માપનસૂત્રો (Mensuration Formulae)

માપનસૂત્રો (Mensuration Formulae) : વક્રોની લંબાઈ, સતમલ પરની વિવિધ આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળ, વિવિધ ઘન પદાર્થોનાં ઘનફળ અને વક્ર સપાટીઓનાં પૃષ્ઠફળ વગેરે શોધવાનાં સૂત્રો. તેનો ઉપયોગ રોજિંદા વ્યવહારમાં અને ખાસ કરીને ઇજનેરી વિદ્યાશાખામાં કરવામાં આવે છે; જેમ કે, જમીનના સર્વેક્ષણ (survey) માટે, રેલવે એન્જિનિયરિંગ અને ઔદ્યોગિક પ્રકલ્પ (project) વગેરેમાં.

આ સૂત્રોનો અભ્યાસ વિવિધ વિભાગો પાડીને કરવામાં આવે છે; જેમ કે, (i) પરિમિતિ (perimeter); (2) સમતલ પર આકૃતિઓમાં લંબાઈ અને ક્ષેત્રફળ અંગેનાં માપનસૂત્રો; (3) ઘન ભૂમિતિમાં પદાર્થના ક્ષેત્રફળનાં અને ઘનફળનાં સૂત્રો તેમજ વક્ર સપાટીના પૃષ્ઠફળનાં સૂત્રો; (4) કલનગણિત (calculus) પર આધારિત અને આકૃતિના અક્ષ આસપાસના પરિભ્રમણથી રચાતા ઘન પદાર્થોના ઘનફળનાં સૂત્રો અને પપ્પુસનાં પ્રમેયો; (5) સમતલ પરની અનિયમિત આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળ, સમલંબકનો નિયમ (trapezoidal rule), સિમ્પસનનો નિયમ વગેરે; (6) ગુરુત્વકેન્દ્ર અંગેનાં સૂત્રો; (7) ચાકમાત્રા (moment) અંગેનાં સૂત્રો અને (8) જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) અંગેનાં સૂત્રો.

[I] પરિમિતિ (perimeter) એ ભૌમિતિક આકૃતિની હદ દર્શાવતી લંબાઈ.

ક્રમ	સમતલ આકૃતિનું નામ	આકૃતિ	આકૃતિની પરિમિતિનું સૂત્ર
1.	ચોરસ (square) a-બાજુવાળો ચોરસ	આકૃતિ 1	4a
2.	ℓ લંબાઈ અને b પહોળાઈવાળો લંબચોરસ (rectangle)	આકૃતિ 2	2 (ℓ + b)
3.	a-બાજુવાળો સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus)	આકૃતિ 3	4a
4.	આધારબાજુ (base) ℓ અને બીજી બાજુ b વાળો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ	આકૃતિ 4	2 (l + b)
5.	a, b, c, d ચાર બાજુઓવાળો ચતુષ્કોણ (quadrilateral)	આકૃતિ 5	a + b + c + d
6.	a, b, c બાજુઓવાળો ત્રિકોણ (triangle)	આકૃતિ 6	a + b + c
7.	r ત્રિજ્યા અને 2r = d વ્યાસવાળું વર્તુળ (circle)	આકૃતિ 7	2πr = πd = પરિઘ
8.	r ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો લઘુકોણ θ અંશવાળો, લઘુવૃત્તાંશ (minor sector)	આકૃતિ 8
9.	r ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ગુરુકોણ, q અંશવાળો ગુરુવૃત્તખંડ (minor arc)	આકૃતિ 9
10.	લઘુવૃત્તખંડ (minor segment)	આકૃતિ 10
11.	ગુરુવૃત્તખંડ (major segment)	આકૃતિ 11
12.	લઘુચાપ (minor arc) l	આકૃતિ 12
13.	ગુરુચાપ (major arc) l´	આકૃતિ 13
14.	ઉપવલય (ellipse)	આકૃતિ 14	π (a + b)
15.	અર્ધવૃત્તખંડ (semi-circle)	આકૃતિ 15	r (π + 2)

[II] સમતલ ભૂમિતિમાં માપન-સૂત્રો :

ક્ષેત્રફળ એટલે સમતલ પરની આકૃતિથી ઘેરાયેલા ભાગનું માપ.

(1) ત્રિકોણ (triangle) Δ ABCમાં a, b, c બાજુઓ અને

A, B, C ખૂણાઓ છે, વેધ = h, અર્ધપરિમિતિ

અહીં r = અંત:ત્રિજ્યા, R = પરિત્રિજ્યા છે.

