ગતિજ સિદ્ધાંત (kinetic theory)

પદાર્થની પરમાણ્વીય તથા આણ્વીય સંરચના પર આધારિત, માપી શકાય તેવા ઘન, પ્રવાહી તથા વાયુ સ્વરૂપના ચોક્કસ ગુણધર્મોને સમજાવવા માટે રજૂ થયેલ વિભાવના (concept).

ઉષ્માનું સ્વરૂપ : પ્રાગૈતિહાસિક સમયથી ઘર્ષણ વડે ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરવાની રીત પ્રચલિત હતી. ગ્રીસના પ્રૉમીથિયસ માટે, કોઈ દૈવી શક્તિએ લાકડાના બે ટુકડા ઘસીને અગ્નિ પ્રગટ કર્યાની દંતકથા પ્રચલિત છે. ઉષ્માના સ્વરૂપ અંગે સર જૉસેફ બ્લૅકે સૌપ્રથમ વૈજ્ઞાનિક રીતે રજૂઆત કરી હતી. તેમની માન્યતા અનુસાર ઉષ્મા એ કૅલરિક નામનું વજનરહિત અને ભૌતિક અસ્તિત્વ ધરાવતું છતાં અર્દશ્ય પ્રવાહી છે. આ માન્યતાના સમર્થનમાં એમણે એક સુંદર દલીલ કરી. તાપમાન વધતાં પદાર્થમાં રહેલું કૅલરિક વધે છે અને તે વધુ જગા રોકે છે, તેથી પદાર્થનું પરિમાણ વધે છે અને તે ફૂલે છે અથવા વિસ્તરણ (expansion) પામે છે. તાપમાન ઘટતાં કૅલરિક ઘટવાથી ઓછી જગ્યા રોકે છે અને પદાર્થનું સંકોચન થાય છે. અઢારમી સદીના અંતે કૅલરિકવાદ માટે શંકા ઉત્પન્ન થવા લાગી. અંગ્રેજ લશ્કરમાં તોપ બનાવવાના કારખાનામાં કાઉન્ટ રમફર્ડ સુપરિન્ટેન્ડેન્ટ તરીકે કામ કરતા હતા. લોખંડના નળાકારમાં શારડી વડે લાંબાં છિદ્ર કોરીને તોપ બનાવવામાં આવતી હતી. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન જ્યાં સુધી શારડી વડે કોરવાની ક્રિયા ચાલુ રહે ત્યાં સુધી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થતી હોય છે. કૅલરિકવાદના સમર્થકોએ એમ સૂચવ્યું કે નળાકાર સ્વરૂપ કરતાં ભૂકા સ્વરૂપે લોખંડ, ઓછું કૅલરિક સંગ્રહ કરે છે તેથી વધારાનું કૅલરિક બહાર પડે છે અને ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે. પરંતુ રમફર્ડે બતાવ્યું કે શારડી બુઠ્ઠી (blunt) હોય અને ભૂકો પડતો ન હોય ત્યારે પણ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થતી જ હોય છે. લંડનની રૉયલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટના સર હમ્ફ્રી ડેવીએ 1799માં દર્શાવ્યું કે બરફના બે ટુકડાને એકબીજા સાથે ઘસતાં પાણી ઉત્પન્ન થાય છે. કૅલરિકવાદ અનુસાર બરફમાં રહેલું કૅલરિક પાણીમાં રહેલા કૅલરિક કરતાં વધુ છે, જે સાવ ખોટું છે. આ પ્રયોગો ઉપરથી ફલિત થયું કે ઉષ્મા કોઈ ભૌતિક વસ્તુ નથી પરંતુ ગતિનો એક પ્રકાર છે.

1840માં માન્ચેસ્ટરના વિજ્ઞાની જૂલે, ઐતિહાસિક પ્રયોગ દ્વારા સાબિત કર્યું કે યાંત્રિક ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર થતું હોય છે. યાંત્રિક ઊર્જા Wના અવેજમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઊર્જા H હોય તો,

W = J · H ……………………………………………………………………………………………………………….        (1)

J = જૂલનો ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક (Joule’s mechanical equivalent of heat) છે અને તેનું મૂલ્ય 4.182 જૂલ/કૅલરી અથવા 4.182 x 10⁷ અર્ગ/કૅલરી છે [1 જૂલ = 10⁷ અર્ગ]. આ પ્રયોગે સાબિત કર્યું કે ઉષ્મા એ ગતિનો એક પ્રકાર છે. 1857માં ક્લાઉઝિયસ અને ક્રોનિંગે દર્શાવ્યું કે પદાર્થના અણુ-પરમાણુની ગતિ એ જ તેની ઉષ્મા છે. આ મત સ્વીકારીને ગતિજ સિદ્ધાંત ઘડવામાં આવેલ છે.

