ફર્મી-ડિરાક સંખ્યાશાસ્ત્ર

ફર્મી-ડિરાક સંખ્યાશાસ્ત્ર (Fermi Dirac Statistics) : પાઉલીના અપવર્જન(બાકાતી, exclusion)ના સિદ્ધાંત અનુસાર કણો અથવા કણોની પ્રણાલીનું આંકડાશાસ્ત્રીય વર્ણન. સમાન ક્વૉન્ટમ સ્થિતિઓમાં બે ફર્મિયૉન કદાપિ રહી શકતા નથી તેવું આ સિદ્ધાંત દર્શાવે છે. અર્ધપૂર્ણાંક પ્રચક્રણ (spin) ધરાવતા કણોને ફર્મિયૉન કણ કહે છે, જેમનું દળ પ્રોટૉનના દળ જેટલું અથવા વધારે હોય છે તેવા બેરિયૉન (ભારે) અને પ્રબળ આંતરક્રિયામાં ભાગ ન લેતા હોય તેવા લેપ્ટૉન (હલકા) કણોને ફર્મિયૉન કણો કહે છે. બે સમાન ફર્મિયોનનાં સ્થાન અરસપરસ બદલવાથી વિતરણ-સંભાવના (distribution probability) ઉપર કશી અસર થતી નથી. પણ પ્રણાલીના તરંગ-વિધેય(wave function)ની સંજ્ઞા ઊલટી થઈ જાય છે. ફર્મી-ડિરાક-વિતરણનો નિયમ ઊર્જા-અવસ્થા ε₁ સ્થિતિમાં ઇલક્ટ્રૉન જેવા ફર્મિયૉન કણોની સંખ્યા n₁ દર્શાવે છે.

જ્યાં k બોલ્ટ્ઝમાનનો અચળાંક અને T નિરપેક્ષ તાપમાન છે.

આ જાતના આંકડાશાસ્ત્રની રજૂઆત સૌપ્રથમ ફર્મીએ કરી. તેમણે ઇલેક્ટ્રૉન જેવા કણની પ્રણાલીની સ્થળાંતરીય (transitional) ઊર્જા-સ્થિતિઓ માટે પાઉલીના નિયમનો ઉપયોગ કર્યો. પાછળથી ડિરાકે બતાવ્યું કે જ્યારે પ્રણાલીનું કુલ તરંગ-વિધેય અસમમિત (antisymmetric) હોય ત્યારે આ પરિણામ મેળવી શકાય છે. તે ઊર્જાસ્તર ε_iમાં કણોની સંખ્યા n_i દર્શાવે છે. ε_i એ ઊર્જાનો પરિમિત (finite) વિસ્તાર વ્યક્ત કરે છે. તેમાં g_i જેટલી અનપભ્રષ્ટ (non-degenerate) ક્વૉન્ટમ અવસ્થાઓનો સમાવેશ થાય છે. ફર્મિ આંકડાશાસ્ત્ર પ્રમાણે અનપભ્રષ્ટ ક્વૉન્ટમ સ્થિતિમાં વધુમાં વધુ એક કણ રહી શકે છે. પ્રચક્રણોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે તો આવી અવસ્થામાં બે કણ રહી શકે છે. આથી n_i ≤ g_i થાય છે. g_i અનપભ્રષ્ટ સ્તરો ધરાવતા ε₁ સ્તરમાં ગણ {n_i}ના વિતરણની સંભાવના નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

વિતરણની સંભાવના

………………………………………….(1)

બોલ્ટ્ઝમાન સંખ્યાશાસ્ત્રમાં આ જ સંભાવના નીચેના સમીકરણ વડે મળે છે :

…………………………………………… (2)

અસ્તિત્વ ધરાવતી સંતુલન-અવસ્થાઓનો ગણ વિતરણ-સંભાવના Wને મહત્તમ બનાવે છે. તે માટે નીચેની સહાયક શરતો આવશ્યક છે :

આ શરતો કણોની કુલ સંખ્યા અને કુલ ઊર્જા દર્શાવે છે. સૌથી વધારે સંભવિત વિતરણ નીચેના સમીકરણ વડે અપાય છે :

અહીં A અને β પ્રાચલો છે. હકીકતમાં β = ¹⁄_kT છે. જ્યાં k બોલ્ટ્ઝમાનનો અચળાંક અને T નિરપેક્ષ તાપમાન છે. સમીકરણ(4)ના છેદમાં આવતી સંખ્યા 1(એક)ને અવગણવામાં આવે ત્યારે તે બોલ્ટ્ઝમાનનું વિતરણ આપે છે. અહીં પ્રતિ સેક્ધડે અથડામણની સંખ્યા ધારી લેવાની જરૂર છે. અથડામણો અવસ્થા-અવકાશ(phase space)માં આવેલા i અને j કોષો(cells)માં ગતિ કરતા અણુઓ k અને l કોષોમાં રહેલા અણુઓમાં ગતિ પેદા કરે છે. દર સેક્ધડે અથડામણોની સંખ્યા નીચેના સમીકરણ વડે મળે છે :

