છે, તે માત્ર અધોદિશામાં મળતી મુક્ત પતનની ગતિ હોય છે.

સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ ખૂબ જ વધારે હોય ત્યારે સમક્ષિતિજથી એટલા દરે પદાર્થ નીચે પડશે જેટલા દરે ત્યાં આગળની પૃથ્વીની સપાટીની વક્રતા બદલાય છે. આ રીતે પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીથી એકસરખી ઊંચાઈ(elevation)એ રહેશે અને વાસ્તવમાં તે પદાર્થ પૃથ્વીનો ઉપગ્રહ બને છે.

અંતર્મુખી પ્રવેગ  માટે આમ થાય છે ત્યારે ક્રાંતિક (critical) સમક્ષિતિજ વેગ V_h થાય છે. r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ ઉપર અચળ વેગ Vથી ગતિ કરતા પદાર્થ ઉપર લાગતો પ્રવેગ   થાય છે. આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વ-પ્રવેગ (g) મુક્ત પતનથી મળી રહે છે. ખાસ બાબતે જ્યારે પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી નજીકથી પતન કરે ત્યારે પૃથ્વીની સપાટી પાસે સમક્ષિતિજ વેગ V_h = V અને r = R (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) થાય છે. તેવા સંજોગોમાં ઉપગ્રહનો વેગ

થાય છે.  આ વેગ લગભગ 8 કિલોમીટર/સેકન્ડ હોય છે. વેગ વધુ હોય તો ઉપગ્રહની કક્ષા ઊંચે જાય છે.

ન્યૂટનનો ખ્યાલ હતો કે ચંદ્ર પૃથ્વીનો ઉપગ્રહ બને તે માટે ચંદ્રે પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત પતન કરવું જોઈએ. આ ખ્યાલને આધારે વિશ્વના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ માટે ન્યૂટનને પ્રેરણા મળી હતી.

આનંદ પ્ર. પટેલ