સત્તરમી અને અઢારમી સદીમાં વાયુ કેટલાક વિશિષ્ટ નિયમોનું પાલન કરે છે તેવું શોધવામાં આવ્યું. આ નિયમો પૈકી પ્રથમ નિયમ રૉબર્ટ બૉઇલ દ્વારા પ્રતિપાદિત થયો. તેનું કથન આ પ્રમાણે છે :

‘નિયત તાપમાને, નિયત જથ્થાના વાયુનું કદ (ν) તેના દબાણ (P)ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.’

(P · υ)_T = અચળાંક

ચાર્લ્સ અને ગેલુસાકના પ્રયોગોએ દર્શાવ્યું કે ‘નિયત કદના વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે.’ દબાણનો આવો ફેરફાર વાયુના પ્રકાર પર આધારિત નથી. આ બંને નિયમોનો સમન્વય કરીને આદર્શ વાયુ (ideal gas) માટે અવસ્થા સમીકરણ (equation of state) મેળવી શકાય છે.

P · ν = N·k·T

અહીં P = વાયુનું દબાણ; υ = વાયુનું કદ; T = તેનું નિરપેક્ષ તાપમાન; N = વાયુના અણુઓની સંખ્યા અને k = બૉલ્ટ્સમાનનો નિયતાંક છે.

વાયુ આ નિયમોનું પાલન કરે છે, જ્યારે ઘન તથા પ્રવાહી પદાર્થ તેનું પાલન કરતા નથી. ઉપરાંત વાયુની ઘનતા પ્રમાણમાં ઘણી ઓછી છે. વળી વાયુ સહેલાઈથી પ્રસરણ પામે છે અને દબાણ નિપજાવે છે; વાયુના આ ગુણધર્મોને વૈજ્ઞાનિક સમર્થન આપવાની જરૂર ઊભી થઈ અને ડૅનિયલ બર્નુઈ (1738), રૂડોલ્ફ ક્લાઉઝિયસ (1857) વગેરેએ ગતિજ સિદ્ધાંતની રજૂઆત કરી.

ગતિજ સિદ્ધાંતની મૂળભૂત ધારણાઓ (fundamental assumptions of kinetic theory) : ગતિજ સિદ્ધાંત, નીચે દર્શાવેલ મૂળભૂત ધારણાઓનો આધાર લે છે, જેમને સ્વીકારી લઈએ તો પદાર્થના અને વિશેષત: ઓછી ઘનતાવાળા વાયુના બધા જ ગુણધર્મો સમજાવી શકાય છે.

(1) પદાર્થ અત્યંત સૂક્ષ્મ કણ — અણુ તથા પરમાણુઓનો બનેલો છે.

(2) આ અણુ-પરમાણુઓ સ્થિર નથી, પરંતુ પદાર્થના પ્રત્યેક સ્વરૂપ(ઘન, પ્રવાહી, બાષ્પ)માં નિયત પ્રકારની ગતિ કરતા હોય છે. વાયુસ્વરૂપમાં આ ગતિ અનિયમિત (random) અને બધી જ દિશામાં થતી હોય છે.

(3) અણુ-પરમાણુઓની સંખ્યા મોટી હોય છે તેથી વાયુના અણુઓની ગતિની અનિયમિતતા (randomness) ચાલુ રહે છે.

(4) વાયુના અણુ-પરમાણુ, પાત્રની દીવાલ સાથે તેમજ એકબીજા સાથે સ્થિતિસ્થાપક (elastic) સંઘાત (collision) અનુભવે છે.