જ્યાં ભૂમિતીય અવયવ છે. તે બોલ્ટ્ઝમાન-વિતરણ ભણી દોરી જાય છે. અથડામણોની સંખ્યા માટે સમીકરણ (5)ને બદલે નીચેનું સમીકરણ (6) લેવાથી ફર્મી વિતરણ માટે સમીકરણ (4) મેળવી શકાય છે :

અહીં એક વાત સ્પષ્ટ થાય છે, કે જે અવસ્થામાં કણ જતો હોય તે અવસ્થાની અધિષ્ઠાન-સંખ્યા (occupation number) ઉપર અથડામણની સંભાવના આધાર રાખે છે. અંતિમ અવસ્થાઓ ભરાયેલી હોય એટલે કે n_k = g_k થાય, તો અથડામણ થશે નહિ. વિતરણ-વિધેય f_i નીચેના સમીકરણ વડે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે :

ફર્મી-ડિરાક સાંખ્યિકીનો ઉપયોગ રસપ્રદ છે. V કદના પાત્રમાં m દ્રવ્યમાનવાળા ઇલેક્ટ્રૉનની સંખ્યા N હોય તો સમીકરણ (4)ને નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :

જ્યાં h પ્લાંકનો અચળાંક છે. સમીકરણ 3a અને 3bનું સંકલન(integration)માં રૂપાંતર કરતાં અંતે નીચેનાં સમીકરણો મળે છે :

 

જ્યાં  એ ઇલેક્ટ્રૉનની ઉષ્મીય (thermal) દ-બ્રોગ્લી (de-Broglie) તરંગલંબાઈ છે તથા U^ρ(A) એ સોમરફિલ્ડ સંકલન છે.

Uρ (A) ≈ A થાય છે, જો A << l હોય તો ………………..(10b)

 

જગાએ μ લેતાં નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે :

અથવા

અહીં μ એ રાસાયણિક સ્થિતિમાન (chemical potential) છે.

જો ∈ મોટો હોય તો ( ¹⁄_kT ) (∈ – μ ) >> 1 થતાં, તે તેવા સંજોગોમાં બોલ્ટ્ઝમાન વિતરણ આપે છે. તેના ઉપરથી V/N >> λ³ …………. (12) મળે છે.

કણની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ સાથે સંકળાયેલ કદ કરતાં કણદીઠ મળતું કદ વધારે હોય ત્યારે પ્રશિષ્ટ (classical) શરત મળે છે.

દષ્ટાંત રૂપે 4K તાપમાને અને 1 વાતાવરણના દ્બાણે He² વાયુ માટે જેટલું મળે છે. તેનો અર્થ એ થાય છે કે ક્વૉન્ટમ અસરો તેમનો ભાગ ભજવતી હોવા છતાં પ્રશિષ્ટ સંખ્યાશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

300 K તાપમાને ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રૉન માટે એ લગભગ 10^-4 જેટલું મળે છે. તેનો અર્થ એ થાય છે કે ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રૉન માટે પ્રશિષ્ટ સંખ્યાશાસ્ત્ર નિષ્ફળ જાય છે. જ્યારે પ્રશિષ્ટ સંખ્યાશાસ્ત્ર નિષ્ફળ જાય છે ત્યારે અપભ્રષ્ટ (degenerate) ફર્મી-વિતરણ પરિણમે છે.

જો A >> 1 હોય તો અપભ્રષ્ટ ફર્મી-વિતરણ મળે છે.

જો A << 1 હોય તો પ્રશિષ્ટ વિતરણ મળે છે.

દ્રષ્ટાંત રૂપે સમીકરણો 9a, 9b અને 10b E = ½NkT અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ³⁄₂R = ³⁄₂Nk આપે છે.

ઇલેક્ટ્રૉન વાયુ માટે આ લાગુ પાડી શકાય નહિ, કારણ કે સામાન્ય તાપમાને અને A >> 1 હોય ત્યારે આવી પ્રણાલી અપભ્રષ્ટ હોય છે. A >> 1 હોય ત્યારે ઇલેક્ટ્રૉનનો વિશિષ્ટ ઉષ્મા પ્રત્યેનો ફાળો અવગણ્ય હોય છે.

પ્રશિષ્ટવાદ પ્રમાણે ઇલેક્ટ્રૉનિક વિશિષ્ટ ઉષ્મા થાય છે, જ્યારે વાસ્તવમાં ઘણી ઓછી હોય છે. હકીકતમાં થાય છે, જ્યાં g નાનો અચળાંક છે. આ બધું દર્શાવે છે કે સામાન્ય તાપમાને ઇલેક્ટ્રૉન વાયુ અપભ્રષ્ટ ફર્મી-વાયુ છે. ધાતુની વિદ્યુતવાહકતા પ્રશિષ્ટવાદ પ્રમાણે સમજી શકાય છે.

આનંદ પ્ર. પટેલ