Δ ABCની બાજુઓ a, b, c હોય તો ત્રિકોણની અર્ધપરિમિતિ

 …………………………………………………………………………………………………(1)

∴ પરિમિતિ = a + b + c = 2S ………………………………………………………………………….(2)

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ : ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનાં સૂત્રો અહીં આપ્યાં છે :

……………………………………………………………………………………………………..(3)

…………………………………………………………………………….(4)

S = ½ ab sin C = ½ ac sin B = ½ ab sin C …………………………………………………………(5)

…………………………………………………………………………………………..(6)

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનાં કેટલાંક સૂત્રો અહીં દર્શાવ્યાં છે.

જો ABC સમબાજુ ત્રિકોણ હોય તો

Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ = …………………………………………………………………………………(7)

જો ABC કાટખૂણ ત્રિકોણ હોય તો

Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ = ½ ab, (m ∠ c = 90°) ……………………………………………………………(8)

Δ ABCની a, b, c બાજુઓ છે, h એ Aમાંથી BC બાજુ પરનો

વેધ હોય તો h = ………………………………………………………….(9)

Δ ABCમાં મધ્યગા (median)

AD = ½ ……………………………………………………………………………(10)

Δ ABCમાં ખૂણા Aનો દ્વિભાજક

છે. ……………………………………………………………………………(11)

Δ ABCની અંત:ત્રિજ્યા

………………………………………………………………………………….(12)

Δ ABCની પરિત્રિજ્યા ……………………………………………………………………….(13)

અહીં S =  = Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ

(2) ચતુષ્કોણ (Quadrilateral) :

સમચોરસ, લંબચોરસ, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ, સમબાજુ ચતુષ્કોણ, સમલંબ ચતુષ્કોણ અને કોઈ પણ ચતુષ્કોણ વગેરે ચતુષ્કોણના વિવિધ પ્રકાર છે. તેનાં ક્ષેત્રફળનાં અને અન્ય સૂત્રો જોઈએ :

(i) સમચોરસ (Square)

a બાજુવાળા સમચોરસનું ક્ષેત્રફળ = a² …………………………………………………………………………..(14)

ચોરસનો વિકર્ણ = a  ……………………………………………………………………………………………(15)

(ii) l અને b બાજુવાળા લંબચોરસ(rectangle)નું ક્ષેત્રફળ

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = lb …………………………………………………………………………………….(16)

(iii) (a) સમાંતરબાજુ (parallelogram) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

= b x h        ………………………………………………………………………………………………….(17)

અહીં b સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો પાયો છે.

(b) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

= p₁ p₂ cosecθ …………………………………………………………………………………………..(18)

p₁, p₂ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુમાંથી સામેની બાજુ પરના લંબઅંતર; θ બે બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો

(iv) સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus)

સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = ½ d₁ d₂ ……………………………………………………………….(19)

અહીં d₁, d₂ સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો છે.

(v) સમલંબ ચતુષ્કોણ (trapezium) :

સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ =  (b₁ + b₂) ……………………………………………………………….(20)

અહીં b₁, b₂ સમાંતરબાજુઓ અને h તેમની વચ્ચેનું લંબઅંતર છે.

(vi) કોઈ પણ ચતુષ્કોણ (any quadrilateral)

(a) અંતર્મુખ (concave) ચતુષ્કોણ

= ……………………………………………………………………………………(21)

(b) બહિર્મુખ (convex) ચતુષ્કોણ

= ………………………………………………………………………………………(22)

(3) નિયમિત બહુકોણો (regular polygons) :

નિયમિત બહુકોણની બાજુ = a; r = અંત:ત્રિજ્યા;

બાજુની સંખ્યા = n

નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ =………………………………………………………….(23)

નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ = …………………………………………………………….(24)

= …………………………(25)

= …………………….(26)

અહીં r = વર્તુળની ત્રિજ્યા, d = વર્તુળનો વ્યાસ, C = વર્તુળનો પરિઘ છે.