અણુ-પરમાણુની મોટી સંખ્યાને કારણે અંકકીય પદ્ધતિ(statistical methods)નો ઉપયોગ કરીને પદાર્થના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ થઈ શકે છે અને અણુ-પરમાણુનો વ્યક્તિગત અભ્યાસ કરવાની જરૂર રહેતી નથી. આ ધારણાઓ સ્વીકારી લેવામાં આવે તો પદાર્થના અને તેમાં પણ વિશેષત: ઓછી ઘનતાવાળા વાયુના ગુણધર્મો ખૂબ જ સહેલાઈથી સમજાવી શકાય છે. ડૅનિયલ બર્નુઈએ બૉઇલના નિયમની સમજૂતી આ પ્રમાણે આપી છે : વાયુના અણુઓ જ્યારે પાત્રની દીવાલ સાથે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત અનુભવે ત્યારે દીવાલ ઉપર ઠલવાતા વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે. તેથી દીવાલ ઉપર બળ અને તેને પરિણામે દબાણ ઉત્પન્ન થાય છે. (વેગમાનના ફેરફારનો દર અથવા એક સેકન્ડમાં થતો વેગમાનનો ફેરફાર = બળ અને એકમ ક્ષેત્રફળ ઉપર લાગતું બળ = દબાણ છે.) તેથી ઊલટું જો વાયુનું કદ ઘટાડવામાં આવે એટલે કે તેની ઘનતા વધારવામાં આવે  તો દીવાલના પ્રત્યેક એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ સંઘાત પામતા અણુઓની સંખ્યા વધે છે અને તેને કારણે દબાણમાં વધારો થતો હોય છે.

આકૃતિ 1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જો કોઈ અણુ v જેટલા વેગથી પાત્રની દીવાલ સાથે સંઘાત અનુભવે તો દીવાલને લંબ દિશામાંના તેના ઘટક v_xમાં થતા ફેરફારને કારણે (v_xથી બદલાઈને –v_x), દીવાલ ઉપર ઠલવાતા વેગમાનમાં 2mv_x જેટલો ફેરફાર થતો હોય છે. દીવાલ ઉપર ઠલવાતા વેગમાનનો, એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ, પ્રત્યેક સેકન્ડે થતો ફેરફાર જાણવાથી વાયુના દબાણ(P)નું મૂલ્ય મળે છે. આદર્શ વાયુ માટે દબાણ(P)નું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે મળે છે :

અહીં, ρ = વાયુની ઘનતા અને <v²> વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ (mean square velocity) છે. વાયુના પ્રત્યેક અણુનું દ્રવ્યમાન = m અને અણુઓની કુલ સંખ્યા = N હોય, તો વાયુની ઘનતા

……………………………..(3)

 આદર્શ વાયુના સમીકરણ P·υ = NkT સાથે સમન્વય કરતાં,

અથવા બંને બાજુને  વડે ગુણતાં અને Nનો લોપ કરતાં

આ ઉપરથી ફલિત થાય છે કે વાયુના અણુનો સરેરાશ વેગ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ઉપરાંત સમી. (4) ઉપરથી નીચેની બાબતોને પણ સમર્થન મળે છે :

(1) ઓછા અણુભારાંકવાળા વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વેગ, એકસરખા તાપમાને, ભારે અણુભારાંકવાળા વાયુના અણુના વેગ કરતાં વધુ હોય છે. આ કારણે હલકા વાયુનું વિસરણ (diffusion) વધુ ઝડપથી થતું હોય છે.

સમી. (4) ઉપરથી,

તેથી હલકા વાયુનું વિસરણ ઝડપથી થાય છે.

(2) વાયુના અણુના સરેરાશ વર્ગિત વેગ <v²>ના વર્ગમૂળને root-mean-square (rms) વેગ કહે છે. તેને v_rms વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

સમી. (4) ઉપરથી,

માટે v_rms પણ નિરપેક્ષ તાપમાન (T) ઉપર આધારિત છે. તેથી જ આદર્શ વાયુનું તાપમાન વધતાં, તેના અણુઓનો વેગ વધે છે, જેને લઈને પાત્રની દીવાલ સાથે ઉદભવતા સંઘાતની આવૃત્તિ(= એક સેકન્ડમાં નીપજતા સંઘાતની સંખ્યા)માં વધારો થતાં, પાત્રની દીવાલ ઉપરના દબાણ (P)માં વધારો થતો હોય છે. પરિણામે તાપમાન વધતાં વાયુનું દબાણ વધે છે.

મેયર નામના વિજ્ઞાનીએ 1842માં દર્શાવ્યું કે અણુ-પરમાણુની ઊર્જા ઉષ્મા રૂપે પ્રગટ થતી હોય છે. સર જેમ્સ પ્રેસકટ જૂલના ઐતિહાસિક પ્રયોગોએ નિર્વિવાદપણે સાબિત કર્યું કે ઉષ્મા, આણ્વિક ગતિઊર્જાનું સ્વરૂપ છે.

