ત્રિકોણ

ત્રિકોણ (triangle) : ત્રણ ભિન્ન અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી અને પરસ્પર છેદતી રેખાઓનાં છેદનબિંદુઓથી મળતા રેખાખંડોથી બનતી આકૃતિ. છેદબિંદુઓને ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુ (vertex) કહે છે. સમતલ પર આવેલા ત્રિકોણને સમતલ ત્રિકોણ અને ગોલક પર આવેલા ત્રિકોણને  ગોલીય (spherical) ત્રિકોણ કહે છે.

સમતલ ત્રિકોણો : સમતલ પરના ત્રણ ભિન્ન અસમરેખ બિંદુઓ A,B અને C હોય તો રેખાખંડ AB, BC અને CAથી બનતી આકૃતિને સમતલ ત્રિકોણ ABC કહે છે. સંકેતમાં તેને Δ ABC થી દર્શાવાય છે. Δ ABCમાં A,B,Cને ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ; AB, BC અને CA રેખાખંડને ત્રિકોણની બાજુઓ અને ∠ABC, ∠BCA અને ∠CABને ત્રિકોણ ABCના અંતર્ગત ખૂણાઓ કહે છે. આમ કોઈ પણ ત્રિકોણને ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ ખૂણાઓ મળી કુલ છ અંગો હોય છે.

ત્રિકોણોનું વર્ગીકરણ : બાજુઓ અને ખૂણાઓના આધારે ત્રિકોણોનું વર્ગીકરણ કરવામાં આવે છે. બાજુઓને આધારે વર્ગીકરણ : જે ત્રિકોણની ત્રણે બાજુઓ સમાન હોય તે ત્રિકોણને સમબાજુ (equilateral) ત્રિકોણ કહે છે (આકૃતિ 1c). જે ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન હોય તે ત્રિકોણને સમદ્વિબાજુ (isoscles) ત્રિકોણ કહે છે (આકૃતિ 1b). જે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓ સમાન ન હોય તે ત્રિકોણને વિષમબાજુ (scalene) ત્રિકોણ કહે છે (આકૃતિ 1a).

ખૂણાઓના આધારે વર્ગીકરણ : જે ત્રિકોણમાં એક ખૂણો કાટખૂણો (90°) હોય તે ત્રિકોણને કાટખૂણ અથવા લંબકોણ (right angle) ત્રિકોણ કહે છે (આકૃતિ 1d).

જે ત્રિકોણમાં એક ખૂણો 90°થી મોટો પણ 180°થી નાનો હોય તે ત્રિકોણને ગુરુ (obtuse) કોણ ત્રિકોણ કહે છે [આકૃતિ 1 (a)]. જે ત્રિકોણમાં દરેક ખૂણો 90°થી ઓછો હોય તે ત્રિકોણને લઘુ (acute) કોણ ત્રિકોણ કહે છે. (આકૃતિ 1 (b), (c)), જે બે ત્રિકોણોમાં ત્રણે ખૂણાઓ સમાન હોય તે ત્રિકોણોને સમકોણ (equiangular) ત્રિકોણ કહે છે. કાટખૂણ ત્રિકોણમાં કાટખૂણ સામેની બાજુને કર્ણ (hypotenuse) કહે છે (આકૃતિ 1 (d)), તેમાં કાટખૂણો રચતી ત્રિકોણની બે બાજુના વર્ગનો સરવાળો કર્ણના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે, જે પાયથાગોરાસનો પ્રમેય છે.

 એકરૂપ ત્રિકોણો (congruent triangles) : બે સમતલીય ત્રિકોણો સમાન હોવાની શરતો : (1) એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને અંતર્ગત ખૂણો બીજા ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને અંતર્ગત ખૂણા સાથે સમાન થાય તો તે બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે. (ii) એક ત્રિકોણના બે ખૂણા અને અંતર્ગત બાજુ બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા અને અંતર્ગત બાજુ સાથે સમાન થાય તો તે બે ત્રિકોણો એકરૂપ છે. (iii) એક ત્રિકોણના બે ખૂણા અને અંતર્ગત નહિ એવી બાજુ બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણા અને અંતર્ગત નહિ એવી બાજુ સાથે સમાન થાય તો તે બે ત્રિકોણો એકરૂપ છે. (iv) એક ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ  બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ ત્રણ બાજુઓને સમાન થાય તો બે ત્રિકોણો એકરૂપ છે. (v) બે લંબકોણ ત્રિકોણમાં એક ત્રિકોણનો કર્ણ અને એક બાજુ બીજા ત્રિકોણના કર્ણ અને એક બાજુ સાથે સમાન હોય તો તે બે ત્રિકોણો એકરૂપ છે.

સમરૂપ ત્રિકોણો : (similar triangles) બે ત્રિકોણો સમરૂપ હોવા માટેની શરતો : (i) એક ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓ બીજા ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓને સમાન હોય તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે. (ii) એક ત્રિકોણના બે ખૂણાઓ બીજા ત્રિકોણના બે ખૂણાઓને સમાન હોય તો તે બે ત્રિકોણ સમરૂપ છે. (iii) એક ત્રિકોણમાં બે બાજુઓ અને બીજા ત્રિકોણની બે બાજુઓ સપ્રમાણમાં હોય અને અંતર્ગત ખૂણાઓ  સમાન હોય તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે. (iv) બે ત્રિકોણમાં અનુરૂપ બાજુઓ સપ્રમાણમાં હોય તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે.

