જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia)

જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) : ચાકગતિ કરતા પદાર્થના દળ અથવા તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ભ્રમણાક્ષ(axis of rotation)ના સ્થાન સાથેનો સંબંધ. સ્થિતિકી(statics)માં અને ગતિકી(dynamics)માં કેટલાક કોયડાના ઉકેલ માટે અનુક્રમે ક્ષેત્રફળ અને દળની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ઉપયોગ થાય છે. ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા એટલે પ્રત્યેક કણના દળ અને ભ્રમણાક્ષથી લીધેલા લંબઅંતરના વર્ગના ગુણાકારોનો સરવાળો. અર્થાત્ કોઈ પણ પદાર્થના જડત્વની ચાકમાત્રા એટલે તેના નાના ઘટકોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો. ગણિતીય રીતે જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે પ્રમાણે દર્શાવાય છે :

જડત્વની ચાકમાત્રા I = m₁r₁² + m₂r₂² +… m_nr_n²

આથી,

જ્યાં m₁, m₂…. m_n ઘટક-કણનો દળ અને r₁, r₂… r_n આ કણનાં ભ્રમણાક્ષથી લંબઅંતર છે. તેનો cgs અને mks માપપદ્ધતિમાં એકમ, અનુક્રમે ગ્રામ.સેમી.² અને કિગ્રા.મીટર² છે.

જડત્વની ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય પદાર્થની ભ્રમણાક્ષના સ્થાન, દળ અને દળના વિતરણ ઉપર અવલંબિત છે. એક જ પદાર્થને જુદા જુદા અક્ષ ઉપર પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે તો અક્ષના સ્થાન સાથે Iનું મૂલ્ય બદલાય છે. કેટલાક નિયમિત આકારના પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર(centre of mass)માંથી પસાર થતા પરિભ્રમણાક્ષ ઉપર Iના મૂલ્ય માટેનાં સૂત્રો સારણી 1માં દર્શાવ્યાં છે.

સારણી–1

ક્રમાંક	નિયમિત પદાર્થનો આકાર	તેના પ્રાચલ	જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર
1	પાતળી વીંટી (ring)	દ્રવ્યમાન = M ત્રિજયા = R	I = MR2
2	જાડી વીંટી (annular ring)	દ્રવ્યમાન = M આંતરિક ત્રિજ્યા = R1 બહારની ત્રિજ્યા = R2
3	તકતી (disc)	દ્રવ્યમાન = M ત્રિજ્યા  = R
4	ઘન નળાકાર (solid cylinder)	દ્રવ્યમાન = M ત્રિજ્યા = R
5	લંબચોરસ પટ્ટી (rectangular strip)	દ્રવ્યમાન = M લંબાઈ = L પહોળાઈ = B
6	નક્કર ગોળો (solid sphere)	દ્રવ્યમાન = M ત્રિજ્યા = R

સુરેખ ગતિમાં પદાર્થનું દળ જે ભાગ ભજવે છે તેવો જ ભાગ ચાકગતિમાં જડત્વની ચાકમાત્રા ભજવે છે. સુરેખ ગતિ બળ(F)ને કારણે, જ્યારે ચાકગતિ બળયુગ્મ(torque τ)ને કારણે ઉદભવે છે. સુરેખ વેગ (v) અને પ્રવેગ(a)ને તુલ્યરૂપ અનુક્રમે કોણીય વેગ (ω) અને પ્રવેગ (α) છે. [અહીં τ (ટાઉ), ω (ઓમેગા), α (આલ્ફા), ગ્રીક મૂળાક્ષર છે.] સુરેખ ગતિની કેટલીક રાશિઓનાં તુલ્યરૂપ, ચાકગતિની રાશિ સારણી 2માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે :

સારણી–2
સુરેખ ગતિ	ચાક ગતિ
બળ F = ma	બળયુગ્મ (torque) τ  = Iα
સુરેખ વેગમાન P = mv	કોણીય વેગમાન L = Iω
સુરેખ ગતિ ઊર્જા E = ½mv2	ચાકગતિ ઊર્જા E = ½Iω2
સુરેખ ગતિજ ઊર્જા	ચાકગતિ ઊર્જા

 

x અને y અક્ષને અનુલક્ષી સમતલ સપાટી(ક્ષેત્રફળ)ની જડત્વની ચાકમાત્રા અનુક્રમે

અહીં  X  અને y, dA ક્ષેત્રફળ ધરાવતા અંશ(element)ના નિર્દેશાંકો છે. આ ક્ષેત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા છે જેનું આકૃતિ 1માં નિર્દેશન કરેલ છે.

