ભૌમિતિક રચનાઓ

અમુક નિશ્ચિત સાધનોના ઉપયોગ વડે ચોક્કસપણે ભૂમિતિની આકૃતિ દોરવાની વિધિ.

નગરરચના, નહેરોનું બાંધકામ, ખેતીલાયક જમીનના જુદા જુદા આકારના ટુકડાઓનું માપન, શિલ્પકળા તથા ચિત્રકળા જેવાં માનવજીવન સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલ કાર્યોમાં મુખ્યત્વે ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આમ માનવ સંસ્કૃતિના વિકાસ સાથે ભૂમિતિનો વિકાસ થયો છે. ગ્રીક સંસ્કૃતિના ઉદય પહેલાં ગણિતીઓએ ભૂમિતિની રચના કરેલી છે. ઈસુના જન્મનાં છસો વર્ષ અગાઉ ભારતના લોકો ત્રિકોણની રચના, પાયથાગોરાસ પ્રકારનાં ભૌમિતિક પરિણામો તેમજ ચતુષ્કોણ, વર્તુળ વગેરે ભૌમિતિક ખ્યાલોથી પરિચિત હતા. લગભગ 2200 વર્ષ પહેલાં યુક્લિડે તે સમયે પ્રાપ્ય ભૂમિતિના જ્ઞાનને અભિગૃહીતો અને પૂર્વધારણાઓ આપી સુવ્યવસ્થિત કર્યું, ત્યારબાદ ભૂમિતિનો તર્કબદ્ધ અભ્યાસ શરૂ થયો.

રેખાખંડ, રેખા, ખૂણો તથા વર્તુળ ભૂમિતિ સાથે સંકળાયેલા સામાન્ય ખ્યાલો છે. તે સમયના ગણિતીઓએ વિવિધ સાધનોની મદદથી આ બધા ભૌમિતિક ખ્યાલોને આકૃતિ રૂપે અભિવ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. આવી આકૃતિઓની રચનામાં અંકિત સીધી પટ્ટી, પરિકર, કોણમાપક, કાટખૂણિયો વગેરે ભૌમિતિક સાધનો સામાન્ય રીતે વાપરવામાં આવે છે. આ સાધનોની રચના અને કાર્યપદ્ધતિનો ખ્યાલ અહીં વિગતે આપ્યો છે.

અંકિત કરેલી સીધી પટ્ટી (scaled ruler) : સીધી પટ્ટી એક છેડે 0થી શરૂ કરી એકસરખા એકમ માપના 1, 2, 3,….. વગેરે આંકડા સમાન અંતરે પટ્ટી પર દર્શાવેલા હોય છે. આ એકમ માપનું પણ જરૂરિયાત પ્રમાણે નાના નાના ભાગોમાં વિભાજન કરેલું હોય છે. સીધીપટ્ટીના ઉપયોગો : આપેલાં બે ભિન્ન બિંદુઓ A અને B પરથી રેખાખંડ , ની રચના કરવી. આપેલાં બે બિંદુ A તથા B વચ્ચેનું અંતર માપવું.

પરિકર (pair of compasses) : આ સાધનથી વર્તુળ કે વર્તુળાકાર ચાપ રચી શકાય; સમતલમાં બિંદુ P તથા રેખાખંડ  આપેલાં હોય તો P કેન્દ્રવાળા તથા AB જેટલી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની રચના કરી શકાય. આ રચના માટે પ્રથમ આકૃતિ 2 માં બતાવ્યા પ્રમાણે પરિકરના અણીદાર પાંખિયાને ના A બિંદુ પર મૂકી બીજા પાંખિયામાં પેન્સિલ મૂકી તેની અણી બિંદુ B પર આવે તેમ ગોઠવવામાં આવે છે.

