เชเซเชจเซเชธเชฐ
January, 2014
เชเซเชจเซเชธเชฐ : เชเช เชฏเชพเชฎเชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเชพย เชฏเชพเชฎเชเชฃเซ (set of co-ordinates)เชจเซเช เชฌเซเชเซ เชฏเชพเชฎเชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเชพ เชฏเชพเชฎเชเชฃเซเชฎเชพเช เชฐเซเชชเชพเชเชคเชฐ เชเชฐเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เชฐเซเชชเชพเชเชคเชฐ เชธเชพเชฅเซ เชธเชเชเชณเชพเชฏเซเชฒเซ เช เชฎเซเชฐเซเชค เชตเชฟเชญเชพเชตเชจเชพ เชคเซ เชชเซเชฐเชฆเชฟเชถ.
Rn เช n-เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเซ เช เชตเชเชพเชถ เชเซ เช เชจเซ R เชฌเชงเซ เช เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชเชฃ เชเซ. x1, x2, …., xn เช Rn เชฌเชฟเชเชฆเซเชจเชพ เชฏเชพเชฎ เชเซ.
n เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ = ฮฆi (x1, x2, …, xn), i = 1, 2, …, n …(1) เชฒเชเช. ฮฆi เช เชฏเชพเชฎเซเชจเชพ เชธเชคเชค เช เชจเซ เชตเชฟเชเชฒเชจเซเชฏ เชตเชฟเชงเซเชฏเซ เชเซ. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซ (1) เชฏเชพเชฎเชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ (change of co-ordinates) เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ, เชฏเชพเชฎเชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ (1)เชจเซเช เชตเซเชฏเชธเซเชค เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ (inverse transformation)
เชชเชฃ เช เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ เชเซ.
(i) เชธเชพเชเชเซเชคเชฟเช เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ : เชเซเชฏเชพเชฐเซ เช เชจเซเช (suffix) เชเซเช เชชเชฆเชฎเชพเช เชเช เชตเชเชค เชเชตเซ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เชชเซเชฐเชเชฒเชฟเชค เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช เชจเซเชธเชพเชฐ เชคเซ เช เชจเซเช เชถเชเซเชฏ เชคเซเชเชฒเซ เชฌเชงเซ เช เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชฒเซ เชเซ.
n เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซ (1) เชจเซ ย เชตเชกเซ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ.
(ii) เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ-เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ : เชเซ เชเซเช เชเช เช เชจเซเช เชเซเช เชชเชฃ เชชเชฆเชฎเชพเช, เชเช เชตเชพเชฐ เชจเชฟเชฎเซเชจเชพเชเช (subscript) เชคเชฐเซเชเซ เช เชจเซ เชเช เชตเชพเชฐ เชเชฐเซเชงเซเชตเชพเชเช (superscript) เชคเชฐเซเชเซ เชเชตเซ เชคเซ เชคเซ เช เชจเซเชเชจเซ เชฌเชงเซ เช เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชฎเชพเชเซ เชคเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ เชเซ. เช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ-เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เชฆเชพ.เชค., ย เชเชฎ เชชเชฃ เชฒเชเชพเชฏ เชเซ. เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชคเชพ เช เชจเซเชเชจเซ เชฎเซเช เช เชจเซเช (silent suffix) เชเชนเซ เชเซ.
เชเซเชฐเซเชจเซเชเชฐ–เชกเซเชฒเซเชเชพ : เชเซเชฐเซเชจเซเชเชฐ-เชกเซเชฒเซเชเชพ, ฮดij (เช เชฅเชตเชพ ฮดij)เชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชจเซเชเซ เชฎเซเชเชฌ เชเซ :
ฮดij = 1 เชเซ i = j เช เชจเซ dijย = 0 เชเซ i เชฆ j. เชธเซเชชเชทเซเช เชเซ เชเซ
ฮดijย Aj = Ai, ฮดiiย = n เชเซ i = 1, 2, …, n.
เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ (Contravariant) เช เชจเซ เชธเชนเชเชฒ (Covariant) เชธเชฆเชฟเชถเซ :
เชเซ n เชฏเชพเชฎเซ xi เชจเชพ n-เชตเชฟเชงเซเชฏเซ Ai เชฏเชพเชฎเชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจเชจเซ เชจเชฟเชฏเชฎ ย เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ เชชเชพเชฎเชคเชพ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ(components) เชเชนเซ เชเซ. เช เชนเซเช Ai เช เชฏเชพเชฎ ย เชจเชพ เชธเชเชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช เชธเชเชเชเชเซ เชเซ.
เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเซ : เชเซ n ยญ เชฏเชพเชฎเซ xi เชจเชพ n เชตเชฟเชงเซเชฏเซ Bj เชฏเชพเชฎ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎ ย เชจเชฟเชฏเชฎ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ เชชเชพเชฎเชคเชพ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเชนเซ เชเซ. เช เชนเซเชย ย เช เชฏเชพเชฎ ย เชจเชพ เชธเชเชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช เชธเชเชเชเชเซ เชเซ.
เชจเชฟเชถเซเชเชฒ (invariant) : เชเซ n เชฏเชพเชฎเซ xiเชจเซเช เชเชฎเซ เชคเซ เชตเชฟเชงเซเชฏ I เชเชตเซเช เชนเซเชฏ เชเซ เชเซเชฅเซ I = ย เชฅเชพเชฏ เชคเซ เชคเซเชจเซ เชจเชฟเชถเซเชเชฒ เชเชนเซ เชเซ เชเซเชฏเชพเช ย เช I เชจเซเช เชจเชตเชพ เชฏเชพเชฎ เชฎเชพเช เชฎเซเชฒเซเชฏ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ เชเซ; เชฆเชพ.เชค., เชเซ Ai เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชนเซเชฏ เช เชจเซ Bi เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชนเซเชฏ เชคเซ Ai Bi เชจเชฟเชถเซเชเชฒ เชเซ.
2ยญเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ : เชเซ n ยญ เชฏเชพเชฎเซ xi เชจเชพ n2 เชตเชฟเชงเซเชฏเซ Aij เชฏเชพเชฎ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจเชจเชพ
เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ เชชเชพเชฎเชคเชพ เชนเซเชฏ, เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ ย 2ยญเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เช เชนเซเชเชธเชเชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช เชธเชเชเชเชเซ เชเซ. เชคเซเชตเซ เช เชฐเซเชคเซ เชเซย n-เชฏเชพเชฎเซ xiเชจเชพ n2 เชตเชฟเชงเซเชฏเซ Bij เชฏเชพเชฎ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎ เชชเชพเชฒเชจ เชเชฐเชคเชพ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ 2ยญเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชธเชนเชเชฒ-เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เชตเชงเซเชฎเชพเช, เชเซ n เชฏเชพเชฎเซ xiเชจเชพ n2 เชตเชฟเชงเซเชฏเซ Cij เชฏเชพเชฎ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจเชจเชพ เชจเชฟเชฏเชฎ ย เชจเซเช เชชเชพเชฒเชจ เชเชฐเชคเชพ เชนเซเชฏ, เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ 2ยญเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐ- เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ.
เชเชเซเช เชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐย : เชเซ n เชฏเชพเชฎเซ xi เชจเชพ ns + p เชตเชฟเชงเซเชฏเซ ย เชฏเชพเชฎ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ
เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ เชชเชพเชฎเชคเชพเช เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ (s + p) เชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เช เชนเซเช ย เช เชฏเชพเชฎ ย เชจเชพ เชธเชเชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช เชธเชเชเชเชเซ เชเซ. เช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ (s, p) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชชเชฃ เชเชนเซ เชเซ.
เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เช เชจเซ เชฌเชพเชฆเชฌเชพเชเซ : เชเช เช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเซ เชฌเชพเชฆเซเชฌเชพเชเซ เชฅเช เชถเชเซ เชเซ, เชเซเชจเซ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ เชคเซ เช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชฎเชณเซ เชเซ. เชเช เช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชเช เชเชฐเชคเชพเช เชตเชงเชพเชฐเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชฆเชฐเซเช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เช เชจเซเชฐเซเชช เชธเชเชเชเชเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชตเชพเชฅเซ เชฎเชณเซ เชเซ. เชฌเซ-เชคเซเชฐเชฃ เชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ.
เชธเซเชชเชทเซเช เชเซ เชเซย เชชเชฃ เชคเซเชฐเชฃ-เชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ.
เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซเช เชฌเชนเชฟเชฐเซเชเซเชฃเชจ (external product) :
เช เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ (r, s) เช เชจเซ (rโ, sโ) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ. เชคเซเชฎเชจเชพ เชฌเชนเชฟเชฐเซเชเซเชฃเชจเชฅเซ (r + rโ, s + sโ) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชฎเชณเซ เชเซ, เชเซเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ.
เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพ (symmetry) เช เชจเซ เชตเชฟเชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพ (anti-symmetry) : 2ยญเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชธเชนเชเชฒ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ Aij เชเซ, เชเซ Aij = Aji เชฅเชพเชฏ เชคเซ เช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชธเชเชฎเชฟเชค เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ เช เชจเซ เชเซ Aij = ยญ Aji เชฅเชพเชฏ เชคเซ เช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชตเชฟเชธเชเชฎเชฟเชค เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. เชเซ 2-เชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ Bij เชนเซเชฏ เชคเซเชฎเช Bij = Bji เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชนเซ เชเซ, เชชเชฐเชเชคเซ Bij = ยญ Bji เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชตเชฟเชธเชเชฎเชฟเชค เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชนเซ เชเซ. เช เช เชฐเซเชคเซ เชตเซเชฏเชพเชชเช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชฎเชพเชเซ เชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพ เช เชจเซ เชตเชฟเชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพเชจเชพ เชเซเชฏเชพเชฒเซ เชชเชฃ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ. เช เชเซเชฏเชพเชฒเซ เชฎเชฟเชถเซเชฐเชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชชเชฃ เชฒเชพเชเซ เชชเชกเซ เชเซ. เชชเชฐเชเชคเซ เชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพ เชเซ เชตเชฟเชธเชเชฎเชฟเชคเชคเชพ เชเช เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ (เชธเชนเชเชฒ เชเซ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ) เช เชจเซเชเซเชจเชพ เชธเชเชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช เช เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชเชฐเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ.
เชธเชเชเซเชเชจ (contraction) : เชธเชเชเซเชเชจ เช เชฎเซเชณ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชเชเซเชทเชพ 2 เชเชเซ เชเชฐเชตเชพเชจเซ เชเช เชชเซเชฐเชเซเชฐเชฟเชฏเชพ เชเซ. เชงเชพเชฐเซ เชเซ เช (2, 3) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชฎเชฟเชถเซเชฐ-เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ เชเซเชจเซ เชธเชนเชเชฒ เชเชเซเชทเชพ 3 เช เชจเซ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชเชเซเชทเชพ 2 เชเซ. เชคเซเชฎเชพเช เชเซ เชเช เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เช เชจเซเช เช เชจเซ เชเช เชธเชนเชเชฒย เช เชจเซเชเชจเซ เชธเชฐเชเชพ เชฎเซเชเซเช เชคเซ เชเซ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชฎเชณเซ เชคเซ เชเชชเซเชฒเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซเช เชธเชเชเซเชเชจ เชเซ; เชฆเชพ.เชค.,เชตเชเซเชฐเซ (1, 2) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ.
เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเซเช เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจ (inner product) : เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเชพ เชฌเชนเชฟเชฐเซเชเซเชฃเชจเชจเชพ เชเซเช เชชเชฃ เชธเชเชเซเชเชจเชจเซ เชคเซเชฎเชจเซเช เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจ เชเชนเซ เชเซ. เช เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ (1, 2) เช เชจเซ (2, 2) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐเชเซเชจเซเชธเชฐเซ เชเซ.ย เชตเชเซเชฐเซ เช เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเชพเช เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจเซ เชเซ. เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเซเช เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจ เชชเชฃ เชเช เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ เชคเซเชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ.
เช เชจเซเชฌเชฆเซเชง เชเซเชจเซเชธเชฐ (conjugate tensor) : gij เชเช เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ เช เชจเซ เชคเซเชจเซ เชจเชฟเชถเซเชเชพเชฏเช g = | gij | โ 0 เชเซ. เชเซ ย เชนเซเชฏ เชคเซ เชธเชฐเชณเชคเชพเชฅเซ เชเซเช เชถเชเชพเชฏ เชเซ เชเซ gij 2โเชเชเซเชทเชพเชจเซ เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ เช เชจเซ ย เชเซ. เชเซเชจเซเชธเชฐ gijเชจเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ gijเชจเซ เช เชจเซเชฌเชฆเซเชง เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชนเซ เชเซ.
เชเซเชฆ เชจเชฟเชฏเชฎ : เชเซ เชเซเช เชเช เช เชเชเชฟเชค เชฐเชพเชถเชฟ เช เชจเซ เชเชฎเซ เชคเซ เชเช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซเช เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซ เชฐเชพเชถเชฟ เชชเชฃ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ. เช เชจเชฟเชฏเชฎ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ.
เชฎเชพเชจ-เชเซเชจเซเชธเชฐ (metric tensor) : เชเซ เชฌเซ เชจเชเซเชเชจเชพเช เชฌเชฟเชเชฆเซเชเชจเชพ เชฏเชพเชฎ xi เช เชจเซ xi + dxi เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชตเชเซเชเซเชจเชพ เช เชเชคเชฐ ds เชจเซ เชธเซเชคเซเชฐ
ds2 = gij dxi dxj เชตเชกเซ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. gij เช เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ เช เชจเซ |gij| โ ย 0 เชเซ. เช เชนเซเช dxi เช เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ. เช เชเชคเชฐ เชธเชนเชฟเชคเชจเชพ เชเชตเชพ เช เชตเชเชพเชถเชจเซ เชฐเซเชฎเชพเชจเซเชฏ เช เชตเชเชพเชถ เชเชนเซ เชเซ. เชเซเชจเซเชธเชฐ gij เชจเซ เชฎเชพเชจ-เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชนเซ เชเซ. เชฎเชพเชจ-เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชเซเชฏเชพเชฒ เชญเซเชฎเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช เชฎเชนเชคเซเชตเชจเซ เชญเชพเช เชญเชเชตเซ เชเซ. ds2 เชงเชจ เช เชนเซเชฏ เชคเซเชตเซเช เชเชฐเซเชฐเซ เชจเชฅเซ; เชฆเชพ.เชค., เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเช เชธเชพเชชเซเชเซเชทเชตเชพเชฆเชฎเชพเช เชเชตเชคเชพ เช เชเชคเชฐเชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช ds2 เชงเชจ, เชเชฃ เชเซ เชถเซเชจเซเชฏ เชนเซเช เชถเชเซ เชเซ เชคเซเชฅเซ ds2เชจเซ เชนเชเชฎเซเชถเชพเช เชงเชจ เชฐเชพเชเชตเชพ เชฎเชพเชเซ ds2 = e gij dxidxj เชฒเชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. เช เชนเซเช e เชฆเชฐเซเชถเช เชเซ เช เชจเซ เชคเซเชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค +1 เช เชฅเชตเชพ โ1 เชฅเช เชถเชเซ เชเซ. เชเซเชฅเซ ds2 เชงเชจ เช เชฅเชพเชฏ.