V ઘનફળમાં દળનું સમાન રીતે વિતરણ થયેલું હોય તો  X- અક્ષને અનુલક્ષીને દળની જડત્વની ચાકમાત્રા.

અહીં dm, dV કદમાં રહેલું દળ છે અને તેના સ્થાન આગળ એકમ ઘનફળદીઠ દળ P છે. જુઓ આકૃતિ 2.

સમાંતર અક્ષનું પ્રમેય : કોઈ પણ અક્ષને અનુલક્ષી પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એટલે પદાર્થના મધ્યકેન્દ્ર(centroid)માંથી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષી જડત્વની ચાકમાત્રા અને આ બે અક્ષો વચ્ચેના અંતરના વર્ગ અને દળના ગુણાકારનો સરવાળો, એટલે કે જડત્વની ચાકમાત્રા I = I_c + MD²; અહીં I_C, મધ્યકેન્દ્રને અનુલક્ષી જડત્વની ચાકમાત્રા; M, પદાર્થનું દળ અને D બે અક્ષ વચ્ચેનું લંબઅંતર છે. આ સૂત્ર ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે મધ્યકેન્દ્રને અનુલક્ષી લીધેલી જડત્વની ચાકમાત્રા (I_C) એ કોઈ પણ સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને લીધેલી જડત્વની ચાકમાત્રા કરતાં ઓછી હોય છે.

લંબઅક્ષનું પ્રમેય : કોઈ પણ પદાર્થ માટે બે લંબ અક્ષને અનુલક્ષી જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો તે બંને અક્ષને લંબરૂપ અને તેમના છેદનબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રીજી અક્ષને અનુલક્ષી જડત્વની ચાકમાત્રાની બરાબર થાય છે, એટલે કે

I_z = I_x + I_y  થાય છે, જ્યાં I_x, I_y, I_z અનુક્રમે x, y, z અક્ષને અનુલક્ષીને લીધેલી જડત્વની ચાકમાત્રા છે.

પદાર્થ ઉપર બાહ્ય ટૉર્ક ન લાગે તો તેનું કુલ કોણીય વેગમાન (L = Iω) અચળ રહે છે. આથી પદાર્થ ઉપર ટૉર્કની ગેરહાજરીમાં, તેના દળનું વિતરણ બદલાય તો તે પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા (I) બદલાય છે, પરિણામે પદાર્થનો કોણીય વેગ (ω) બદલાય છે, આથી પદાર્થનો આવર્તકાળ બદલાય છે.

પૃથ્વીને નિયમિત ઘનતાવાળા નક્કર ગોળા તરીકે લઈએ તો પૃથ્વીની ધરી ઉપર તેની જડત્વની ચાકમાત્રા થાય છે. હવે, પૃથ્વીનું દળ અચળ રહે તે રીતે, તેનું સંકોચન થઈ તેની ત્રિજ્યા અડધી થઈ જાય અને તેના ઉપર બાહ્ય ટૉર્ક લાગતું નથી એમ સ્વીકારી લઈએ તો કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ ઉપરથી

આમ પરિભ્રમણનો નવો દર પૃથ્વીના સંકોચન પહેલાંના દર કરતાં 4 ગણો બને અને દિવસની લંબાઈ 4 ગણી ઓછી થવાથી દિવસ 6 કલાકનો બને.

તેથી ઊલટું, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા બમણી થાય તો દિવસની લંબાઈ 4 ગણી વધુ થવાથી 96 કલાક થાય.

હરગોવિંદ બે. પટેલ