હવે AB જેટલી લંબાઈની ત્રિજ્યા લઈ પરિકરની અણીને P બિંદુ આગળ ગોઠવી તેની આસપાસ પેન્સિલવાળો ભાગ ફેરવવાથી સમતલ પર વર્તુળ અથવા વર્તુળાકાર ચાપ રચી શકાય છે. (આકૃતિ 2)

કોણમાપક (protractor) : આપેલા માપનો કોણ દોરવા અથવા આપેલા ખૂણાનું માપ મેળવવા માટે આ સાધન વાપરવામાં આવે છે. આકૃતિ 3માં બતાવ્યા પ્રમાણે આ સાધન અર્ધ-વર્તુળના આકારનું હોય છે. આ સાધન પર અર્ધવર્તુળાકાર વ્યાસ AB, કેન્દ્ર O તથા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં 0°થી 180° સુધીનાં માપ દર્શાવેલાં હોય છે. આપેલો ખૂણો ∠LMN મેળવવા માટે ખૂણાના શિરોબિંદુ Mને કોણમાપકના બિંદુ Oને સંગત તથા બાજુ , વ્યાસ ABને સંગત થાય તે રીતે કોણમાપક ગોઠવવામાં આવે છે. ખૂણાની બીજી બાજુ  ને સંગત કોણમાપક પર દર્શાવતી સંખ્યા અનુસાર ખૂણાનું માપ અંશ(સંકેત°)માં લેવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ 3.)

કાટખૂણિયાંઓ (set squares) : આ કાટખૂણ-ત્રિકોણ સ્વરૂપનાં બે સાધનો છે. એક સાધનમાં ત્રિકોણના ખૂણાઓ 90°, 60° તથા 30°ના હોય છે, જ્યારે બીજા સાધનમાં ખૂણાઓ 90°, 45°, 45° હોય છે. આ સાધનોની મદદથી 90°, 60°, 45° તથા 30°ના ખૂણાઓ દોરી શકાય છે. વળી આ ચાર સંખ્યાઓના સરવાળા કે બાદબાકીથી મળતી સંખ્યાઓના અંશના ખૂણાઓ પણ દોરી શકાય છે; દા. ત., 60° – 45° = 15°, 45° + 30° = 75° આથી 15° તથા 75°ના ખૂણાઓ દોરી શકાય છે. (આકૃતિ 4)

અગાઉ દર્શાવેલાં સાધનોમાંથી અમુક સાધનો જ લેવામાં આવે તેમજ આ સાધનોના વપરાશ અંગે અમુક શરતો મૂકવામાં આવે તો કઈ કઈ ભૌમિતિક આકૃતિઓ રચી શકાય તે અંગે પણ પ્રાચીન ગણિતીઓએ વિચાર કરેલો. વિશેષત: ગણિતીઓએ અંકન વિનાની માપપટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી કઈ કઈ ભૌમિતિક આકૃતિઓની રચના કરી શકાય તે અંગે સઘન અભ્યાસ કર્યો. અહીં બંને સાધનોનો પરિમિત (finite) રીતે કોઈ પણ ક્રમમાં ઉપયોગ કરી ભૌમિતિક રચના કરવાની હોય છે. આવી આકૃતિઓને સીધી પટ્ટી તથા પરિકરથી રચી શકાતી આકૃતિઓ એવું વિશિષ્ટ નામ આપવામાં આવે છે.

આ બે સાધનોનો ઉપયોગ કરી પ્રાચીન કાળમાં મેળવેલ જુદી જુદી ભૌમિતિક આકૃતિઓમાંથી કેટલીક રચનાઓ અહીં નોંધી છે : (1) આપેલ રેખાખંડને એકરૂપ રેખાખંડ રચવો; (2) આપેલ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ મેળવવું; (3) આપેલ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દોરવો; (4) આપેલ કિરણની આપેલી બાજુએ આપેલ ખૂણાને એકરૂપ ખૂણો રચવો; (5) આપેલ ખૂણાનો દ્વિભાજક રચવો; (6) આપેલ રેખાખંડ ઉપર આપેલા બિંદુમાંથી લંબ રચવો; (7) આપેલ રેખાને રેખા બહાર આપેલ બિંદુમાંથી સમાંતર રેખાની રચના કરવી; (8) આપેલ રેખાખંડના આપેલ સંખ્યામાં સરખા ભાગ કરવા અથવા આપેલ રેખાખંડનું આપેલ ગુણોત્તર m : nમાં વિભાજન કરતા બિંદુની રચના કરવી. અહીં m અને n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે; (9) ત્રિકોણ, ચોરસ, પંચકોણ અને ષટ્કોણ આદિ નિયમિત બહુકોણની રચના કરવી; (10) આપેલ n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ પરથી 2n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના કરવી; (11) જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ m અને nમાં કોઈ સામાન્ય અવયવ ન હોય તો આપેલ m તથા n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની મદદથી mn બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના કરવી. આમાંથી કેટલીક રચનાઓ અહીં બતાવી છે.

