બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્ર

બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્ર (Bose-Einstein statistics) : વ્યક્તિગત ઊર્જાસ્તર ઉપર કણોના વિતરણ માટે કોઈ પ્રતિબંધ ન હોય તેવી ક્વૉન્ટમ પ્રણાલીનું આંકડાશાસ્ત્રીય વર્ણન. અહીં પાઉલીનો અપવર્જન(exclusion)નો નિયમ પળાતો નથી, માટે ગમે તેટલી સંખ્યામાં સમાન બોઝૉન કણો એક જ ઊર્જા અવસ્થામાં રહી શકે છે. પૂર્ણાંક પ્રચક્રણ (integral spin) ધરાવતા કણોને બોઝૉન કહે છે. ફોટૉન અને મેસૉન બોઝૉન કણો છે. એક જ ઊર્જાસ્તરમાં રહેલા એક જ પ્રકારના બે બોઝૉનનાં સ્થાન અરસપરસ બદલવામાં આવે તો તેમના વિતરણની સંભાવના અને તરંગવિધેય ઉપર કોઈ જ અસર થતી નથી. બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્ર ઊર્જા-અવસ્થા E₁માં રહેલા કણોની સંખ્યા n₁ દર્શાવે છે, જે નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

જે પ્રણાલી સમમિતીય (symmetrical) તરંગ-વિધેય ધરાવતી હોય તેને આ આંકડાશાસ્ત્ર લાગુ પડે છે.

વિતરણ સંભાવના : કોઈ પ્રણાલી માટે ઊર્જાસ્તર _iમાં કણોની સંખ્યા n_i છે એમ સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. ઊર્જાસ્તર _iને પરિમિત (finite) પહોળાઈ હોય છે. તેમાં g_i જેટલા અનપભ્રષ્ટ (non-degenerate) ક્વૉન્ટમ સ્તરો હોય છે. જો વ્યક્તિગત ઊર્જાસ્તરમાં ગમે તેટલી સંખ્યાના કણોની ગોઠવણી માન્ય હોય તો કોઈ ખાસ વિતરણની સંભાવના (distribution probability) નીચેનાં સૂત્રોથી મળે છે :

વિતરણ સંભાવના W = ઇક્વેશન બાકી

બોલ્ટ્ઝમાન આંકડાશાસ્ત્ર માટે ઉપરની વિતરણસંભાવના નીચેનાં સૂત્રોથી મળે છે :

પ્રણાલીની સૌથી વધારે સંભવિત અવસ્થાને સંતુલન (equilibrium) અવસ્થા કહે છે. મહત્તમ સંભાવના અથવા સંતુલન સ્થિતિ માટે, ઇક્વેશન બાકી

eni  = N…………(2a)

e_ini = E…………(2b)

લેવા પડે છે. જ્યાં કણોની કુલ સંખ્યા N અને કુલ ઊર્જા E નિયત  હોય છે. મહત્તમ સંભવિત વિતરણ માટે તે નીચે પ્રમાણે મળે છે.

જ્યાં A અને b પ્રાચલો છે. જે સમીકરણ (2a) અને (2b)ની મદદથી નક્કી કરી શકાય છે. અહીં વાસ્તવમાં છે, જ્યાં k બોલ્ટ્ઝમાનનો અચળાંક અને T નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

જ્યારે બોલ્ટ્ઝમાન આંકડાશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે અમુક પ્રકારની અથડામણોની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેવી પડે છે. તેમાં દર સેક્ધડે થતી અથડામણોની સંખ્યાને ધારી લેવામાં આવે છે. અવસ્થા અવકાશ(phase space)માં i અને j કોષ(cells)માં ગતિ કરતા અણુઓ કોષ k અને lમાં રહેલા અણુઓમાં ગતિ પેદા કરે છે. દર સેક્ધડે અણુઓ વચ્ચે થતી અથડામણોની સંખ્યા નીચેના સૂત્રથી મળે છે :

જ્યાં a_ij ભૂમિતીય અવયવ છે.

બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્રની બાબતે અથડામણોની સંખ્યાને લક્ષમાં લેતાં સમીકરણ (3) એવી જ રીતે મેળવી શકાય છે અને તે નીચે પ્રમાણે અપાય છે :

અહીં એક રસપ્રદ ઘટના એ ફલિત થાય છે કે અથડામણોની સંખ્યા કણ જે અવસ્થા(state)માં જતો હોય તે અવસ્થામાં રહેલા કણોની સંખ્યા ઉપર આધારિત છે. આવી અવસ્થાઓ ગીચોગીચ હોય તો અથડામણની સંભાવના ખૂબ જ વધી જાય છે. પરિણામે વિતરણવિધેય fi નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

n_i = f_ig_i……….(6)

બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્રના વિવિધ ઉપયોગો જોવા મળે છે. કોઈ એક પાત્રમાં ફોટૉનનો સમૂહ (વાયુ) લેવામાં આવે તો તેને સમીકરણ (3) લાગુ પાડી શકાય છે; કારણ કે ફોટૉન પૂર્ણાંક પૃથક્કરણ ધરાવતો હોઈ તે બોઝૉન છે.

