ખૂણો

ખૂણો (angle) : એક જ ઉદભવબિંદુ (initial point) ધરાવતાં બે અસમરેખ (non-collinear) કિરણોનો યોગ. ખૂણો રચતાં કિરણો તે ખૂણાના ભુજ (arms) કહેવાય છે અને તે કિરણોનું સામાન્ય ઉદભવબિંદુ તે ખૂણાનું શિરોબિંદુ (vertex) કહેવાય છે; જેમ કે, બિંદુ Oમાંથી ઉદભવતાં બે કિરણો OA અને OB ખૂણો AOB રચે છે. તેને સંકેતમાં ∠AOB એમ લખવામાં આવે છે. સંદિગ્ધતાને અવકાશ ન હોય ત્યારે તેને કેવળ ∠O એમ લખીનેય નિર્દેશી શકાય છે. બિંદુ O તે ખૂણાનું શિરોબિંદુ અને કિરણ OA તથા કિરણ OB તે ખૂણાના ભુજ છે.

પ્રત્યેક ખૂણા સાથે 0 અને 180 વચ્ચેની કોઈ અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા સાંકળી શકાય છે. તે સંખ્યાને તે ખૂણાનું માપ — અંશમાપ (degree measure) કહેવામાં આવે છે. જો ∠AOBનું માપ α હોય તો સંકેતમાં m ∠AOB = α અથવા (α°) એમ લખવામાં આવે છે.

પ્રકાર : (1) કાટખૂણો (right angle.). 90 અંશમાપનો ખૂણો; (2) લઘુકોણ (acute angle). 90 અંશમાપથી ન્યૂન માપનો ખૂણો; (3) ગુરુકોણ (obtuse angle). 90 અંશમાપથી અધિક માપનો ખૂણો.

બે ખૂણા : કોટિકોણો (complementary angles) : બે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 90 હોય તો તે બે ખૂણા કોટિકોણો કહેવાય છે; તેમાંનો દરેક બીજાનો કોટિકોણ કહેવાય છે.

પૂરક કોણો (supplementary angles) : બે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 180 હોય તો તે બે ખૂણા પૂરક કોણો કહેવાય છે; તેમાંનો દરેક બીજાનો પૂરક કોણ કહેવાય છે.

એકરૂપ ખૂણા (congruent angles) : બે ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય તો તે બે ખૂણા એકરૂપ છે એમ કહેવામાં આવે છે; જેમ કે, જો m∠A = 37° = m ∠B, તો ∠A અને ∠B એકરૂપ છે. આ હકીકતને સંકેતમાં ∠A ≅ ∠B એમ લખીને નિર્દેશવામાં આવે છે.

સમાન ખૂણા (equal angles) : બે ખૂણાઓમાં તેનાં તે જ બિંદુઓ હોય તો તે સમાન ખૂણા કહેવાય છે. જો ∠AOC અને ∠BOD સમાન હોય, તો ∠AOC = ∠BOD એમ સંકેતમાં લખવામાં આવે છે.

એકરૂપ ખૂણા અને સમાન ખૂણા એ બંને ભિન્ન બાબતો છે.

કેટલાક જોડના ખૂણા : (1) સંલગ્ન ખૂણા (adjacent angles) : જો બે ખૂણાઓને એક ભુજ સામાન્ય હોય અને બાકીના બે ભુજ સામાન્ય ભુજની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય તો તે બે સંલગ્ન ખૂણા કહેવાય છે.

આકૃતિ 2માં ∠AOB અને ∠BOC સંલગ્ન ખૂણા છે.

(2) રૈખિક જોડના ખૂણા (angles of a linear pair) : જો બે ખૂણાઓમાંનો એક ભુજ સામાન્ય હોય અને બાકીના બે ભુજ વિરુદ્ધ કિરણો રચે તો તે ખૂણા રૈખિક જોડના ખૂણા કહેવાય છે. રૈખિક જોડના ખૂણા પૂરક હોય છે.

આકૃતિ 3માં ∠PORઅને ∠QOR રૈખિક જોડ રચે છે. તેથી m∠POR + m ∠QOR = 180 છે.