આપેલ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ મેળવવું : યોગ્ય ત્રિજ્યા લઈ નાં બિંદુઓ A તથા Bને વારાફરતી કેન્દ્ર તરીકે લઈ સમાન ત્રિજ્યાવાળા ચાપ દોરી, આ ચાપનાં છેદબિંદુઓ C, D હોય તો સાંધવામાં આવે છે.  અને નું છેદબિંદુ M એ નું મધ્યબિંદુ થશે. (આકૃતિ 5). પણ નો લંબદ્વિભાજક થશે. (યોગ્ય ત્રિજ્યા એટલે બંને વર્તુળાકાર ચાપ પરસ્પરને છેદે તેટલી ત્રિજ્યા.)

આપેલા ખૂણા QPRનો દ્વિભાજક રચવો : ∠QPR ખૂણો રચી તેના શિરોબિંદુ Pને કેન્દ્ર તરીકે લઈ અમુક માપનો વર્તુળાકાર ચાપ દોરવામાં આવે છે; જે ખૂણાની   અને બાજુઓને અનુક્રમે T અને S બિંદુ આગળ છેદે છે. પરિકરથી દોરેલા વર્તુળાકાર ચાપના માપમાં ફેરફાર કર્યા સિવાય T અને S બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઈ બે વર્તુળાકાર ચાપ દોરતાં જે પરસ્પરને U બિંદુ આગળ છેદે છે. એ ∠QPRનો દ્વિભાજક થશે. (આકૃતિ 6).

આપેલ રેખાખંડના n = 6 સરખા ભાગ કરવા : આપેલા રેખાખંડ ABના n = 6 સરખા ભાગ કરવા છે. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે   થાય એવું એક કિરણ  દોરવામાં આવે છે. Aને કેન્દ્ર તરીકે લઈ, અનુકૂળ ત્રિજ્યા લઈ પરિકરની મદદથી ચાપ દોરી   પર D₁ બિંદુ મેળવવામાં આવે છે. ત્યારપછી D₁ કેન્દ્ર તરીકે લઈ એની એ જ ત્રિજ્યા લઈ ચાપ દોરતાં  પર A–D₁–D₂ મેળવવામાં આવે છે. આ રચના ચાલુ રાખી  પર D₁, D₂, D₃, D₄, D₅ તથા D₆ બિંદુઓ મેળવવામાં આવે છે. હવે C₆ અને Bને જોડતો રેખાખંડ C₆B દોરી, બિંદુઓ D₁, D₂, D₃, D₄, D₅માંથી સમાંતર રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ સમાંતર રેખાઓ ને જ્યાં છેદે તે બિંદુઓને અનુક્રમે C₁, C₂, C₃, C₄ તથા C₅ નામ આપવામાં આવે છે. તેથી AC₁ = C₁C₂ = C₂C₃ = C₃C₄ = C₄C₅ = C₆B થાય છે. આમ રેખાખંડ ના છ સરખા ભાગ મળે છે. (આકૃતિ 7)

ચોરસની રચના કરવી : n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચનાનું અર્થઘટન અહીં દર્શાવ્યા મુજબ કરવામાં આવે છે. અહીં રેખાખંડ આપેલો છે. તથા જેની બાજુઓ આ રેખાખંડને એકરૂપ હોય તેમાં n બાજુવાળા બહુકોણની રચના કરવી છે. (અહીં n = n છે.)

રચના : સમતલમાં બિંદુઓ P તથા Q લઈ રચવામાં આવે છે. P તથા R બિંદુએ ને લંબરૂપે અનુક્રમે રેખાઓ ℓ અને m રચવામાં આવે છે.