(ii) લઘુવૃત્તાંશ :

લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = ½ rl ………………………………………….(31)

= 1 r (rθ)

= ……………………………………….(32)

(iii) ગુરુવૃત્તાંશ :

ગુરુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ

= વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ – લઘુવૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ

=  ……………………………………………………(33)

= …………………………………………………(34)

(iv) લઘુવૃત્તખંડ :

લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ

= લઘુવૃત્તાંશ – સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ OAB

(v) ગુરુવૃત્તખંડ :

ગુરુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ

= વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ – લઘુવૃત્તખંડ

(vi) વલયાકાર (annulus) :

વલયાકારનું ક્ષેત્રફળ

= R ત્રિજ્યાવાળા બહિર્વૃત્તનું ક્ષેત્રફળ – r ત્રિજ્યાવાળા અંત:વૃત્તનું ક્ષેત્રફળ

= πR² – πr²

= π (R² – r²)

વલયાકારનું ક્ષેત્રફળ = π (R + r) (R – r)

= ………………………………………(36)

(5) ઉપવલય (ellipse) :

ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ = πab ……………………………………………………….(37)

અહીં પ્રધાનઅક્ષની લંબાઈ = 2a અને

ગૌણઅક્ષની લંબાઈ = 2b છે.

[III] ઘન ભૂમિતિ(solid geometry)માં ક્ષેત્રફળ(area)/ઘનફળ(volume)નાં સૂત્રો : ઘન ભૂમિતિમાં ઘન પદાર્થોની આકૃતિઓ અવકાશમાં છે, તેથી તેને ઘન પદાર્થ તરીકે જ જોવી પડે છે. આકૃતિમાં મળતા ખૂણાઓનાં માપ પરથી અંદાજ લઈ શકાય નહિ; પણ વાસ્તવિકતા ધ્યાનમાં લઈને જ અંદાજ લગાવાય છે. અર્થાત્, આકૃતિમાં કાટખૂણો ન દેખાતો હોય છતાં વાસ્તવમાં તે કાટખૂણો છે એમ સ્વીકારવું પડે છે; કારણ કે આકૃતિને સમતલમાં લેવામાં આવેલી છે.

ઘન-આકૃતિ (solid figure)	ક્ષેત્રફળ	ઘનફળ
આકૃતિ 41	સમાંતર ફલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = (આગળ, પાછળ) (ઉપર, નીચે) અને આજુબાજુનાં ફલકોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો	સમાંતર ફલકનું ઘનફળ = Bh B = આધાર h = સમાંતર ફલકો વચ્ચેનું લંબઅંતર
આકૃતિ 42	સપાટીનું ક્ષેત્રફળ. = 2 (ab + bc + ca)	લંબઘનનું ઘનફળ = લં x પ x ઊં = abc
આકૃતિ 43	સમઘનનું પૃષ્ઠફળ = 6 x (સમચોરસ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ) = 6a2	સમઘનનું ઘનફળ = લં x પ x ઊં = a x a x a = a3
આકૃતિ 44	પ્રિઝમ–વિવૃત (ખુલ્લો) A = a·pr પ્રિઝમ–સંવૃત (બંધ) A = a·pr + 2B	ઘનફળ = આધાર x ઊંચાઈ = B x h B = આધાર h = ઊંચાઈ
આકૃતિ 45	લંબ પ્રિઝમ (ખુલ્લો) ક્ષેત્રફળ A = ph લંબ પ્રિઝમ (બંધ) ક્ષેત્રફળ A = ph + 2B	ઘનફળ = Bh B = આધાર h = ઊંચાઈ
આકૃતિ 46
આકૃતિ 47
આકૃતિ 48	–
આકૃતિ 49
આકૃતિ 50	–	Bh B = અધ: આધાર અને h = ઊંચાઈ
આકૃતિ 51	વક્રસપાટી A = 2πrh કુલ પૃષ્ઠ T = 2πr (r + h) જ્યાં r = આધારની ત્રિજ્યા, h = ઊંચાઈ	π r2h
આકૃતિ 52	2πh (R + r) R = બહારની ત્રિજ્યા r = અંદરની ત્રિજ્યા	π(R2 –r2)h
આકૃતિ 53	A = πrl T = πr (r + l) ℓ = તિર્યક ઊંચાઈ
આકૃતિ 54	–	B = અધ: આધાર B´ = ઊર્ધ્વ આધાર h = ઊંચાઈ
આકૃતિ 55	A =π (r + r´) l	π⁄3(r2 + rr ´+ r´2) × h r = અધ: આધારની ત્રિજ્યા r´ = ઊર્ધ્વ આધારની ત્રિજ્યા h = ઊંચાઈ
આકૃતિ 56	–
આકૃતિ 57	A = 4πr² = πd² r = ત્રિજ્યા d = વ્યાસ	4⁄3 πr3
આકૃતિ 58
આકૃતિ 59

[IV] પરિભ્રમિત આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ :

(i) વક્ર y = f(x), x = a અને x = b પરના y-યામો અને x-અક્ષથી થતા ક્ષેત્રફળનું x-અક્ષ આસપાસ પરિભ્રમિત આકૃતિનું ઘનફળ = થાય છે.