เชธเชฆเชฟเชถเชจเซเช เชฎเชพเชจ (dimension of vector) : เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถ Aiเชจเซเช เชฎเชพเชจ A เชเซ. Aเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ A2 = egijAiAj เชตเชกเซ เชเชชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. e = ย ยฑ 1 เชเชตเซ เชฐเซเชคเซ เชฒเซเชตเซเช เชเซ เชเซเชฅเซ A เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชฐเชนเซ. เชคเซเชตเซ เช เชฐเซเชคเซ เชธเซเชคเซเชฐ B2 = egijBiBj เชตเชกเซ เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถ Biเชจเซเช เชฎเชพเชจ B เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ. เชเซ เชธเชฆเชฟเชถเชจเซเช เชฎเชพเชจ เชเช เชนเซเชฏ เชคเซเชจเซ เชเชเชฎ เชธเชฆเชฟเชถ เชเชนเซ เชเซ เช เชจเซ เชเซ เชธเชฆเชฟเชถเชจเซเช เชฎเชพเชจ เชถเซเชจเซเชฏ เชนเซเชฏ เชคเซเชจเซ เชถเซเชจเซเชฏ เชธเชฆเชฟเชถ เชเชนเซ เชเซ.
เชเซ ฮปi เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชนเซเชฏ เชคเซ ฮปi = gijฮปi เชตเชกเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฏเชฟเชค ฮปi เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ. เชเชชเชฐเชจเชพ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเชฎเชพเชเชฅเซ ฮปk = gkiฮปi เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชชเชฃ เชฎเซเชณเชตเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ, เชเชฎ ฮปi เชฎเชพเชเชฅเซ ฮปi เช เชจเซ ฮปi เชฎเชพเชเชฅเซ ฮปi เชฎเซเชณเชตเชตเชพเชจเซ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชเซ. ฮปi เช เชจเซ ฮปi เชธเชเชเชเชเซเชตเชพเชณเชพ เชธเชฆเชฟเชถเซ เชฎเชพเชจ-เชเซเชจเซเชธเชฐ gij เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเชจเชพ เชเชเชฌเซเชเชพเชจเชพ เชธเชนเชเชพเชฐเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชนเซเชตเชพเชฏ เชเซ. ฮปiเชฎเชพเชเชฅเซ ฮปi เช เชจเซ ฮปi เชฎเชพเชเชฅเซ ฮปi เชฎเซเชณเชตเชตเชพเชจเซ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชเชจเซ เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ เช เชจเซเชเซเชจเซเช เช เชง:เชเชฐเชฃ เช เชจเซ เชเชฐเซเชงเซเชตเซเชเชฐเชฃ เชเชนเซ เชเซ. เช เชชเซเชฐเชเซเชฐเชฟเชฏเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชชเชฃ เชฒเชพเชเซ เชชเชพเชกเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ;
เชฆเชพ. เชค., ย เชตเชเซเชฐเซ.
เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชเชพเช : เชเซเช เชชเชฃ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซเช เชตเชฟเชเชฒเชจเชซเชณ เชเซเชจเซเชธเชฐ เช เชฅเชพเชฏ เชเชตเซเช เชจ เชชเชฃ เชนเซเชฏ. เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชเชตเชพ เชตเชฟเชเชฒเชจเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเซเชเช, เชเซเชฎเชพเช เชฎเชณเชคเซเช เชตเชฟเชเชฒเชจเชซเชณ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชฅเชพเชฏ. เชคเซ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชเชพเช เช เชเชคเซเชฏเชจเซ เชญเชพเช เชญเชเชตเซ เชเซ. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชเชพเช [ij, k].