વાયુ માટેના નિયમોની સાબિતી :

ગતિજ સિદ્ધાંત વડે વાયુના જુદા જુદા નિયમોની સાબિતી તારવી શકાય છે.

(ક) બૉઇલનો નિયમ :

ગતિજ સિદ્ધાંત ઉપરથી,

આપેલા વાયુના જથ્થા માટે M = અચળ અને <v²> ∝ નિરપેક્ષ તાપમાન T છે.

તેથી વાયુના અચળ જથ્થા માટે, અચળ તાપમાને,

અથવા Pυ = અચળાંક

જે બૉઇલનો નિયમ છે.

(ખ) ચાર્લ્સ – ગેલુસાકનો નિયમ :

જો υ અચલ હોય, તો આપેલા વાયુ માટે M અચળ હોવાથી,

માટે અચળ કદના વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે, જે ઉપર્યુક્ત નિયમ દર્શાવે છે.

(ગ) ઍવોગૅડ્રોનો અધિતર્ક (Avogadro’s hypothesis) :

કથન : એકસરખા દબાણ અને તાપમાને આવેલા વાયુના એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા એકસરખી હોય છે.

બે જુદા જુદા વાયુના એકમ કદમાં આવેલા અણુઓની સંખ્યા n₁ અને n₂ હોય અને અણુનું દ્રવ્યમાન અનુક્રમે m₁ અને m₂ હોય તો

ρ₁ = m₁n₁ અને ρ₂ = m₂n₂, એકસરખા દબાણ (P) માટે

અચળ કે એકસરખા તાપમાને,

અને અધિતર્ક સાબિત થાય છે.

(ઘ) ડૉલ્ટનનો નિયમ :

કથન : જુદા જુદા વાયુઓને કોઈ પાત્રમાં નિયત તાપમાને લેતાં, તેમનાં અલગ અલગ દબાણનો સરવાળો, તે જ પાત્રમાં તે જ તાપમાને બધા વાયુઓને એકીસાથે લેતાં, મળતા દબાણ જેટલો હોય છે.

ધારો કે અલગ અલગ દબાણ P₁, P₂, P₃ છે.

ત્રણેને એકીસાથે લેતાં,

સાબિત થયું.

(ઙ) મૅક્સવેલનો અણુ વેગ વિતરણનો નિયમ [Maxwell’s law of distribution of molecular velocity] :

મૅક્સવેલે અમુક ધારણાઓ તથા સંભાવના(probability)ના ગણિતને આધારે, વાયુમાં અણુઓના વેગનું વિતરણ કેવા પ્રકારનું હોય છે તેની માહિતી દર્શાવતું સૂત્ર 1859માં તારવ્યું. તેના વડે કોઈ એક અણુનો વેગ કેટલો છે તે જાણી શકાતું નથી, પરંતુ v તથા v + dv મૂલ્યો વચ્ચે વેગ ધરાવતા અણુની સંખ્યા dN જાણી શકાય છે.

આ નિયમ ઉપરથી મળતા વેગ-વિતરણ-વક્ર આકૃતિ 2માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે. આ વક્ર ઉપરથી નીચે પ્રમાણેની તારવણી થઈ શકે છે :

(i) શૂન્ય તેમજ અનંત વેગ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા શૂન્ય છે.

(ii) ઓછા વેગ તથા વધુ વેગવાળા અણુઓની સંખ્યા ઓછી છે.

(iii) તાપમાન વધવા સાથે, અણુઓનો મહત્તમ સંભાવ્ય વેગ (maximum probable velocity) વધે છે, પરંતુ તે વેગ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા ઘટે છે.

(iv) મહત્તમ સંભાવ્ય વેગ v કરતાં v_rmsનું મૂલ્ય વધુ છે.

સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) : કલાઉઝિયસની ધારણા અનુસાર વાયુના અણુઓ ગતિ દરમિયાન એકબીજા સાથે સંઘાત અનુભવે છે. બે ક્રમિક સંઘાત વચ્ચે, અણુ સુરેખ પથ પર બળમુક્ત ગતિ (force free motion) કરે છે. બે ક્રમિક સંઘાત વચ્ચે અણુએ કાપેલા અંતરને મુક્ત પથ () કહે છે. માટે N સંઘાત દરમિયાન અણુએ કાપેલું કુલ અંતર S હોય તો,

   

ગતિજ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ના સંદર્ભમાં વાયુના ઘણા ગુણધર્મો સમજાવી શકાય છે.

