ત્રિકોણમિતિ

ત્રિકોણમિતિ (trigonometry) : ત્રિકોણમિતીય વિધેયની મદદથી ત્રિકોણના સંઘટકો (બાજુઓ અને ખૂણાઓ) શોધવા માટે વપરાતી ગણિતની શાખા. ઇજનેરી, મોજણી, સ્થાપત્ય, વહાણવટું અને ખગોળશાસ્ત્ર જેવાં ક્ષેત્રમાં તે ભારે ઉપયોગી છે. ખગોળમાં સૂર્ય, ચંદ્ર, ગ્રહો અને તારાઓની ગતિનો અભ્યાસ કરવા અને અન્ય ગણતરીઓ કરવા અત્યંત પ્રાચીન કાળમાં તે શાખાનો ઉદભવ થયો. ગ્રીક ખગોળશાસ્ત્રીઓ હીપાર્કસ (160 B.C.) અને ટૉલેમી(મૃત્યુ 168 A.D.)એ ત્રિકોણમિતિનો પાયો નાંખ્યો. હિન્દુ અને આરબ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તેને વિકસાવી. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આંદોલન, કંપન અને આવર્તમાન માટે, તેમજ પ્રકાશ, ધ્વનિ અને ગતિશાસ્ત્રમાં સૂત્રો અને સમીકરણો દર્શાવવામાં તેનો ઉપયોગ થાય છે. ત્રિકોણમિતિના સમતલ (plane) ત્રિકોણમિતિ અને ગોલીય (spherical) ત્રિકોણમિતિ એમ બે પ્રકાર છે. સમતલ ત્રિકોણમિતિ સમતલીય ત્રિકોણો સાથે અને ગોલીય ત્રિકોણમિતિ ગોલીય ત્રિકોણો સાથે સંકળાયેલી છે.

ત્રિકોણમિતિમાં મુખ્યત્વે જ્યા (sine), કોટિજ્યા (cosine) અને સ્પર્શજ્યા (tangent) — એમ ત્રણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો છે. શરૂઆતમાં આ વિધેયોને કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા. સમય જતાં ગણ અને વિધેયની મદદથી ત્રિકોણમિતીય વિધેયોને વૃત્તીય વિધેયો (circular functions) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યાં અને ત્રિકોણમિતિને વધુ વ્યાપક સ્વરૂપ મળ્યું.

ત્રિકોણમિતીય વિધેયો-ગુણોત્તર સ્વરૂપે : કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ અનુક્રમે  x અને y હોય તથા કર્ણની લંબાઈ r હોય અને θ = m∠ (x, r) (x અને r બાજુથી બનતા ખૂણાનું માપ) હોય (આકૃતિ 1) તો

જેને અનુક્રમે કોસાઇન, સાઇન અને ટેન્જન્ટ વિધેય કહે છે. (q ખૂણાનું માપ રેડિયન કે અંશમાં કાઢવામાં આવે છે), ભ્રમણ-કિરણથી બનતા ખૂણાનું માપ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ઋણ અને કાંટાની ઊલટી દિશામાં ઋણ ગણાય છે). ઉપરના ત્રણ ગુણોત્તરનો વ્યસ્ત (reciprocal) લેવાથી વ્યુત્ક્રમ કોટિજ્યા (secant), વ્યુત્ક્રમ જ્યા (cosecant) અને કોટિ સ્પર્શજ્યા (cotangent) — એવાં ત્રણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો મળે છે. તેને

.

ત્રિકોણમિતીય વિધેય વૃત્તીય વિધેય તરીકે : ઉદગમ બિંદુ કેન્દ્ર અને એકમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર A(1,0) છે (આકૃતિ 2). [0, 2π]માંની કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા θને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ પર ત્રિકોણમિતીય બિંદુ P(θ) આવેલું છે કે જેથી ચાપની લંબાઈ = r x θ = 1 x θ = θ (રેડિયન) છે. કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા θ માટે θ = 2nπ+α, અહીં n ∈ Z (પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ) અને 0 ≤ α ≤ 2π  હોય ત્યારે P(θ) = P(α) છે. એકમ વર્તુળ પર બિંદુ P(θ) = (x, y) લઈ, વિધેયો f:R → એકમ વર્તુળ જેથી f(θ) = P(θ) અને g:એકમ વર્તુળ → [–1,1] જેથી g(P(θ)) = x અને વિધેય h: એકમ વર્તુળ → [–1,1] જેથી h(P(θ)) = y વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો Cosθ = gof(θ) = x તેમજ Sinθ = hof(θ) = y અને છે.