เช เชจเซ
เชฌเซเชเชพ เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชฏเชพย
เช เชธเชเชเซเชเชพเช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชจเชฅเซ เชคเซ เชธเชฐเชณเชคเชพเชฅเซ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ. เช เชฌเชเชจเซ เชธเชเชเซเชเชพเช i เช เชจเซ jเชฎเชพเช เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซ. เชตเชณเซ
เชธเชนเชเชฒ เชตเชฟเชเชฒเชจ (covariant differentiation) : ฮปi เชเซเช เชชเซเชฐเชคเชฟเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ. ฮปiเชจเชพ เชธเชนเชเชฒ เชตเชฟเชเชฒเชจ ฮปi;
เชตเชกเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชเชชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. ฮปi;k เช (1,1) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเชพ เชฎเชฟเชถเซเชฐ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ เชคเซ เชเชเชพเชธเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ. เชเชฎ ฮปiเชจเซเช เชเชเชถเชฟเช เชตเชฟเชเชฒเชจเชซเชณ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชจเชฅเซ เชชเชฃ เชคเซเชจเซเช เชธเชนเชเชฒ-เชตเชฟเชเชฒเชจ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ.
เชตเชณเซ เชเซเช เชธเชนเชเชฒ เชธเชฆเชฟเชถเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ ฮผi เชฎเชพเชเซ เชธเชนเชเชฒ เชตเชฟเชเชฒเชจ ฮผi;kเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ เชตเชกเซ เชเชชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. ฮผi; k เช 2โเชเชเซเชทเชพเชจเชพ เชธเชนเชเชฒ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพ เชธเชเชเชเชเซ เชเซ เช เชธเชฐเชณเชคเชพเชฅเซ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ. เชเชชเชฐ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซเชฒเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเช เชเซเช เชชเชฃ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชฎเชพเชเซ เชตเชฟเชธเซเชคเชพเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ.
เชฆเชพ. เชค., ย เช (2, 1) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเช เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ. เชธเซเชชเชทเซเช เชเซ เชเซ
เช เช เชฐเซเชคเซ เชเซเช เชชเชฃ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซเช เชธเชนเชเชฒ เชตเชฟเชเชฒเชจ เชฅเช เชถเชเซ เชเซ. เชเชเชถเชฟเช เชตเชฟเชเชฒเชจ เชเซ เชจเชฟเชฏเชฎเซเชจเซเช เชชเชพเชฒเชจ เชเชฐเซ เชเซ เชคเซ เช เชจเชฟเชฏเชฎเซเชจเซเช เชชเชพเชฒเชจ เชฌเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเซเชจเชพ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพ,ย เชฌเชนเชฟเชฐเซเชเซเชฃเชจ เชเซ เช เชเชคเชฐเซเชเซเชฃเชจเชจเซเช เชธเชนเชเชฒ เชตเชฟเชเชฒเชจ เชชเชฃ เชเชฐเซ เชเซ.
เชฐเซเชฎเชพเชจโเชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชตเชเซเชฐเชคเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ (RiemannโChristofel curvature tensor) : เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชเชพเชเชจเซ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ เชฐเซเชฎเชพเชจ-เชตเชเซเชฐเชคเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ
เชฅเซ เชเชชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. เช เชนเซเช เช 4โเชเชเซเชทเชพเชจเซ เชเชเชฒเซ เชเซ (1, 3) เชชเซเชฐเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเซ. เชเชชเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฎเชพเชเชฅเซ เชซเชฒเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ เชจเชพ เชเซเชเชฒเชพเช เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ เชจเซเชเซ เชฎเซเชเชฌ เชเซ :
(i) Rrjnp = โ Rjrnp (ii) Rrjnp = โ Rrjpn
(iii) Rrjnp = Rnprjย (iv) Rrjnp + Rrnpj + Rrpjn = 0.
เชตเชเซเชฐเชคเชพ เชเซเชจเซเชธเชฐ
เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎเชจเซเช เชชเชพเชฒเชจ เชเชฐเซ เชเซ. เช เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎเชจเซ เชฌเชฟเชฏเชพเชจเชเซ-เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎ (Bianchi-Identity) เชเชนเซ เชเซ.