વાયુના ફક્ત એક જ અણુ સિવાય, બાકીના બધા જ અણુઓ સ્થાયી છે તેવી અસ્વીકાર્ય ધારણા ઉપરથી, નું મૂલ્ય,

તારવવામાં આવેલું છે.

બૉલ્ટ્સમાને સ્વીકાર્યું કે અણુઓ સ્થાયી નથી; પરંતુ તે બધા એકસરખા વેગથી ગતિ કરે છે અને નું મૂલ્ય

મેળવ્યું.

જ્યારે મૅક્સવેલે વેગ-વિતરણના નિયમ ઉપરથી તારવ્યું કે

અહીં n = એકમ કદમાં આવેલા અણુઓની સંખ્યા અને σ = અણુનો વ્યાસ છે.

મુક્તતાના અંશ (degrees of freedom) : પ્રત્યેક ગતિમય પ્રણાલીની ગતિ-ઊર્જામાં પ્રાપ્ત થતા વર્ગિત (વર્ગવાળા) પદની સંખ્યાને મુક્તતાના અંશ કહે છે.

એકપરમાણ્વીય વાયુઓ(monoatomic gases)ના અણુઓ માત્ર રેખીય ગતિ જ કરતા હોય છે. તેના પ્રત્યેક અણુની ગતિ-ઊર્જા,

તેથી તેની સાથે સંકળાયેલ મુક્તતાના અંશ 3 છે. c_x, c_y અને c_z એ અણુના વેગ cના X-અક્ષ, Y-અક્ષ અને Z-અક્ષની દિશામાં એકબીજાને કાટખૂણે આવેલા ઘટકો છે.

દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ(ઉદા. હાઇડ્રોજન)નો અણુ, રેખીય ગતિ ઉપરાંત ચાકગતિ (rotational motion) પણ કરતો હોય છે, તેથી તેને માટે કુલ ગતિ-ઊર્જા

હોવાથી તેની સાથે સંકળાયેલા મુક્તતાના અંશ 5 છે.

I = પરિભ્રમણાક્ષ ઉપર જડત્વની ચાકમાત્રા અને ω= ચાકગતિ દરમિયાન કોણીય વેગ; -ω_x અને ω_y – તેના X-અક્ષ તથા Y-અક્ષની દિશાના ઘટકો છે.

ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તતાના અંશ 6 કે 7 હોય છે.

ઊર્જા સમવિભાજનનો નિયમ (law of equipartition of energy) : આ નિયમ વડે ચિરપ્રતિષ્ઠિત (classical) આદર્શ વાયુ માટે, પ્રણાલી સાથે સંકળાયેલ ગતિ-ઊર્જાની માહિતી મળે છે. ગતિજ સિદ્ધાંત ઉપરથી તે સરળતાથી મેળવી શકાય છે. સમવિભાજનના નિયમ અનુસાર પ્રણાલીની કુલ ગતિ-ઊર્જા, તેના પ્રત્યેક મુક્તતાના અંશમાં એકસરખી વહેંચાયેલી હોય છે. પ્રત્યેક મુક્તતા અંશ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા જેટલી હોય છે. માટે

આ પ્રમાણેનો નિયમ મૅક્સવેલે સૌપ્રથમ 1859માં રેખીય ગતિ માટે મેળવ્યો હતો. બૉલ્ટ્સમાને તે ચાકગતિ તથા કંપગતિ (vibrational motion) માટે પણ સાચો રહે છે તેમ દર્શાવ્યું. અંકકીય યંત્રશાસ્ત્ર(statistical mechanics)નો ઉપયોગ કરીને આ નિયમને સાબિત કરી શકાય એવું લૉરેન્ટ્ઝ, ગિબ્ઝ વગેરે વિજ્ઞાનીઓએ જણાવ્યું. સમવિભાજનના નિયમનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે છે :

P_i = વેગમાન અને q_i = પ્રણાલીના સામાન્ય યામ (common co-ordinates) અને E = પ્રણાલીની કુલ ઊર્જા છે.

