ગાઉસનો પ્રમેય

ગાઉસનો પ્રમેય (Gauss’s Theorem) : સ્થિર વિદ્યુત (static electricity) અંગેનો એક પ્રમેય. તેના વડે વૈદ્યુત તીવ્રતા (electric intensity), યાંત્રિક બળ (mechanical force) તથા વૈદ્યુત ક્ષેત્રના એકમ ઘનફળમાં સંગૃહીત થતી ઊર્જા મેળવી શકાય છે. પ્રમેયનું કથન નીચે પ્રમાણે છે :

‘બંધ સપાટી ઉપરનું લંબ દિશામાંનું કુલ વૈદ્યુત પ્રેરણ (Total Normal Electric Induction – TNEI), CGS કે સ્થિર વૈદ્યુત એકમ(electo static unit – esu)માં સપાટીની અંદર આવેલા કુલ વિદ્યુતભાર q કરતાં 4π ગણું (એટલે કે 4πq જેટલું) હોય છે. MKS અથવા SI પદ્ધતિમાં તે ∑q જેટલું છે.’

માટે જો સપાટીની અંદર આવેલા વિદ્યુતભાર q₁, q₂…..વગેરે હોય તો TNEI = 4πq₁ + 4πq₂ + … = ∑4πq

જો વિદ્યુતભાર (q) બંધ સપાટીની બહાર આવેલો હોય, તો તે બંધ સપાટી ઉપરનું TNEI શૂન્ય હોય છે.

આ પ્રમેયની મદદથી જુદા જુદા કિસ્સાઓમાં મળતી વિદ્યુતભારિત તીવ્રતા(E)નાં મૂલ્યો નીચે પ્રમાણે છે :

1. વિદ્યુતભારિત ગોળા(charged sphere)ની નજીક આવેલા બિંદુએ તીવ્રતા (E) :

(a) કે esuમાં અહીં, q = વિદ્યુતભાર, r =  તે બિંદુનું ગોળાથી અંતર, k = માધ્યમનો પરાવૈદ્યુતાંક (dielectric constant) છે.

અને,

(b) ……………………………………… MKS કે SIમાં

ε_o = હવા કે શૂન્યાવકાશ[અથવા મુક્ત અવકાશ – free space]નો પરાવૈદ્યુતાંક,

અને

ε_r = માધ્યમનો સાપેક્ષ (relative) પરાવૈદ્યુતાંક છે.

2. અનંત સપાટભારિત વાહક (infinite plane charged conductor) નજીક આવેલા બિંદુએ તીવ્રતા (E) :

(a)કે esuમાં

અને

(b) MKS કે SIમાં

અહીં σ = સપાટીની વૈદ્યુતક્ષેત્ર ઘનતા (surface density of charge) =

3. બે સમાંતરભારિત વાહક(two parallel plane charged conductors)ની વચ્ચે આવેલા બિંદુએ તીવ્રતા (E) :

(a) કે esuમાં

(b) કે SIમાં

4. બે સમાંતર સપાટભારિત વાહકની બહાર આવેલા બિંદુએ તીવ્રતા (E) :

E =  શૂન્ય

5. એકધારા વૈદ્યુતભારિત નળાકાર દ્વારા તેની નજીકના બિંદુ આગળની તીવ્રતા (E) :

નળાકાર ઉપર રહેલો વિદ્યુતભાર = q અને નળાકારની ત્રિજ્યા = R હોય તો

(a) ………………………….CGS કે esuમાં

અને

(b) ………….MKS કે SIમાં

6. વિદ્યુતભારિત સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ ઉપર લાગતું યાંત્રિક બળ (F) :

ચુંબકીય પ્રેરણ (magnetic induction) માટે પણ ગાઉસે સ્થિરવૈદ્યુતના જેવો જ પ્રમેય આપેલો છે, જેનું કથન નીચે પ્રમાણે છે :

બંધ સપાટી ઉપરનું લંબ દિશાનું કુલ ચુંબકીય પ્રેરણ [Total Normal Magnetic Induction – ટૂંકમાં TNMI], CGS કે emuમાં, તે સપાટીની અંદર રહેલા ચુંબકીય ધ્રુવમાન (magnetic pole strength) mના કરતાં 4π ગણું એટલે ∑4πm જેટલું છે. MKS કે SIમાં ∑m જેટલું છે.

ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર માટે પણ ગાઉસનો પ્રમેય નીચે પ્રમાણે છે :

‘ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં રહેલી બંધ સપાટી ઉપરનું લંબ દિશાનું કુલ ગુરુત્વીય પ્રેરણ (Total Normal Gravitational Induction – ટૂંકમાં TNGI) સપાટીમાં રહેલા દ્રવ્યમાન(m)ના 4πG ગણું છે.

અહીં G = ગુરુત્વ અચળાંક (gravitation constant) છે.

જો દ્રવ્યમાન સપાટીની બહાર હોય તો આ પ્રેરણ શૂન્ય હોય છે.

એરચ મા. બલસારા