ગોલીય ત્રિકોણ (spherical triangle) : ગોલકના પૃષ્ઠ પરનાં ત્રણ ગુરુવૃત્તોની ચાપથી રચાયેલી આકૃતિને ગોલીય ત્રિકોણ કહે છે. આકૃતિ 2(a) બબ્બે ચાપોનાં છેદનબિંદુઓને ગોલીય ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ કહે છે. આકૃતિ 2માં ABC ગોલીય ત્રિકોણ છે 2(b). ચાપો AB, BC અને CAને ગોલીય ત્રિકોણની બાજુઓ કહે છે, ∠CAB, ∠ABC અને ∠BCA ને ગોલીય ત્રિકોણના ખૂણાઓ કહે છે. ગોલીય ત્રિકોણને ત્રણ બાજુઓ અને ત્રણ ખૂણાઓ મળી કુલ છ અંગો હોય છે. ગોલીય ત્રિકોણમાં (a) એક ખૂણો 90° હોય તેને લંબભુજ (b) બે ખૂણાઓ 90° હોય તેને દ્વિલંબકોણીય (birectangular) અને (c) ત્રણ ખૂણાઓ 90° હોય તેને ત્રિ-લંબકોણીય (trirectangular) ત્રિકોણો કહે છે.

ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધ : કોઈ પણ ત્રિકોણની બે બાજુની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતાં વધારે હોય છે. ત્રિકોણમાં ખૂણા નાનામોટા હોય તો મોટા ખૂણા સામેની બાજુ મોટી  હોય છે. ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોય છે. Δ ABC માટે A,B,C ત્રિકોણના ખૂણાઓનાં માપ; અને a,b,c, એ અનુક્રમે ખૂણા A,B,C સામેની બાજુઓનાં માપ હોય તો  ને સાઇનસૂત્ર, a² = b² + c² – 2bc Cos A વગેરે ને કોસાઈન સૂત્ર, a = b Cos C + c Cos B વગેરેને પ્રક્ષેપ સૂત્ર કહે છે. જે ત્રિકોણના ખૂણા અને બાજુઓ વચ્ચેના સંબંધ દર્શાવતાં ત્રિકોણમિતીય સૂત્રો છે.

સંગામી રેખાઓ (concurrent lines) : ત્રણ કે તેથી વધુ રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય તો તે રેખાઓને સંગામી રેખાઓ કહે છે અને સામાન્યબિંદુને સંગમબિંદુ (point of concurrence) કહે છે. ત્રિકોણનાં વિવિધ સંગમબિંદુઓ : ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના સંગમબિંદુને ત્રિકોણનું અંત:કેન્દ્ર (incentre) કહે છે. અંત:કેન્દ્ર પરથી બાજુઓ પર દોરેલા લંબને ત્રિજ્યા તરીકે લઈ દોરેલું વર્તુળ ત્રિકોણની બાજુઓને સ્પર્શે છે. આ વર્તુળને અંત:વૃત્ત (incircle) કહે છે. ત્રિકોણની ત્રણે બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોના સંગમબિંદુને ત્રિકોણનું  પરિકેન્દ્ર (circumcentre) કહે છે; પરિકેન્દ્ર ત્રિકોણના ત્રણે શિરોબિંદુથી સરખે અંતરે હોય છે. આ અંતરને પરિત્રિજ્યા (circum radius) કહે છે. ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળને ત્રિકોણનું પરિવૃત્ત (circum circle) કહે છે. ત્રિકોણની બાજુના મધ્યબિંદુને તે બાજુની સામેના શિરોબિંદુ સાથે જોડતા રેખાખંડને મધ્યગા (median) કહે છે. ત્રિકોણની ત્રણે મધ્યગાઓના સંગમબિંદુને મધ્યકેન્દ્ર (centroid) કહે છે. મધ્યબિંદુ મધ્યગાનું ત્રિભાગબિંદુ છે અને મધ્યગાને શિરોબિંદુથી 2:1માં વિભાગે છે. ત્રિકોણના ત્રણે વેધો(altitude)ના સંગમબિંદુને ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર (orthocentre) કહે છે. નવબિંદુ પ્રમેય, કેવાનું પ્રમેય, મેનેલોસનું પ્રમેય વગેરે ત્રિકોણનાં જાણીતાં પ્રમેય છે.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (area) : ત્રિકોણાકારે આવરેલા ક્ષેત્રને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કહે છે. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનાં વિવિધ સૂત્રો નીચે મુજબ છે : ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને D સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે(આકૃતિ 3).

        (1)    Δ = ½ (પાયો x વેધ)

                Δ ABC = ½ (BC.AP)

                = – BC.AC Sin C (આકૃતિ 3)

Δ ABC = ½ a b Sin C = ½ b c Sin A = ½ c a Sin B

ખેતર કે જમીનના પ્લૉટના ક્ષેત્રફળને ત્રિકોણોમાં વહેંચી નાંખવામાં આવે છે. આવા ત્રિકોણોની બાજુઓની લંબાઈ માપી સૂત્ર (3) કે (4)નો ઉપયોગ કરી ખેતર કે પ્લૉટનું ક્ષેત્રફળ મેળવી શકાય છે. સર્વેક્ષણ કરનારા આ રીતનો ઉપયોગ કરે છે. વૃક્ષોની ઊંચાઈ, નદીની પહોળાઈ, દરિયાની સપાટી પરનાં બે વહાણો વચ્ચેનું અંતર, ઊડતા વિમાનની ઊંચાઈ વગેરે શોધવામાં ત્રિકોણ અને ત્રિકોણમિતિનું જ્ઞાન મદદરૂપ બને છે.

રમેશચંદ્ર ના. દેસાઈ