વિશિષ્ટ ઉષ્મા (specific heat) : ગતિજ સિદ્ધાંતની એક આગવી વિશિષ્ટતા એ છે કે ઊર્જા સમવિભાજનના નિયમ ઉપરથી મુક્તતા અંશનો ઉપયોગ કરીને વિશિષ્ટ ઉષ્મા(C)નું સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય મેળવી શકાય છે.

એક મોલ વાયુના કદમાં તેના અચળ કદે (અથવા તેના અચળ દબાણે) તાપમાનમાં 1° સે. જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માને, વાયુની અચળ કદની વિશિષ્ટ ઉષ્મા (Cυ) [અથવા વાયુની અચળ દબાણની વિશિષ્ટ ઉષ્મા (C_P)] કહે છે.

અણુના મુક્તતા અંશ f તથા અણુઓની કુલ સંખ્યા N હોય તો કુલ મુક્તતા અંશ fN થાય અને કુલ ઊર્જા,

N_o = ઍવોગૅડ્રોનો અંક અને N = nN_o = n મોલમાંના અણુઓની સંખ્યા; f = મુક્તતાના અંશ; R = વાયુનો નિયતાંક = N_ok એક મોલ માટે n = 1 લેતાં,

માટે

એક, દ્વિ અને ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે અનુક્રમે f = 3, 5, 6 છે. તેથી અનુક્રમે

એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે

દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે

અને ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે

અને

અને

અત્યંત નીચા તાપમાને ગતિજ સિદ્ધાંતનાં ઘણાં પરિણામોની જેમ ઊર્જા સમવિભાજનનો નિયમ પળાતો નથી. પ્રત્યેક વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા વાયુના પ્રકાર ઉપર આધારિત નથી અને બધા જ વાયુ માટે તેનું મૂલ્ય એકસરખું હોય છે. ઉપરાંત વિશિષ્ટ ઉષ્મામાં થતો ફેરફાર અર્ધપૂર્ણાંક સ્વરૂપનો છે. પ્રયોગો દ્વારા જણાયું છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા 0° સે. સુધી લગભગ અચળ રહે છે; પણ 0° સે.થી -273° સે. સુધી તે સતત ઘટતી રહે છે. આની સમજૂતી ડીબાય તથા આઇન્સ્ટાઇને ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર દ્વારા આપેલી છે.

સંવહન ઘટનાઓ (transport phenomena) : વાયુની સ્નિગ્ધતા, ઉષ્માવાહકતા અને વિસરણ (diffusion) જેવી સંવહન ઘટનાઓ જે અણુઓના સંવહનને કારણે ઉદભવતી હોય છે તે પણ ગતિજ સિદ્ધાંત ઉપરથી સમજાવી શકાય છે.

(ક) વાયુની સ્નિગ્ધતા (viscosity of gases) : વાયુ આંતરિક સમતુલનમાં ન હોય ત્યારે પ્રવાહીમાં જેમ બને છે તેમ, તેના સ્તર એકબીજાની ઉપર સરકતા હોય છે. આ ક્રિયા દરમિયાન ઉષ્મીય ગતિને કારણે ગતિમાન સ્તરો વચ્ચે અણુઓની ફેરબદલી થતી હોય છે. વધારે વેગવાળા સ્તર ચોક્કસ સંખ્યામાં અણુઓ ગુમાવે છે અને તેટલી જ સંખ્યામાં, ઓછા વેગવાળા સ્તરમાંથી અણુઓ મેળવે તો સરવાળે તેના વેગમાનમાં ઘટાડો થાય અને તેને લઈને તેના વેગમાં ઘટાડો કરતું સ્નિગ્ધતા બળ ઉદભવે છે. વાયુના એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ તથા  જેટલા વેગ પ્રચલન [= એકમ અંતર દીઠ થતો વેગનો ફેરફાર] દીઠ ઉદભવતું સ્નિગ્ધતા બળ F

આકૃતિ 3માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે XY સમતલથી ઉપરની તરફ +Z દિશામાં જતાં વેગપ્રચલન (velocity gradient) – એકમ અંતરે થતો વેગનો ફેરફાર –  હોય, તો સ્તર B થી અંતરે આવેલા સ્તર A અને Cનો વેગ અનુક્રમે છે.

એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા = n, પ્રત્યેક અણુનું દળ = m અને તેનો સરેરાશ વેગ = <v> હોય, તો જૂલની ધારણા અનુસાર, +z તથા -z દિશામાં દર સેકન્ડે એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ ગતિ કરતા અણુઓની સંખ્યા છે. તેથી B સ્તરના એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ, દર સેક્ધડે થતો વેગમાનનો ફેરફાર [એટલે કે સ્નિગ્ધતા બળ F] નીચેના સૂત્ર વડે મળે છે :

અથવા

mn = વાયુની ઘનતા ρ લેતાં,

સમીકરણ ઉપરથી નીચેનો નિષ્કર્ષ તારવી શકાય છે :

એટલે કે વાયુનો સ્નિગ્ધતા-અંક તેના નિરપેક્ષ તાપમાન (T)ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, જે પ્રાયોગિક પરિણામ સાથે સુસંગત છે.

(ii) દબાણ વધતાં કદમાં ઘટાડો થવાથી r વધે છે; પરંતુ તેટલા જ પ્રમાણમાં અચળ રહેવાથીη દબાણ પર આધારિત નથી.

(ખ) ઉષ્માવાહકતા (thermal conductivity) : વાયુના જુદા જુદા ભાગ ઉષ્મીય સમતોલનમાં ન હોય ત્યારે એક ભાગમાંથી બીજા ભાગ તરફ ઉષ્માનું સંવહન થાય છે. એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ, એકમ તાપમાન પ્રચલન (unit temperature gradient) ધરાવતા સ્તર વચ્ચે દર સેકન્ડે વહન થતી ઉષ્મા

K = ઉષ્માવાહકતા અંક (coefficient of thermal conductivity).

આકૃતિ (3)માં દર્શાવેલ સ્તર (B)નું તાપમાન θ હોય અને તાપમાન પ્રચલન હોય તો સ્તર A તથા સ્તર Cના તાપમાન અનુક્રમે છે અને ηની જેમ જ (B) સ્તરના પ્રત્યેક એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ, દર સેકન્ડે થતો ઉષ્માનો ફેરફાર

તેથી,

અથવા

સ્નિગ્ધતાની જેમ જ વાયુની ઉષ્માવાહકતા (K) નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળ સમપ્રમાણમાં છે તથા દ્બાણ ઉપર આધારિત નથી.

(ગ) વાયુનું વિસરણ (diffusion of gases) : વાયુના જુદા જુદા ભાગની આણ્વિક ઘનતા એકસરખી ન હોવાને કારણે, વધુ ઘનતાવાળા ભાગ તરફથી અણુઓ ઓછી ઘનતાવાળા ભાગ તરફ જતાં દ્રવ્યમાનનું વહન થાય છે.

વાયુના એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી, એકમ અણુ-ઘનતા પ્રચલન માટે, દર સેકન્ડે લંબ દિશામાં પસાર થઈ રહેલા અણુની સંખ્યાને વાયુનો વિસરણ અંક (coefficient of diffusion) D કહે છે.

સામાન્ય ગણિતની દલીલ વડે સાબિત કરી શકાય કે,

બ્રાઉનિયન ગતિ (Brownian motion) : ગતિજ સિદ્ધાંતની મદદથી પદાર્થના ગુણધર્મો તેમજ જુદા જુદા નિયમોની તારવણી કરતાં, ગતિજ સિદ્ધાંતની ધારણાઓને પ્રાયોગિક સમર્થન મળે છે. આ ધારણાઓની પ્રત્યક્ષ સાબિતી બ્રાઉનિયન ગતિની ઘટના દ્વારા મળે છે.

ફ્રેન્ચ વનસ્પતિશાસ્ત્રી બ્રાઉને 1827માં બહુ મોટી આવર્ધનક્ષમતા(magnifying power)વાળા સૂક્ષ્મદર્શક વડે કલિલીય (colloidal) દ્રાવણમાં અવલંબિત (suspended) પરાગકણ(pollen grain)ની ગતિનો અભ્યાસ કરતાં માલૂમ પડ્યું કે આ બધા કણ, બધી દિશામાં, ઝડપથી અનિયમિત ગતિ કરતા હોય છે. અવલંબિત કણની આવી આશ્ચર્યકારક ગતિ કોઈ રાસાયણિક કે વૈદ્યુત પ્રક્રિયાને કારણે નથી. પ્રયોગના નિષ્કર્ષ રૂપે જણાયું કે

(i) તાપમાનના વધારા સાથે કણની ગતિની પ્રબળતામાં વધારો થાય છે.