રેખાઓ ℓ તથા m પર એકરૂપ (ની એક જ બાજુએ) અનુક્રમે તથા  રચવામાં આવે છે. આમ માગ્યા મુજબ PRST ચોરસ મળે છે.

પ્રાચીન સમયના ગણિતશાસ્ત્રીઓ સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી ઘણીબધી ભૌમિતિક રચનાઓ કરી શકતા હતા; છતાં અમુક રચનાઓ કરવામાં તેઓ અસફળ રહ્યા, આવી કેટલીક રચનાઓ અહીં આપી છે :

નિયમિત બહુકોણની રચના : ભૂમિતિના પ્રણેતા યુક્લિડે ગણિત પર ‘એલિમેન્ટ્સ’ નામના દસ ગ્રંથો રચ્યા છે. ચોથા ગ્રંથમાં તેણે નિયમિત બહુકોણની રચના અંગે વિગતવાર સમજણ આપી છે. આમ ગ્રીક સંસ્કૃતિ તથા તેની અગાઉના સમયમાં ગણિતજ્ઞો 2^K (k≥2), 2^K x 3, 2^K x 5 તથા 2^K x 15 (K = 0 અથવા ધનપૂર્ણાંક) બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના અંગે જાણતા હતા; પરંતુ ગ્રીક ગણિતજ્ઞો nની કઈ કિંમતો માટે n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના શક્ય છે એ અંગેના વ્યાપક પ્રશ્નનો જવાબ મેળવી શક્યા નહોતા. લગભગ 2000 વર્ષ સુધી આ પ્રશ્ન અનુત્તર રહ્યો. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ગૉસે (Gauss) આ પ્રશ્નમાં રસ લીધો અને 1799માં તેમણે 17 બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના કરી બતાવી; એટલું જ નહિ, પરંતુ nની કઈ કિંમતો માટે નિયમિત બહુકોણની રચના શક્ય છે તે અંગેનો આંશિક જવાબ પણ મેળવ્યો. ગૉસે બતાવ્યા અનુસાર જો પૂર્ણાંક સંખ્યા n > 1 માટે n = 4 અથવા n = 2^K p₁, p₂…p_j……(^*) સ્વરૂપની હોય તો n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી કરી શકાય છે. આ સૂત્રમાં પૂર્ણાંક k≥0  છે અને p₁, p₂, p₃,………, p_j ભિન્ન અને ફર્મા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. + 1, ℓ = 0, 1, 2, 3 તથા 4 માટે મળતી સંખ્યાઓ અનુક્રમે + 1 = 2¹ + 1 = 3, + 1 = 2² + 1 = 5, + 1 = 2⁴ + 1 = 17, + 1 = 2⁸ + 1 = 257  + 1 = 2¹⁶ + 1 = 65536+1 = 65537 i.e. 3, 5, 17, 257, 65537. આ પાંચ સંખ્યાઓ ફર્મા સંખ્યાઓ છે. ℓ = 5 માટે મળતી સંખ્યાનો એક અવયવ 641 હોવાથી મળતી સંખ્યા વિભાજ્ય છે. અત્યાર સુધી માત્ર પાંચ જ અવિભાજ્ય ફર્મા સંખ્યાઓ મળી છે. 19મી સદીમાં અરૂપ બીજગણિત અને ક્ષેત્રશાસ્ત્ર(field-theory)ના અભ્યાસ પરથી, જો n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના સીધી પટ્ટી તથા પરિકરથી શક્ય હોય તો પૂર્ણાંક n,(^*) પરિણામમાં આપેલ સ્વરૂપની હોવી જોઈએ એમ ફલિત થયું. આમ આ પ્રશ્નનો સંપૂર્ણ ઉકેલ મળી ગયો. સંખ્યાઓ 7 અને 9ને(^*) સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાતી નથી તેથી 7 અને 9 બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ રચી શકાતા નથી. 257 અને 65537 અવિભાજ્ય ફર્મા સંખ્યાઓ હોવાથી સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી આટલી બાજુઓવાળા નિયમિત બહુકોણ રચી શકાય છે. 1832માં ગણિતી રીશેલોએ 257 બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના કરી; જ્યારે ગણિતશાસ્ત્રી હર્મ્સે 65,537 બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના કરી બતાવી. આ રચના મેળવવામાં તેને પૂરાં દશ વર્ષ લાગ્યાં હતાં. એ રચનાના લખાણની હસ્તપ્રત ગટિંગન યુનિવર્સિટીમાં સાચવી રાખવામાં આવી છે.