(ii) તેવી જ રીતે વક્ર x = f(y), y = c અને y = d પરના x યામો અને y-અક્ષથી થતા ક્ષેત્રફળનું y-અક્ષ આસપાસ પરિભ્રમિત આકૃતિનું ઘનફળ = થાય.

(iii) વક્ર y = f(x)ના ચાપ (x = a થી  x = b વચ્ચે) ને x-અક્ષ આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવાથી મળતી સપાટીની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = થાય છે.

(iv) એ જ રીતે વક્ર y = f(x) ના ચાપ (y = c થી y = d વચ્ચે) ને y-અક્ષ આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવવાથી મળતી સપાટીની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ = થાય છે.

(v) પાપુસના પ્રમેયો (Pappus’ Theorems) :

પ્રમેય-1 : કોઈક સંવૃત ક્ષેત્રફળને તે ક્ષેત્રફળની બહારની એવી કોઈક અક્ષરેખા આસપાસ પરિભ્રમણ કરવા દઈએ તો તેનાથી મળતા ઘનફળને પરિભ્રમિત ઘનફળ કહેવાય. છે. આ રીતે મળતી પરિભ્રમિત ઘનાકૃતિના ઘનફળની કિંમત = સંવૃત ક્ષેત્રફળ x l થાય છે, જ્યાં l = ક્ષેત્રફળના ગુરુત્વકેન્દ્ર(centroid) દ્વારા કપાતા પથની લંબાઈ છે.

પ્રમેય-2 : વક્રનો ચાપ કોઈક અક્ષ આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તો પરિભ્રમિત ઘનાકૃતિની વક્રસપાટી = સંવૃત વક્રની પરિમિતિ x l, જ્યાં l = વક્રના ગુ.કે. દ્વારા કપાતા પથની લંબાઈ છે.

[V] અનિયમિત સમતલ આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળો : આપેલી આકૃતિને એકબીજાથી સમાન (h) અંતરે આવેલા (n + 1) યામો દ્વારા બેકી સંખ્યાની n પટ્ટીઓમાં (strips) વિભાજિત કરો. આ ક્ષેત્રફળનું આસન્ન મૂલ્ય શોધવા માટે નીચેની પૈકીની ગમે તે એક રીતનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

આ રીતો ક્રમાનુવર્તી રીતે ગણતરીમાં લેતાં વધુ ને વધુ ચોકસાઈ લાવી આપી છે. જેમ જેમ પટ્ટીઓની સંખ્યા વધુ થતી જાય તેમ તેમ ક્ષેત્રફળની કિંમતમાં વધુ ચોકસાઈ આવતી જશે.

(1) સમલંબકનો નિયમ (trapezoidal rule) :

A = ^h⁄_z [(y_o + y_n) + 2 (y₁ + y₂ + … + y_n–1)]

(2) મધ્ય-કોટિયામ નિયમ (Mid-ordinate rule) :

A = h (l₁ + l₂ + ……….. + l_n) where li is the mid-ordinate between y_i-1 and y_i

(3) ડ્યુરન્ડનો નિયમ (Durand’s rule) :

A = h [0 . 4 (y_o + y_n) + 1 . 1 (y₁ + y_n–1) + y₂ + y₃ + …….. + y _n–2]

(4) સિમ્પસનનો નિયમ :

A = ^h⁄₃  [y_o + y_n + 4 (y₁ + y₃ + … + y_n–1) + 2 (y₂ + y₄ + … + y_n–2)]

(5) કેટલીક વખત ગ્રાફ-પેપર પર આકૃતિ દોરીને આલેખ નીચે રહેલા સમચોરસોની ગણતરી કરીને અથવા તો એમ્સ્લર (Amsler) પ્લેનીમિટરની મદદથી પણ ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે.