(ii) ઓછી સ્નિગ્ધતાવાળા દ્રવ(fluid)માં પ્રવાહી કણની ગતિ વધુ પ્રબળ છે. ગ્લિસરીન કરતાં વાયુમાં કણની ગતિ ખૂબ જ પ્રબળ જણાય છે.

(iii) કણ જેમ સૂક્ષ્મ તેમ તેની ગતિની પ્રબળતા વધુ હોય છે.

આ બધા નિષ્કર્ષ ઉપરથી ગતિજ સિદ્ધાંતને સમર્થન મળે છે. બ્રાઉનિયન ગતિના સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસ દ્વારા આઇન્સ્ટાઇને વિસરણ અંક (D) માટે બે જુદી જુદી રીતે સૂત્રો મેળવ્યાં :

અહીં, R = વાયુનો નિયતાંક; T = વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન; η = વાયુનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક; N_o = ઍવોગૅડ્રોનો અંક અને r = કણની ત્રિજ્યા છે.

આ ગણતરી ઉપરથી પેરીને N_oનું મૂલ્ય 6.88 x 10²³ મેળવ્યું, જે તેના સ્વીકૃત મૂલ્ય 6.02 x 10²³ની નિકટતમ છે.

ધાતુની વિદ્યુતવાહકતા (electrical conductivity of metals) : ધાતુમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે જે વાયુના અણુઓની જેમ વર્તે છે. ઇલેક્ટ્રૉન વાયુને આદર્શ વાયુના બધા જ નિયમો લાગુ પાડી શકાય છે. વળી ગતિજ સિદ્ધાંતના નિયમો વડે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તણૂકને પણ સમજાવી શકાય છે.

ઇલેક્ટ્રૉન વાયુનું દ્રવ્યમાન m તથા વિદ્યુતભાર e હોય અને તે સમતુલન સ્થિતિમાં હોય તે કિસ્સામાં બૉલ્ટ્સમાન વિતરણનો ઉપયોગ થઈ શકે છે. તદનુસાર

અથવા ફર્મી ડીરેક વિતરણ ઉપરથી

f = મૅક્સવેલ બૉલ્ટ્સમાન વિતરણ છે, જે આપેલા સ્થાન વિસ્તાર અને આપેલા વેગમાન

[dx³ = dx×dy×dz અને dv³ = dv_x, dv_y, dv_z]માં આવેલા કણની સંખ્યા દર્શાવે છે. x, y અને z સ્થાન યામ (position co-ordinates) છે અને v_x, v_y, v_z વેગમાન યામ (momentum co-ordinates) છે. A = અચળાંક અને . અહીં k બૉલ્ટ્સમાનનો અચળાંક છે.

ગાણિતિક દલીલો વડે સાબિત કરી શકાય છે કે x-દિશામાંની વિદ્યુતધારા

j_x = x દિશામાંની વિદ્યુતધારા

 = વિશ્રાંતિ (relaxation) સમય

e = ઇલેક્ટ્રૉનનો વિદ્યુતભાર, અને

E_e = બહારથી લગાડવામાં આવતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર (external electric field) છે.

પ્રવાહી અને ઘન પદાર્થ : પ્રવાહી તથા ઘન પદાર્થ માટેનો ગતિજ સિદ્ધાંત, વાયુ પદાર્થના ગતિજ સિદ્ધાંત જેટલો વિકસ્યો નથી. નીચા તાપમાને અણુઓ સ્ફટિક લૅટિસ બનાવે છે અને તેમની ગતિ કોઈ મધ્યક સ્થાન(mean position)ની આસપાસ થતી કંપનગતિ હોય છે. તાપમાન વધતાં ગતિનો કંપવિસ્તાર (amplitude) વધે છે અને લૅટિસની નિયમિતતા તૂટે છે. ગલનબિંદુ તાપમાને લૅટિસ-રચના અર્દશ્ય થાય છે અને પ્રવાહી સ્થિતિમાં અણુઓ સમગ્ર પ્રવાહીની અંદર વિસ્તરણ પામે છે.

પ્રવાહીનો ગતિજ સિદ્ધાંત સંશોધનનો એક અઘરો વિસ્તાર છે; કારણ કે પ્રવાહીનો પ્રત્યેક અણુ બીજા અણુ સાથે સંઘાત અનુભવવા ઉપરાંત અન્ય અણુઓ સાથે આંતરક્રિયાઓ પણ કરતો હોય છે.

માણેક સથવાવાલા