આમ કોટિજ્યા, જ્યા અને સ્પર્શજ્યા ત્રિકોણમિતીય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યાં છે. આ વિધેયોના વ્યસ્ત તરીકે secant, cosecant અને cotangent એમ બીજાં ત્રણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યાં છે. Sine અને Cosine વિધેયોનો પ્રદેશ IR અને વિસ્તાર [–1,1] છે. tangent વિધેયનો પ્રદેશ IR – (2n + 1) π/2, n∈Z છે અને વિસ્તાર IR છે. ત્રણેય વિધેય આવર્તી (periodic) વિધેય છે. sine અને cosine વિધેયનું મુખ્ય આવર્તમાન (period) 2π છે, જ્યારે tangent વિધેયનું મુખ્ય આવર્તમાન π છે. P (θ)નું સ્થાન જે ચરણમાં હોય તે પ્રમાણે x અને y ધન કે ઋણ થાય છે. પ્રથમ ચરણમાં બધાં વિધેય ધન કિંમતો ધારણ કરે છે. બીજા ચરણમાં માત્ર sine વિધેય, ત્રીજામાં માત્ર tangent અને ચોથામાં માત્ર cosine વિધેય ધન કિંમતો લે છે. એકમ વર્તુળ ઉપર બિંદુઓ P(θ) અને P(–θ) લેતાં જણાય છે કે Cos(–θ) = Cosθ, Sin(–θ) = –Sin θ, અને tan(–θ) = –tanθ છે. એટલે કે cosine વિધેય યુગ્મ વિધેય છે જ્યારે sine અને tan વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે. y = sinx = f(x) લેતાં f(–x) = sin(–x) = –y તેથી sine વિધેય અને એ જ પ્રમાણે tangent વિધેય ઉદગમ બિંદુ(origin)માં સમમિત (symmetric) છે. જ્યારે y = cos x = f(x) લેતાં f(–x) = cos (–x) = y છે તેથી cosine વિધેય y અક્ષમાં સમમિતિ (symmetry) ધરાવે છે. આકૃતિ 3, 4, 5માં આ જોઈ શકાય છે.

આ વિધેયોની કેટલીક વિશિષ્ટ કિંમતો નીચેના કોઠામાં દર્શાવી છે :

ત્રિકોણમિતીય સૂત્રો : (1) મૂળભૂત નિત્યસમો Cos² θ+ Sin² θ = 1, જેમાંથી 1+ tan²θ = Sec²θ અને cot²θ +1 = cosec² θ મળી શકે છે.

(2) વિશિષ્ટ સૂત્રો : સરવાળાના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટેનાં સૂત્રો : Sin (α ± β) = Sin α cos β ± cos α Sin β; cos (α ± β) = cos α cos β ± Sin α Sin β. આના પરથી માટેની કોઈ પણ ત્રિકોણમિતીય વિધેયની કિંમત તરત મળી શકે. sine અને cosine, tangent અને cotangent, secant અને cosecant ને એકબીજાનાં સહવિધેય (cofunction) કહે છે. આમાંના કોઈને પણ f વડે અને તેના સહવિધેયને cof વડે દર્શાવીએ, તો વિચિહન મૂલ્ય (absolute value) (n યુગ્મ પૂર્ણાંક માટે f(q) અને અયુગ્મ પૂર્ણાંક માટે cof (θ) થાય) તથા જે ચરણમાં હોય, તેમાંનું fનું ચિહન લેવાય; જેમ કે, માં n = 3, અયુગ્મ પૂર્ણાંક હોવાથી તેનું વિચિહન મૂલ્ય sin θ થશે, જ્યારે ત્રીજા ચરણમાં છે, જ્યાં cosine વિધેય ઋણ કિંમતો લે છે; માટે 

ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણાકાર માટેનાં સૂત્રો :

2 Sin α Cos β = Sin (α+β) + Sin (α–β);

2 Cos α Sin β = Sin (α+β) – Sin (α–β);

2 Cos α Cos β = Cos (α+β) + Cos (α–β);

2 Sin α Sin β = Cos (α–β) – Cos (α+β).

ગુણિત (multiple) અને ઉપગુણિત (submultiple) સંખ્યાઓનાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટેનાં સૂત્રો : Sin 2 θ = 2 Sin θ cos θ; cos 2 θ =  cos² θ – Sin² : θ = 2 Cos² θ – 1 = 1 – 2 Sin²θ; Sin2θ  = ; Cos2θ =