અંગ્રેજી ભાષામાં પ્રાચીન કાળની ત્રણ સમસ્યાઓ (થ્રી પ્રૉબ્લેમ્સ ઑવ્ ઍન્ટિક્વિટી) તરીકે જાણીતી ત્રણ ભૌમિતિક રચનાઓ શક્ય છે કે નહિ તે અંગે ગ્રીક ગણિતઓ કંઈ નક્કી કરી શક્યા નહિ; એટલું જ નહિ, પરંતુ અઢારમી સદી સુધી આ ત્રણેય રચનાઓ શક્ય છે કે નહિ તે પણ નિશ્ચિત થઈ શક્યું નહિ. ક્ષેત્રશાસ્ત્રના અભ્યાસની મદદથી આ ત્રણેય રચનાઓ અશક્ય છે એમ સાબિત કરવામાં આવ્યું. આ ત્રણ રચનાઓ વિગતે જોઈએ :

(ક) આપેલ ખૂણાને ત્રિભાગવો (trisecting an angle) : સીધી પટ્ટી અને પરિકરની મદદથી આપેલ ખૂણાને દુભાગી શકાય છે, પરંતુ અહીં સમસ્યા આપેલા ખૂણાને ત્રિભાગવાની છે. સમબાજુ ત્રિકોણની રચના શક્ય હોવાથી 60°નો ખૂણો રચી શકાય અને તેને દુભાગતાં 30°નો ખૂણ રચી શકાય, આમ 90°ના ખૂણાને ત્રિભાગી શકાય. 135°, 45°…… ખૂણાઓને ત્રિભાગી શકાય, પરંતુ અહીં સમસ્યા પ્રત્યેક આપેલા ખૂણાને ત્રિભાગી શકાય કે નહિ તે છે.

(ખ) આપેલ વર્તુળના ક્ષેત્રફળને સમક્ષેત્ર ચોરસની રચના કરવી (Squaring a circle).

(ગ) આપેલ ઘન(cube)ના ઘનફળ કરતાં બમણું ઘનફળ (volume) ધરાવતા ઘનની રચના કરવી (doubling a cube).

આ ત્રણેય ભૌમિતિક રચનાઓને જુદા સ્વરૂપમાં અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય :

અંકન વિનાની સીધી પટ્ટીનો વિચાર કરીએ ત્યારે તેના પર બે નિશ્ચિત બિંદુઓ A તથા B લઈ શકાય. હવે સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી રેખાખંડ ને લંબાઈ એકમ માપની લઈએ તો સ્વાભાવિક રીતે રેખાખંડ ACની એકરૂપ રેખાખંડ ની રચના કરી શકાય. જો રેખા ખંડ ની લંબાઈ  એકમ માપની થશે. આ રચનાક્રમ ચાલુ રાખતાં 3, 4, 5,….. અને વ્યાપક રીતે પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે n એકમ–માપના રેખાખંડ ની રચના કરી શકાય. ફરીથી સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી રેખાખંડ ના m (પ્રાકૃતિક સંખ્યા) સરખા ભાગ કરતાં પ્રત્યેક ભાગ  એકમ-માપનો થશે. આમ સીધી પટ્ટી તથા પરકારની મદદથી  (n, m પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) એકમમાપના રેખાખંડની રચના કરી શકાય.

વ્યાખ્યા : જો સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી આપેલી વાસ્તવિક સંખ્યા ∝ માટે ( એ αની નિરપેક્ષ કિંમત છે.) એકમ-માપનો રેખાખંડ દોરી શકાય તો વાસ્તવિક સંખ્યા ∝ ને (ભૌમિતિક સ્વરૂપમાં) રચનાક્ષમ સંખ્યા (constructible number) કહેવામાં આવે છે.