[VI] ગુરુત્વકેન્દ્ર : જો (x_i, y_i), i = 1, 2, ……, n પર રહેલા કણનું વજન w_i હોય તો ગુરુત્વકેન્દ્રના યામો

ક્રમાંક	પદાર્થ	ગુરુત્વકેન્દ્રનું સ્થાન
1.	પાતળો સળિયો	સળિયાના મધ્યબિંદુ પર
2.	સિલિંડર કે પ્રિઝમ	આધારોનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર
3.	ગોલક	ગોલકના કેન્દ્ર પર
4.	સપાટ પાતળો	સંમિતતા અક્ષ પર આધારથી 2⁄5 hના વૃત્તખંડ અંતર પર
5.	પિરામિડ અથવા શંકુ	આધારના કેન્દ્ર અને શિરોબિંદુને જોડતી રેખા પર આધારથી  h અંતરે
6.	અર્ધગોલક	સંમિતતા અક્ષ પર ગોલકના કેન્દ્રથી અંતરે
7.	પાતળો ત્રિકોણાકાર	ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર નક્કર પટલ

[VII] ચાકમાત્રા (દ્વિતીય ભ્રામક, second moment) : (i) સમતલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળનું તે ક્ષેત્રફળના સમતલમાંની જ અક્ષ આસપાસ ભ્રામક થાય છે.

(ii) સમતલ આકૃતિના ક્ષેત્રફળનું તેના સમતલને લંબ-અક્ષ આસપાસ ભ્રામક (ધ્રુવીય સ્વરૂપે)  થાય.

(iii) સમાંતર અક્ષનું પ્રમેય :

 જ્યાં A = સમતલ આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ.

કેટલાંક અગત્યનાં પરિણામો (દ્વિતીય ભ્રામક માટે) :

 

ક્રમાંક	સમતલ ક્ષેત્ર	અક્ષ	દ્વિતીય ભ્રામક
1.	લંબચોરસ	ગુ.કે.માંથી અને બાજુ bને સમાંતર રેખા
2.	લંબચોરસ	બાજુ b
3.	લંબચોરસ	વિકર્ણ
4.	ત્રિકોણ (જ્યાં b પરનો વેધ = h)	બાજુ b
5.	વર્તુળ (જ્યાં d = વ્યાસ)	કોઈ પણ વ્યાસ
6.	સમચોરસ (બાજુ a)	વિકર્ણ
	[નોંધ : (4) પરથી → a = b મૂકતાં]
			ધ્રુવીય દ્વિતીય ભ્રામક
1.	દ્વિસમબાજુ ત્રિકોણ (જ્યાં b આધાર પર h વેધ)	શિરોબિંદુ સાપેક્ષ
2.	સમચોરસ	ગુ. કે. સાપેક્ષ
3.	લંબચોરસ (a, b બાજુઓ)	એક શિરોબિંદુ સાપેક્ષ
4.	વૃત્તાંશ ત્રિજ્યા r, કેન્દ્ર પર અંતરાયેલ ખૂણો α	વર્તુળના કેન્દ્ર સાપેક્ષ
[VIII] જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia):
	એકસમાન પદાર્થ	અક્ષ	જડત્વની ચાકમાત્રા
(1)	l લંબાઈનો પાતળો સળિયો (rod)	મધ્યબિંદુમાંથી સળિયાને લંબ રેખા
(2)	લંબચોરસ પટલ (જ્યાં a અને b બાજુ છે.)	ગુ.કે.માંથી b બાજુને સમાંતર રેખા
(3)	લંબચોરસ પટલ (જ્યાં a અને b બાજુ છે.)	ગુ.કે.માંથી પસાર થતી લંબચોરસના સમતલને લંબ રેખા
(4)	લંબઘન (જ્યાં a, b, c કોર છે.)	ગુ.કે.માંથી પસાર થતી ab સમતલને લંબ રેખા
(5)	r ત્રિજ્યાવાળી વર્તુળાકાર ચકતી	કોઈ પણ વ્યાસ
(6)	r ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળાકાર નિયમિત સિલિંડર	સિલિંડરની અક્ષ
(7)	r ત્રિજ્યા ધરાવતી પાતળી સિલિંડરના આકારની ટ્યૂબ (અથવા રિંગ)	ટ્યૂબની અક્ષ
(8)	r ત્રિજ્યાવાળો ગોલક	કોઈ પણ વ્યાસ
(9)	પોલો નળાકાર (R = બહારની ત્રિજ્યા r = અંદરની ત્રિજ્યા)	સિલિંડરની અક્ષ
(10)	પોલો ગોલક	કોઈ પણ વ્યાસ
(11)	સિલિંડર (જ્યાં r = આધારત્રિજ્યા l = લંબાઈ)	ગુ.કે.માંથી પસાર થતી અક્ષને લંબરેખા

સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી ગમે તે અક્ષ આસપાસની જડત્વની ચાકમાત્રા મેળવી શકાય છે.

નરેન્દ્ર પ. ભામોરે