ગાલ્વા, એવારીસ્ત

ગાલ્વા, એવારીસ્ત (જ. 25 ઑક્ટોબર 1811, બૂર-લા-રેન, પૅરિસ : અ. 31 મે, 1832, પૅરિસ) : વિખ્યાત ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી. તેમના પિતા નિકોલા ગ્રાબીએલ ગાલ્વા મેધાવી અને સ્વતંત્રતાના ચાહક હતા. અગિયાર વર્ષ સુધી તેમની માતાએ તેમના માટે ઘરઆંગણે સુંદર શિક્ષણ મળે તેવો પ્રબંધ કર્યો હતો. ગણિતમાં સારું શિક્ષણ મેળવવા માટે તે વખતે ફ્રાન્સની સુપ્રસિદ્ધ ઇકોલ પૉલિટૅક્નિક સંસ્થામાં પ્રવેશ મેળવવા તેમણે પ્રયત્ન કર્યો; પરંતુ પ્રવેશ માટેની મૌખિક પરીક્ષામાં પરીક્ષક સાથે થયેલી તીવ્ર બોલાચાલીને કારણે પ્રવેશ ન મળ્યો. આમ ગણિતશાસ્ત્રી તરીકેની ઉજ્જ્વળ કારકિર્દી ઘડવા માટે ઓછી તક જણાતાં ગાલ્વા ઓછી પ્રતિષ્ઠિત ગણાતી સંસ્થા રૉયલ-દ-લુઇસ-લ-ગ્રાન્દમાં જોડાયા. અહીં તેમને સામાન્ય કક્ષાના શિક્ષકો મળ્યા; પરંતુ તેમણે પોતાની મેળે એ. એમ. લઝાંદ્રના ભૂમિતિ પરના અને જે. એલ. લાગ્રાંઝના બીજગણિતના કાર્યનો સ્પષ્ટ પરિચય મેળવી વિષય પર પ્રભુત્વ મેળવી લીધું. આ રીતે ચૌદથી પંદર વર્ષની ઉંમરે ગાલ્વાએ સમીકરણોના સાંખ્યિક ઉકેલ, નિયમિત વિધેયના સિદ્ધાંતો, વિધેયોનું કલનગણિત (calculus of functions) જેવા ગહન વિષયોનો અભ્યાસ કરી લીધો. આ ઉંમરે પણ તે ગણિતની અટપટી ગણતરીઓ મનમાં કરી લેતા. ગાલ્વાએ પરંપરિત ખંડ (continued fractions) પરનું સંશોધનપત્ર પ્રસિદ્ધ કર્યું. ઉપરાંત અગાઉ કરેલું સંશોધનકાર્ય એકત્રિત કરીને પૅરિસ અકાદમીમાં રજૂ કરવા ગણિતજ્ઞ કૉશીને આપ્યું જે તેમણે ખોઈ નાખ્યું. એલ્બામાં તેમના પિતા મેયર હતા. તેમને રૂઢિચુસ્ત લોકો સાથે કડવા સંઘર્ષો થયા તેના કારણે તેમના પિતાએ આત્મહત્યા કરી જે ગાલ્વાના જીવનમાં બનેલી કરુણ ઘટના હતી.

નૉરમલ સુપીરિયર સંસ્થામાં ઉમેદવાર શિક્ષક તરીકે જોડાયા પછી પણ તેમનું સંશોધનકાર્ય ચાલુ જ રહ્યું. પણ તેમણે વિજ્ઞાન અકાદમીને સુપરત કરેલું સંશોધનપત્ર બી. જે. ફૂરિયે દ્વારા ખોવાઈ ગયું. આમ ઉપરાઉપરી થયેલા અન્યાયો, નિષ્ફળતા અને કરુણતાએ તેમના જીવનને કડવાશથી ભરી દીધું. ત્યાર બાદ લોકતંત્રની ચળવળ અને દેખાવોમાં તેમણે ઉગ્ર પ્રતિભાવો દર્શાવ્યા અને 1830ની ક્રાંતિ પછીનાં રમખાણોમાં ભાગ લીધો; આથી નૉરમલ સુપીરિયર સંસ્થામાંથી તેમને તાત્કાલિક છૂટા કરવામાં આવ્યા.

ઈ. સ. 1831માં સમીકરણોના ઉકેલમાં ‘ગાલ્વા પ્રમેય’ તરીકે પ્રચલિત થયેલું સંશોધનપત્ર વિજ્ઞાન અકાદમીને સુપરત કર્યું. તેના પરીક્ષક જે. એસ. ડી. પોયસાંએ અનવબોધ્ય (incomprehensible) હોવાની નોંધ કરી, વધારે વિગતવાર અને સુસ્પષ્ટ રીતે લખવાની સૂચનાઓ સાથે પરત કર્યું. આનો ગાલ્વાને કારમો આઘાત લાગ્યો. વળી ક્રાંતિમાં અગ્રેસર તરીકે ભાગ લીધો હોવાથી તેમને છ માસ જેલમાં જવું પડ્યું. 1832માં ફાટી નીકળેલા કૉલેરાના રોગચાળામાં તેમને પેરોલ પર છોડવામાં આવ્યા. તેમના કાર્યની યોગ્ય કદર ન થઈ તેનો તેમને જીવનભર વસવસો રહ્યો. પોતાનું કાર્ય નવેસરથી શરૂ કરવા પ્રયત્ન કર્યા. રાજકીય પ્રતિસ્પર્ધીઓએ તેમને દ્વંદ્વયુદ્ધ માટે લલકાર્યા. આ દ્વંદ્વયુદ્ધમાં તે સખત રીતે ઘવાયા અને હૉસ્પિટલમાં મૃત્યુ પામ્યા. મૃત્યુ અગાઉ તેમણે તેમની શાળાના શિક્ષક અને મિત્ર અગસ્ત એવેલિયરને ગણિતનાં પોતાનાં છેલ્લાં સંશોધનો અંગેનો પત્ર લખ્યો હતો; વિશ્લેષણમાં પોતે કરેલા સંશોધનકાર્ય અંગેની રૂપરેખા તેમાં આપી હતી. એટલું જ નહિ; પણ તે સમયના ખ્યાતનામ ગણિતજ્ઞો જેકોબી અને ગૉસનો આ સંશોધનની અગત્ય બાબત અભિપ્રાય લેવાની સલાહ પણ આપી હતી.