(3) અભિકોણો (vertically opposite angles) : જો બે ખૂણાના બંને ભુજ વિરુદ્ધ કિરણોની બે જોડ રચે તો તે બે ખૂણા અભિકોણોની જોડ બનાવે છે એમ કહેવાય છે; તેમાંનો પ્રત્યેક ખૂણો બીજાનો અભિકોણ કહેવાય છે. અભિકોણો એકરૂપ હોય છે.

આકૃતિ 4માં (i) ∠AOC અને ∠BOD તથા (ii) ∠AOD અને ∠BOC અભિકોણોની બે જોડ છે. ∠AOC ≅ ∠BOD અને ∠AOD ≅ BOC છે.

બે સમતલીય (coplanar) રેખાઓ સાથે તેમની છેદકરેખા  છેદિકા (transversal) વડે રચાતા ખૂણા : (1) યુગ્મકોણો (alternate angles) : બે સમતલીય રેખાઓ l અને mને છેદિકા GH અનુક્રમે ભિન્ન બિંદુઓ P અને Qમાં છેદે અને છેદિકાના જે અર્ધતલ(half plane)માં l ઉપર બિંદુ A હોય તેનાથી જુદા અર્ધતલમાં m ઉપર બિંદુ D હોય, તો ∠APQ અને ∠PQDને યુગ્મકોણો કહે છે. આમાંનો પ્રત્યેક બીજાનો યુગ્મકોણ કહેવાય છે. યુગ્મકોણોની અન્ય જોડ ∠BPQ અને ∠PQCની છે.

(2) અનુકોણો (corresponding angles) : બે સમતલીય રેખાઓ સાથે તેમની છેદિકા વડે રચાતા યુગ્મકોણોની કોઈ પણ એક જોડમાંનો એક ખૂણો અને બીજાનો અભિકોણ અનુકોણો કહેવાય છે.

આકૃતિ5માં ∠APQ અને ∠CQH, ∠GPA અને ∠PQC, ∠GPB અને ∠PQD, ∠BPQ અને ∠DQH એ અનુકોણોની ચાર જોડ છે.

(3) છેદક રેખાની એક જ બાજુના અંત:કોણો (interior angles on the same side of the transversal) : જો સમતલીય રેખાઓ l અને mને છેદિકા GH અનુક્રમે ભિન્ન બિંદુઓ P અને Qમાં છેદે અને જો છેદિકાના એક જ અર્ધતલમાં l ઉપર બિંદુ A તથા m ઉપર બિંદુ C હોય, તો ∠APQ અને ∠PQCને છેદક રેખાની એક જ બાજુના અંત:કોણો કહે છે. આકૃતિ 5માં આવા ખૂણાની અન્ય જોડ ∠BPQ અને ∠PQDની છે.

જો બે સમતલીય રેખાઓ સમાંતર હોય તો તેમની સાથે તેમની છેદિકાથી રચાતા ખૂણાઓની જોડો રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવે છે : (1) યુગ્મકોણોની પ્રત્યેક જોડના ખૂણા એકરૂપ હોય છે. (2) અનુકોણોની પ્રત્યેક જોડના ખૂણા એકરૂપ હોય છે. (3) છેદક રેખાની એક જ બાજુના અંત:કોણો પૂરક હોય છે.

ખૂણાનું માપ 0 અને 180 વચ્ચેની વાસ્તવિક સંખ્યા છે. માપની આ મર્યાદા ગણિતના વ્યાપકીકરણ(generalisation)ને બાધક તેમજ તેના વિકાસને અવરોધક બને છે. એક જ ઉદભવબિંદુવાળાં બે કિરણોનો યોગ એવી ખૂણાની વ્યાખ્યા સ્વીકારીએ તો 0 અને 180 અંશમાપના ખૂણાઓનો વિચાર થઈ શકે છે. તદુપરાંત ખૂણો રચતાં કિરણોને ઉદભવબિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા કિરણની આદ્યસ્થિતિ તથા અંત્ય સ્થિતિ ગણીને ખૂણાનું માપ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે એમ વિચારી શકાય. કિરણનું પરિભ્રમણ વામાવર્ત (counter-clockwise) હોય તો ખૂણાનું માપ ધન અને જો તે દક્ષિણાવર્ત (clockwise) હોય તો તેનું માપ ઋણ ગણાય એવું પ્રણાલિકાગત રીતે સર્વસ્વીકૃત છે. આ ર્દષ્ટિએ બે સમાંતર રેખા વચ્ચેનો ખૂણો 0° નો અને રેખા ઉપરના કોઈ પણ બિંદુ આગળનો ખૂણો 180°નો બને.