અને tan 2 θ =

 Sin 3 θ = 3 Sin θ – 4 Sin³θ; Cos 3 θ = 4Cos³θ = 3 Cosθ; અને tan 3 θ=

ત્રિકોણના ઉકેલ માટેનાં સૂત્રો : Δ ABCની બાજુઓ AB, BC અને CAને અનુક્રમે c, a અને b વડે અને અંત:ત્રિજ્યા તથા પરિત્રિજ્યાને અનુક્રમે r અને R વડે દર્શાવતાં, Sine સૂત્ર :

ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો : અનેક-એક સંગતતાવાળાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયો એક – એક અને વ્યાપ્ત બને તે રીતે તેમનો પ્રદેશ મર્યાદિત કરવાથી તેમનાં પ્રતિવિધેય મળે છે. આ માટે Sine, cosine અને tangent વિધેયના પ્રદેશ અનુક્રમે

[ ] પૂરતા મર્યાદિત કરીને

અને

લેતાં Sin^–1 (Sinx) = Sin^–1 y = x અને sin (sin^–1 y) = Sin x = y થાય. એથી Sin^–1 એ Sine વિધેયનું પ્રતિવિધેય (inverse function) થાય. એ જ પ્રમાણે cos^–1 અને tan^–1 અનુક્રમે કોટિજ્યા અને સ્પર્શજ્યા વિધેયનાં પ્રતિવિધેયો છે અને તેમને અનુક્રમે પ્રતિજ્યા (sine inverse) પ્રતિકોટિજ્યા (cosine inverse) અને પ્રતિ-સ્પર્શજ્યા (tangent inverse) — એમ વંચાય છે.

ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટકો : ગણતરીની સરળતા ખાતર 0° થી 90° માટેનાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં મૂલ્યો દર્શાવતાં  કોષ્ટકો બનાવવામાં આવે છે. તેમાં દરેક અંશના 60મા ભાગ (1 મિનિટ) સુધીની સંખ્યાઓ માટે દશાંશનાં ચાર સ્થાન સુધીનાં મૂલ્યો આપવામાં આવે છે. આમ 0° થી 90°માંની કોઈ પણ સંખ્યા, જેવી કે 34° 56´ માટેનાં મૂલ્યો મળી શકે. આ સિવાયની કિંમતો માટેનાં મૂલ્યો ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોના આધારે આ જ કોષ્ટક પરથી મળી શકે; જેમ કે, sin (124° 32’) = Sin (90° + 34° 32’) = Cos (34° 32’), જે કોષ્ટકમાંથી મળી શકે.

ત્રિકોણમિતિ ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં : ત્રિકોણમિતીય વિધેયો  સંકર સંખ્યા (complex number)ના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે. કોઈ પણ સંકર સંખ્યા z = x + iy (x, y ∈ IR)ને x = r cos θ, y = r sin θ લઈને z  = r (cos θ + isin θ), એમ દર્શાવી શકાય. આને સંકર સંખ્યાનું ત્રિકોણમિતીય સ્વરૂપ કે ધ્રુવીય(polar) સ્વરૂપ કહે છે. તેને પરિણામે સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકાર,  ઘાત અને n ભિન્ન, nમાં મૂળ અંગેનાં નીચેનાં પરિણામો મળે છે :

r₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) r₂ (cos θ₂ + isin θ₂) = r₁, r₂

[cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)];

દમોવ્રેનું પ્રમેય : [r (cos θ + isin θ)]ⁿ =

વાસ્તવિક વિધેયો(real-valued functions)નાં Sine તથા Cosine વિધેયોની મદદથી વિસ્તરણ મળી શકે છે. આ વિસ્તરણ-શ્રેઢી (ફૂરયા) શ્રેઢી તરીકે ઓળખાય છે. f ઉપરની અમુક શરત હેઠળ (f[–p, p] પર લબેગ (Lebegue) સંકલનીય હોય) f માટેની અનંત ફૂરિયા શ્રેઢી

 (– π  ≤ x ≤ π) મળે છે.

