ગણિતીય સંકેતો

ગણિતીય સંકેતો (mathematical symbols) : કોઈ ગણિતીય ક્રિયા કે સંબંધને વ્યક્ત કરવા, કોઈ ગણિતીય રાશિની પ્રકૃતિ કે ગુણ દર્શાવવા અથવા ગણિતમાં પ્રયોજાયેલા વાક્યખંડો કે વિશિષ્ટ સંખ્યાઓનો નિર્દેશ કરવા માટે પ્રયોજવામાં આવતા સંકેતો. આમ A ÷ Bમાં ભાગાકારનું ચિહ્ન ¸ છે, A < Bમાં અસમતાનું ચિહ્ન < છે. f(x)↑­ માં ↑ એકસૂત્રી વધતા વિધેયનું ચિહ્ન છે. સંકર સંખ્યામાં i એ ને વ્યક્ત કરતો સંકેત છે. ભૂમિતિમાં ખૂણો ∠ ચિહ્ન દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રારંભિક બીજગણિતમાં ધન (+) તથા ઋણ (-) સંકેતો સૌથી પહેલાં ઈ. સ. 1489માં મુદ્રિત થયા હતા અને ગુણાકાર (x) તથા ભાગાકાર(÷)નાં ચિહ્ન ક્રમશ: સૌથી પહેલાં ઈ. સ. 1631 અને ઈ. સ. 1659માં પ્રકાશિત થયાં હતાં. ઈ. સ. 1557માં રૉબર્ટ રેકોર્ડે બરાબરનું ચિહ્ન (=) પ્રચલિત કર્યું હતું. ગણિતમાં શરૂઆતમાં વાપરેલા સંકેતો ઘણુંખરું જે તે ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં વાપરેલા શબ્દોના પ્રથમ અક્ષરો હતા. સોળમીથી સત્તરમી સદીના ગાળામાં એફ. વીટે (Viete), વિલિયમ આઉટરેડ, રેને દેકાર્ત અને જી. ડબ્લ્યૂ. લાઇબ્નિત્સ વગેરે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ગણિતીય સંકેતોનો અભ્યાસ કર્યો અને જુદા જુદા સંકેતો ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં પ્રયોજ્યા; દા. ત., વીટેએ અજ્ઞાત રાશિઓ માટે સંકેત તરીકે અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાંથી સ્વરો પ્રયોજ્યા, જ્ઞાતરાશિઓ માટે વ્યંજનનો ઉપયોગ શરૂ કર્યો. આને પરિણામે સમીકરણોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં દર્શાવવાનું શક્ય અને સરળ બન્યું. દેકાર્તેએ મૂળાક્ષરના a, b, c, d  જેવા પ્રથમ અક્ષરોનો ઉપયોગ જ્ઞાત રાશિઓ માટે અને x, y, z જેવા છેલ્લા અક્ષરોનો ઉપયોગ અજ્ઞાત રાશિઓ માટે કર્યો. આઉટરેડે 150 કરતાં વધારે સંકેતો પ્રયોજ્યા, પરંતુ તેમાંથી થોડાક જ ચાલુ રહ્યા. ખાસ કરીને સુસ્પષ્ટતા (clarity) અને છાપકામમાં સરળતાને લક્ષમાં લઈને સત્તરમી સદીના અંતમાં લાઇબ્નિત્સે સંકેતોનો ઝીણવટથી અભ્યાસ કર્યો. ગાણિતિક વિચાર અને કલ્પનાનો અભ્યાસ પણ સંકેતો દ્વારા થવો જોઈએ એવું એનું સ્વપ્ન હતું; પરંતુ તે ઓગણીસમી સદી સુધી મૂર્ત ન થયું. ત્યારબાદ સાંકેતિક (symbolic) તર્કશાસ્ત્રના વિકાસ સાથે તેનું સ્વપ્ન મૂર્તિમંત થયું. કલનશાસ્ત્ર પ્રત્યેના ન્યૂટન અને લાઇબ્નિત્સના વિભિન્ન મતોને કારણે ગાણિતિક વિશ્ર્લેષણમાં જુદા જુદા સંકેતો પ્રચલિત બન્યા. એક સદીથી વધારે સમય સુધી બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રીઓ ન્યૂટનના સંકેતોને વળગી રહ્યા, જ્યારે બાકીના યુરોપમાં લાઇબ્નિત્સના સંકેતો વપરાવા લાગ્યા. અઢારમી સદીમાં ઑઇલરે મોટી સંખ્યામાં વિવિધ સંકેતો પ્રયોજ્યા જે ગણિતમાં ચિરસ્થાયી બન્યા. ઑઇલર xના વિધેય માટે સંકેત f(x), પ્રાકૃતિક લઘુગણકીય આધાર માટે e, સરવાળા માટે Σ, ઋણ એકમના વર્ગમૂળ માટે i સંકેત દર્શાવતો. ગાણિતિક વિચારોને પણ સાંકેતિક ભાષામાં દર્શાવવાની પદ્ધતિ રચવાનાં તેણે સ્વપ્નાં સેવ્યાં હતાં; પરંતુ તેને અમલમાં મૂકવા તે સફળ ન થયો. આ યોજના ઓગણીસમી સદી સુધી સુષુપ્ત રહી; પરંતુ 1847માં જ્યૉર્જ બૂલ(Boole)ના વિશ્લેષણાત્મક તર્કશાસ્ત્ર(analysis of logic)ની પ્રસિદ્ધિ બાદ ગણિતશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્ર (symbolic logic) તરફ દોરાયું. વીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં ગણિતમાં સંરચના પ્રક્રિયાઓ(structural operations)નો અભ્યાસ વેગવંત બન્યો. આમાંની પ્રત્યેક સંરચના-પ્રક્રિયા વિશિષ્ટ સંકેતો સાથે સંકળાયેલી હતી. આમ આધુનિક અરૂપ બીજગણિત અને સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્રમાં આધુનિક સંજ્ઞાઓ વપરાવા લાગી.