પરિભ્રમણ દ્વારા રચાતા ખૂણાના ખ્યાલને અનુરૂપ ખૂણાનાં માપ સામાન્યત: રેડિયન (radian) માપમાં દર્શાવવામાં આવે છે. ઉચ્ચતર ગણિતમાં આ માપને જ પ્રાધાન્ય આપેલું છે. π રેડિયન 180 અંશમાપ ગણાય છે.

બે વક્રો (curves) વચ્ચેનો ખૂણો : બે છેદતા વક્રોના છેદબિંદુએ તેમના સ્પર્શકો (tangents) વચ્ચેના લઘુકોણને તે બિંદુએ તે વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો કહે છે.

આકૃતિ 7માં વક્ર y = f(x) અને વક્ર y = g(x) વચ્ચેનો છેદબિંદુ P આગળનો ખૂણો θ છે.

બે વિષમતલીય (skew) રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો : જો l અને m બે વિષમતલીય રેખાઓ અને O અવકાશનું યથેચ્છબિંદુ હોય, તો Oમાંથી પસાર થતી અને l, mને અનુક્રમે સમાંતર રેખાઓ l¹, m¹ વચ્ચેના ખૂણાને વિષમતલીય રેખાઓ l અને m વચ્ચેનો ખૂણો કહે છે. સંકેત l,  અથવા ∠ l, m.

રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો : જો રેખા સમતલને લંબ ન હોય તો તે રેખા અને તેના તે સમતલ પરના પ્રક્ષેપ (projection) દ્વારા રચાતા ખૂણાને તે રેખા અને તે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 9માં રેખા l અને સમતલ α વચ્ચેનો ખૂણો θ દર્શાવ્યો છે. સંકેતમાં θ = 1,   અથવા ∠l, α. જો αમાં હોય અથવા l αને સમાંતર હોય તો 1,   α = 0 છે.

દ્વિતલ કોણ (dihedral angle) : સમાંતર ન હોય એવાં બે સમતલોના સામાન્ય છેદ (common section) અને તેનાથી બનતાં બે અસમતલીય અર્ધતલોના યોગને તે બે સમતલોનો દ્વિતલ કોણ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 10માં α અને β સમતલોનો સામાન્ય છેદ AB રેખા છે. α અને β નાં અસમતલીય અર્ધતલો H અને G અને રેખા ABનો યોગ તે જ α, βનો દ્વિતલ કોણ છે. જો બિંદુ P α માં અને બિંદુ Q βમાં હોય તો તે દ્વિતલ કોણને સંકેતમાં P –  – Q  વડે દર્શાવવામાં આવે છે. વિતલ ખ્યાલ અરૂપ (abstract) છે. તેનું માપ નિર્ણીત કરવા બે સમતલો વચ્ચેના ખૂણા વિશેની માહિતી જરૂરી છે.

બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો : સમાંતર ન હોય એવાં બે સમતલોની સામાન્ય છેદરેખાના કોઈ પણ બિંદુમાંથી તે છેદરેખાને તે સમતલોમાં દોરેલી લંબરેખાઓ વચ્ચેના લઘુકોણને તે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો કહે છે. આકૃતિ-10માં α અને β સમતલોની સામાન્ય છેદરેખા AB પર O કોઈ બિંદુ છે. Oમાંથી αમાં અને βમાં AB રેખાને લંબ હોય એવી રેખાઓ અનુક્રમે m અને n છે. O આગળનો m અને n વચ્ચેનો લઘુકોણ θ છે જે સમતલો α, β વચ્ચેનો ખૂણો છે. તેને સંકેતમાં α, β અથવા ∠α, β લખીને નિર્દેશવામાં આવે છે. વળી આ ખૂણાને ત્રિતલ કોણ   વડે ઓળખવામાં આવે છે.

જો બે સમતલો સમાંતર હોય તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો O ગણાય છે.

મોહનભાઈ ડા. સુથાર