અગાઉ જણાવ્યા પ્રમાણે પ્રત્યેક સંમેય સંખ્યા રચનાક્ષમ થશે. જેની બાજુઓ રેખાખંડ ને એકરૂપ છે તેવા ચોરસની રચના સીધીપટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી કરી શકાય છે. આ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ એકમ-માપની થવાથી અસંમેય સંખ્યા પણ રચનાક્ષમ થશે. (આકૃતિ 10).

હવે સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી ભૌમિતિક રચનાઓના એક ભાગરૂપે કઈ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ રચનાક્ષમ છે તે અંગે પણ વિચારી શકાય.

રચનાક્ષમ સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં ઉપર્યુક્ત ત્રણેય ભૌમિતિક રચનાઓને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જોઈ શકાય.

(f) ખૂણાને ત્રિભાગવાનો પ્રશ્ન જોવા જેવો છે. સૌપ્રથમ ત્રિકોણમિતિની મદદથી આપેલા ખૂણાના માપના ખૂણાની રચના જોવી જોઈશે. પરિકરની મદદથી બિંદુ Oને કેન્દ્ર તરીકે અને એકમ માપની ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરાશે (આકૃતિ 11). જો ∠LON = ∝ આપેલો હોય તો બિંદુ Lમાંથી  પર લંબ રચી શકાય. હવે  અને OL = 1 છે. ∴ OK = Cos ∝ એકમ-માપનો રેખાખંડ રચી શકાય. આથી ઊલટું વાસ્તવિક સંખ્યા Cos ∝ રચનાક્ષમ હોય તો વ્યાસ પર આ રેખાખંડને એકરૂપ મેળવી Kમાંથી દોરેલ લંબ-વર્તુળના પરિઘને L બિંદુમાં છેદે તો ∠LOK = ∝ થશે :

જો ખૂણાના વિભાજનની રચના શક્ય હોય તો કોઈ પણ ખૂણાને અને ખાસ કરીને 60° ખૂણાને ત્રિભાગતાં 20°ના ખૂણાની રચના શક્ય બને છે એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યા Cos 20° રચનાક્ષમ થશે.

ઉપર્યુક્ત રચના(ખ)માં વર્તુળની ત્રિજ્યા એકમ માપની લેતાં તેનું ક્ષેત્રફળ π ચોરસ એકમ થશે. હવે જો જોઈતા ચોરસની બાજુ ℓ એકમ માપની હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ ℓ² ચોરસ એકમ થવાથી ℓ² = π અથવા ℓ =  મળે. આમ રચના ખ ને સમકક્ષ સ્વરૂપ વાસ્તવિક સંખ્યા  રચનાકીય છે કે નહિ તે મળશે. (આકૃતિ 12). ઉપર્યુક્ત રચના(ગ)માં આપેલા ઘન Aની બાજુ એકમ-માપની છે. તેનાથી બમણું કદ ધરાવતા ઘન B માટે બાજુ  એકમ-માપની છે. ઘન Aનું ઘનફળ I ઘન એકમ તથા ઘન Bનું ઘનફળ r³ ઘન એકમ થાય છે, તેથી r³ = 2 એટલે કે r =  થાય. આ રીતે રચના (ગ) ને સમકક્ષ સ્વરૂપ વાસ્તવિક સંખ્યા રચનાક્ષમ છે કે નહિ તે જાણવા મળશે. (આકૃતિ 13)

ક્ષેત્રશાસ્ત્રના અભ્યાસ પરથી Cos 20°,  તથા  ત્રણેય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ રચનાક્ષમ નથી તેમ સાબિત કરી શકાય છે. આમ ઉપર્યુક્ત ત્રણેય રચનાઓ સીધી પટ્ટી તથા પરિકરની મદદથી અશક્ય છે. રચના (ગ) સાથે એક ઐતિહાસિક દંતકથા પણ જોડાયેલી છે. 1797માં ગણિતજ્ઞ મેરોરોનીએ સાબિત કર્યું કે ફક્ત પરિકરનો ઉપયોગ કરી ભૌમિતિક રચનાઓ કરવામાં આવે તો સીધી પટ્ટી તથા પરિકરના ઉપયોગ દ્વારા મળતી રચનાઓ કરતાં લગભગ અડધી રચનાઓ જ શક્ય બને છે.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