કયા સંદર્ભમાં કયા ગણિતીય સંકેતો વપરાય છે તેની એક યાદી નીચે પ્રસ્તુત છે :

અંકગણિત અને સામાન્ય વ્યવહારમાં વપરાતા સંકેતો :

A : B = A અને Bનો ગુણોત્તર

A ≥ B = A એ Bથી વધારે કે સમાન છે

A ≤ B = A એ Bથી ઓછો કે સમાન છે

≈ અંદાજે બરાબર

A ≈ B = A અને B અંદાજે બરાબર છે.

| x | = xનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય,

| |  = ધનક

[ ] = સંવૃત (close) અંતરાલ

( ) = વિવૃત (open) અંતરાલ

[ ) = અર્ધ આવૃત અંતરાલ

( ] = અર્ધ અનાવૃત અંતરાલ

A ⇒ B = જો A તો B

A ⇔ B = જો A તો અને તો જ B

iff = જો… તો અને તો જ.

 = કારણ

= તેથી

a^xaનો xમો ઘાત

log_e x = xનો e આધાર પરનો લઘુગણક

log₁₀ x = xનો 10 આધાર પરનો લઘુગણક

ગણ સિદ્ધાંતમાં વપરાતા સંકેતો :

∈-ના ઘટક હોવું, ∉ ઘટક ન હોવું, ઉપગણ, અધિગણ, ⊄ ઉપગણ નથી, અધિગણ નથી, છેદન, યોગ, A~B, Bનો Aમાં પૂરકગણ, Φ રિક્ત ગણ / ખાલી ગણ (null set),

બીજગણિત :

Δ ત્રિકોણ, O વર્તુળ, ^ચ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ

DABC ≡ DDEF, ત્રિકોણ ABC એકરૂપ ત્રિકોણ DEF.

ત્રિકોણમિતિ :

જ્યા A, sin A

કોજ્યા A, cos A

સ્પર્શક A, tan A વગેરે

કલનશાસ્ત્ર : D, δ અલ્પવૃદ્ધિ દર્શાવતાં ચિહ્નો

f(x), x નું વિધેય

∫ f^-1(x) એ f(x)નું પ્રતિવિધેય

આમ ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં વિવિધ સંકેતો પ્રચલિત છે.

શિવપ્રસાદ મ. જાની