ગતિ-સમીકરણ

ગતિ-સમીકરણ (equation of motion) : આપેલા નિર્દેશતંત્રને સાપેક્ષ કોઈ પદાર્થનું સ્થાન, વેગ કે પ્રવેગનું નિરૂપણ કરતું ગણિતીય સૂત્ર. ન્યૂટનના બીજા નિયમના કથન અનુસાર કોઈ પદાર્થ ઉપર લાગતું બળ F પદાર્થના દ્રવ્યમાન m અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગ aના ગુણાકાર બરાબર હોય છે, માટે F = ma. પ્રાચીન યંત્રશાસ્ત્રમાં આ પાયાનું ગતિ-સમીકરણ છે.

પદાર્થ પર લાગતું બળ સમયના વિધેય તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે તો સૈદ્ધાંતિક રીતે ન્યૂટનના સમીકરણમાંથી, તે પદાર્થનો વેગ અને તેનું સ્થાન, સંકલન (integration) ક્રિયા વડે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ ઉપર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણનું બળ તે પદાર્થને પ્રવેગિત કરે છે. આ બળ પદાર્થના વજન w (w = mg) જેટલું છે, જે સમયને સાપેક્ષ અચલ રહે છે. ન્યૂટનના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતાં w = mg તેથી અહીં g = ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ છે. ન્યૂટનના સમીકરણમાં આ મૂલ્યો આમેજ કરતાં, આમ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ a = g છે; પરંતુ પ્રવેગ એ સમયને સાપેક્ષ વેગના ફેરફારનો દર છે. તેથી સંકલન દ્વારા વેગ vને tના સ્વરૂપમાં, v = gt તરીકે દર્શાવી શકાય છે; પરંતુ વેગ એ સમયને સાપેક્ષ સ્થાન sના ફેરફારનો દર છે અને પરિણામે ઉપરના વેગ-સમીકરણનું સંકલન કરતાં મળે છે.

જો પદાર્થ પર લાગતું બળ સ્થાન અથવા વેગના વિધેય તરીકે દર્શાવ્યું હોય તો ન્યૂટનના સમીકરણનું સંકલન વધુ કઠિન થઈ પડે છે.

જ્યારે કોઈ પદાર્થ નિર્દિષ્ટ રીતે નિશ્ચિત માર્ગ ઉપર અનુરોધિત ગતિ કરે ત્યારે તેનું સ્થાન-સમય સમીકરણ મેળવવું શક્ય બને છે. આ સમીકરણમાંથી વિકલન (differentiation) ક્રિયા વડે પદાર્થનાં વેગ-સમય સમીકરણ અને પ્રવેગ-સમય સમીકરણ, સૈદ્ધાંતિક રીતે મેળવી શકાય છે.

હિંમતલાલ ચૂનીલાલ શુક્લ