ઈ. સ. 1846માં ગણિતજ્ઞ જોસેફ લ્યુવિલે ગાલ્વાના સંશોધનકાર્યનું પ્રકાશન કર્યું. 1870માં ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી સી. જૉર્ડને ગાલ્વાના ક્ષેત્ર-સિદ્ધાંતનું વિગતવાર નિરૂપણ પ્રગટ કર્યું. આ પ્રકાશનો દ્વારા ગાલ્વાના સંશોધનકાર્યને પૂર્ણ સ્વીકૃતિ મળી અને ગણિતના ઇતિહાસમાં તેમને આગવું સ્થાન મળ્યું. પ્રાચીનકાળથી ગણિતજ્ઞોને બહુપદી સમીકરણ f(x) ≡ a₀ + a₁x + a₂x² + . . . . . + a_nxⁿ = 0નાં બીજો (roots) શોધવાની વિવિધ રીતોમાં રસ હતો; તેમાં કરણી દ્વારા બીજો મેળવવાની રીત ખાસ છે. ઈસુના જન્મના 1700 વર્ષ અગાઉ પણ લોકોને f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² = 0ને કરણી દ્વારા ઉકેલની રીત જ્ઞાત હતી. સોળમી સદીમાં ત્રિઘાત સમીકરણ માટે કાર્ડનની રીત, ચતુર્થ ઘાતના સમીકરણ માટે ફેરારીની રીત જેવી કરણી દ્વારા ઉકેલની રીતો મેળવવામાં આવી. ત્યાર બાદ ચાર કરતાં વધુ ઘાતના ખાસ કરીને પંચઘાત સમીકરણના કરણી દ્વારા ઉકેલ મેળવવા ગણિતજ્ઞોએ સઘન પ્રયત્ન કર્યા હતા. લાગ્રાંઝે તે અંગે સર્વગ્રાહી અભ્યાસ કર્યો. તેમણે પંચઘાત અને પાંચથી વધુ ઘાતવાળા સમીકરણ માટેની ઉકેલની રીતોને વ્યાપક સ્વરૂપ આપવા પ્રયત્ન કર્યા પરંતુ સફળતા મળી નહિ. પંચઘાતવાળા વ્યાપક સમીકરણનો કરણી દ્વારા ઉકેલ નથી એમ આબેલે સાબિત કર્યું. બીજગણિતમાં તેની વિશિષ્ટ પરિણામ તરીકે ગણના થાય છે. કોઈ પણ ઘાતવાળા સમીકરણના કરણી દ્વારા ઉકેલ માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત ગાલ્વાએ મેળવી. આ માટે તેમણે ક્ષેત્ર (field), ક્રમચય સમૂહ (permutation group), નિયત ઉપસમૂહ (normal subgroup) તથા ક્ષેત્રના વિસ્તાર(extension of field)થી શરૂ કરી, આપેલ ક્ષેત્ર પર વ્યાખ્યાયિત બહુપદી f(x)નાં બધાં જ બીજોને સમાવતાં વિભાજક ક્ષેત્ર(splitting field)ની તેમજ બહુપદી f(x) સાથે સંકળાયેલ ગાલ્વા સમૂહની વ્યાખ્યા આપી. [ગાલ્વાસમૂહ, અમુક અર્થમાં બહુપદી f(x)નાં બીજો સાથે સંકળાયેલ ક્રમચય સમૂહ બને છે.] તેમજ ગાલ્વાના મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે જાણીતા પ્રમેય દ્વારા વિભાજક ક્ષેત્રનાં ઉપક્ષેત્રો તથા ગાલ્વા સમૂહના ઉપસમૂહો વચ્ચે એક-એક સંગતતાનું વિસ્થાપન મેળવ્યું. આ સંગતતાનો ઉપયોગ કરી કરણી દ્વારા બહુપદી f(x)ના ઉકેલની રીત માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત, ગાલ્વા સમૂહના બૈજિક બંધારણ(algebraic structure)માં મેળવી. ઉપરાંત અવિભાજ્ય ઘાતવાળી અને આપેલ ક્ષેત્ર પર, કરણી દ્વારા અસંક્ષેપ્ય બહુપદીના ઉકેલ માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત, ‘‘બહુપદીનાં બધાં બીજો ગમે તે બે બીજોનાં સંમિત વિધેયો (symmetric functions) છે’’ એમ સાબિત કર્યું. વળી ખૂણાને ત્રિભાગવો, ઘનને બેવડાવવો જેવા જૂના ગાણિતિક પ્રશ્નોને અંગે પણ વિચાર કર્યો હતો. કરણી દ્વારા સમીકરણના ઉકેલ મેળવવા માટેની શાખા ગાલ્વા સિદ્ધાંત તરીકે પ્રચલિત બની છે જે ગાલ્વાના અમૂલ્ય પ્રદાનનો સબળ પુરાવો છે.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ

શિવપ્રસાદ મ. જાની