ફોટૉનની ઊર્જા ∈ = hν……………(7a)

અને વેગમાન p = ……………(7b)

વડે આપી શકાય છે. જ્યાં h પ્લાંકનો અચળાંક, v ફોટૉનની આવૃત્તિ, C પ્રકાશનો વેગ છે.

આપેલ નિયત ઊર્જા અથવા આવૃત્તિના ગાળા માટે ફોટૉનની સંખ્યા નીચેના સૂત્રથી મળે છે :

જ્યાં V પાત્રનું કદ છે.

વાસ્તવમાં ફોટૉનના વાયુ માટે ફોટૉનની સંખ્યા નિયત હોતી નથી. આથી વિતરણ-વિધેય માત્ર b પ્રાચલ ઉપર આધાર રાખે છે. અહીં A = 1 લઈ શકાય છે અને છે. આવૃત્તિના dv ગાળા માટે ફોટૉનની સંખ્યા સમીકરણ(3)માંથી નીચે પ્રમાણે મળી રહે છે :

આવૃત્તિના du ગાળામાં એકમ કદદીઠ ઊર્જા એટલે કે ઊર્જા-ઘનતા, સમીકરણો  (9) અને (7a)નો ઉપયોગ કરતાં નીચે પ્રમાણે મળે છે :

આ સમીકરણ કાળા પદાર્થના વિકિરણ માટે પ્લાંકનું પ્રસિદ્ધ સમીકરણ છે. આથી કાળા પદાર્થના વિકિરણને ફોટૉન વાયુ તરીકે લઈ શકાય છે અને આવા ફોટૉન બોઝ-આઇન્સ્ટાઇન આંકડાશાસ્ત્રનું પાલન કરે છે.

V કદના પાત્રમાં ફોટૉનને બદલે m દ્રવ્યમાનવાળા કણો લેતાં સમીકરણ (3)ને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે :

એ કણનો કુલ વેગ છે. સમીકરણો (2a) અને (2b)ને સંકલન સ્વરૂપે લખી શકાય છે.

હવે છે.  …………….(12)

જ્યાં P દ્બાણ, V કદ અને E ઊર્જા છે. આદર્શ બોઝ વાયુ માટે સમીકરણો (2a) અને (2b)નો ઉપયોગ કરવાથી આદર્શ બોઝ વાયુ માટે નીચેનાં અવસ્થા-સમીકરણ મળે છે :

એ રાબેતા મુજબ વિધેય છે અને

છે. સમીકરણ (13a) અને (13b) ઉપરથી, A દૂર કરતાં, PV અને T વચ્ચેના સંબંધ મળે છે.

સમીકરણ (15)ના અંશને અપરિમિત શ્રેણીમાં દર્શાવતાં આઇન્સ્ટાઇન સમીકરણો મળી રહે છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

A=1 માટે, અને P = મળે છે.

આઇન્સ્ટાઇનના અર્થઘટન મુજબ એ મહત્તમ શક્ય ઘનતા છે. વાયુને આ હદથી વધુ દબાવવામાં આવે તો અપેક્ષાધિક (superfluous) કણો શૂન્ય-અવસ્થા સ્થિતિમાં ઘનીભૂત થાય છે. આ કણો અહીં ઘનતા અને દબાણ પરત્વે કશી અસર કરતા નથી. કદ ઘટાડતાં આવી ઘનીભવનની ઘટના બને છે અને શૂન્ય સ્થિતિ પેદા કરે છે. તે દબાણ, કદ અને ઘનતા પ્રત્યે અસરકર્તા નથી. પ્રવાહી હીલિયમ વડે પ્રદર્શિત થતા અતિ તરલ (superfluid) ગુણધર્મો વાસ્તવમાં આઇન્સ્ટાઇન ઘનીભવન વ્યક્ત કરે છે. આ બધી ચર્ચા આદર્શ બોઝ વાયુ પ્રણાલીને લાગુ પડે છે. અનાદર્શ (non-ideal) બોઝ વાયુ પ્રણાલીનો સઘન અભ્યાસ ચાલી રહ્યો છે. ની પ્રાયોગિક હકીકતો વાયુનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરી શકે તેમ છે. તેને કારણે ઘનીભવન ઘટનાની વાસ્તવિકતાનો પ્રત્યક્ષ પુરાવો સુલભ થશે.

આનંદ પ્ર. પટેલ