ગોલીય ત્રિકોણમિતિ (spherical trigonometry) : ભૂગોળ અને ખગોળના અભ્યાસ માટે ગોલક પરની ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિનો પણ ઉદભવ થયો. હીપાર્કસે તેનો પાયો નાખ્યો અને મેનેલોસ તથા ટૉલેમીએ તે મજબૂત કર્યો. લગભગ 16મી સદીની આખરથી તેનો વ્યવસ્થિત વિકાસ થયો. તેમાં વીએટા, ઑઇલર અને લાગ્રાન્જ વગેરેનો ફાળો અગત્યનો છે.

ગોલકનો કોઈ પણ સમતલ સાથેનો  છેદ એક વર્તુળ છે. જો સમતલ ગોલકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય તો છેદના વર્તુળને ગુરુવૃત્ત અને નહિતર લઘુવૃત્ત કહે છે. ગુરુવૃત્ત પર ગોલકના કોઈ પણ બે બિંદુઓ લેતાં ગુરુવૃત્તની બે ચાપ મળે. પ્રણાલિકાનુસાર તેમાંની નાનીને ગુરુવૃત્તની ચાપ તરીકે લેવાય છે. ગોલક પરનાં કોઈ પણ બે ભિન્ન બિંદુઓ A અને B એક અનન્ય ગુરુવૃત્ત નિશ્ચિત કરે (જે ગોલકના કેન્દ્ર O અને બિંદુઓ A તથા B વડે નિશ્ચિત થતા અનન્ય સમતલનો ગોલક સાથેનો છેદ લેતાં મળે). તેથી ગોલક પરનાં કોઈ પણ બે ભિન્ન બિંદુઓ વડે એક અનન્ય ગુરુવૃત્ત ચાપ મળે. ગોલક પરના કોઈ બિંદુ A આગળના  અને  વચ્ચેના ખૂણા માટે સમતલ AOB તથા સમતલ AOCમાં અનુક્રમે  અને  ને A આગળ સ્પર્શકો લઈએ. આ બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો તે  અને  વચ્ચેનો ખૂણો કહેવાય છે. ગોલક ઉપર કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ A, B અને C હોય તો ગુરુવૃત્તની ચાપ ,  અને ના યોગને ગોલીય ત્રિકોણ ABC કહે છે. ,  અને   ને ત્રિકોણની બાજુઓ અને બબ્બે ચાપ વચ્ચેના ખૂણાઓને ત્રિકોણના ખૂણાઓ કહેવાય છે (આકૃતિ 6 અને 7), ત્રિકોણની બાજુઓ રેખાખંડ નથી, પણ ગુરુવૃત્તની ચાપ છે.

પરંતુ એક જ ગોલક પરની ચાપ માટે ચાપલંબાઈ તેણે ગોલક કેન્દ્ર પર આંતરેલા ખૂણાના પ્રમાણમાં છે. આથી ગોલીય ત્રિકોણની બાજુઓને, તે એક જ ગોલક પર આવેલી હોવાથી, કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાની મદદથી વ્યક્ત કરી શકાય.

ગોલીય ત્રિકોણના ત્રણે ખૂણાઓ અને ત્રણે બાજુઓનાં માપ મળતાં sine, cosine વગેરે ત્રિકોણમિતીય વિધેયો હેઠળની તેમની કિંમતો મેળવી શકાય. તેમની વચ્ચેના જુદા જુદા સંબંધો ગોલીય ત્રિકોણના ઉકેલમાં ખૂબ ઉપયોગી થાય છે. આ સંબંધો સૂત્ર સ્વરૂપે મળે છે. ગોલીય ત્રિકોણ ABCના ખૂણાઓને A,B અને C વડે તથા બાજુ BC, CA અને ABને અનુક્રમે a, b અને c વડે દર્શાવીએ તો,

(i) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A અથવા

એમ (ત્રણ બાજુઓ અને એક ખૂણાને વાપરીને) કુલ ત્રણ સૂત્રો મળે.

(iii) cot a sin b = cot A sin C + cos b cos C – એમ (બે બાજુઓ, એક અંતર્ગત ખૂણો અને એક બીજા ખૂણાને વાપરીને) કુલ છ સૂત્રો મળે.

(iv) cos A = –cos B cos C + sin B sin C cos a – એમ (ત્રણ ખૂણાઓ અને એક બાજુને વાપરીને) કુલ ત્રણ સૂત્રો મળે.

હેમાંગિની વસાવડા