เชฐเชฟเชเซ (Ricci) เชเซเชจเซเชธเชฐ, เชตเชเซเชฐเชคเชพ–เชจเชฟเชถเซเชเชฒ เช เชจเซ เชเชเชจเซเชธเซเชเชพเชเชจ เชเซเชจเซเชธเชฐ : เชเชชเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพเชฎเชพเชเชฅเซ เชธเซเชชเชทเซเช เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ เช เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเชพเช เชคเซเชฐเชฃ เชเซเชฆเชพเช เชเซเชฆเชพเช เชธเชเชเซเชเชจเซ เชเซ. เชชเชฐเชเชคเซ เชเชชเชฐ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซเชฒเชพ เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซเชจเชพ เชเชชเชฏเซเชเชฅเซ เชเซเช เชถเชเชพเชถเซ เชเซ เชซเชเซเชค เชเช เช เชธเชเชเซเชเชจ ย เชฒเซเชตเซเช เชชเซเชฐเชคเซเช เชเซ.
เชฐเชฟเชเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ
เชเซเชฐเชฟเชธเซเชเซเชซเซเชฒ เชธเชเชเซเชเชพเชเชฎเชพเช เชฐเชฟเชเซ เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เช เชญเชฟเชตเซเชฏเชเซเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ.
เช เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเชฎเชพเชเชฅเซ เชเซเช เชถเชเชพเชถเซ เชเซ Rjn = Rnj เชเซ. เชเชฎ เชฐเชฟเชเซ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชธเชเชฎเชฟเชค เชเซ. เชตเชเซเชฐเชคเชพ-เชจเชฟเชถเซเชเชฒ Rเชจเซ เชตเซเชฏเชพเชเซเชฏเชพ R = gjn Rjn เชเซ. เชเซ เช เชตเชเชพเชถเชจเชพเช เชฌเชงเชพเช เชฌเชฟเชเชฆเซเชเช Rjl = Igik เชนเซเชฏ, เชคเซเชตเชพ เช เชตเชเชพเชถเชจเซ เชเชเชจเซเชธเซเชเชพเชเชจ-เช เชตเชเชพเชถ เชเชนเซ เชเซ. เช เชนเซเช I เชเช-เชจเชฟเชถเซเชเชฒ เชเซ.
เชเชเชจเซเชธเซเชเชพเชเชจ เชเซเชจเซเชธเชฐ เชตเชกเซ เชเชชเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. เช เชเซเชจเซเชธเชฐ เชเชเชจเซเชธเซเชเชพเชเชจเชจเชพ เชตเซเชฏเชพเชชเช เชธเชพเชชเซเชเซเชทเชคเชพเชตเชพเชฆเชฎเชพเช เชฎเชนเชคเซเชตเชชเซเชฐเซเชฃ เชญเชพเช เชญเชเชตเซ เชเซ. เชฌเชฟเชฏเชพเชจเชเซโเชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎเชจเซ เชเชชเชฏเซเช เชเชฐเซเชจเซ เชเซ เชเชฎ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชถเชเชพเชฏ เชเซ. เช เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชธเชพเชชเซเชเซเชทเชคเชพเชตเชพเชฆเชฎเชพเช เชเซเชฌ เช เช เชเชคเซเชฏเชจเซเช เชเซ. เชเซเชจเซเชธเชฐเชจเซ เชเชฃเชฟเชคเชจเซ เช เชจเซเชฏ เชถเชพเชเชพเชเชฎเชพเช เชคเซเชฎเช เชตเชฟเชเซเชเชพเชจเชจเซ เชเซเชเชฒเซเช เชถเชพเชเชพเชเชฎเชพเช เชชเชฃ เชเชชเชฏเซเช เชฅเชพเชฏ เชเซ.
เชฒเซเชฒเชพเชงเชฐ เชเซเชธเชพเชญเชพเช เชชเชเซเชฒ