ક્રમચય અને સંચય (permutation and combination) : વસ્તુઓની રેખીય ક્રમવાર અને ક્રમનિરપેક્ષ થતી વિવિધ ગોઠવણી. દા.ત., ત્રણ મૂળાક્ષરો a, b, c-ની જુદા જુદા ક્રમમાં 6 પ્રકારે ગોઠવણી થઈ શકે છે : abc, acb, bca, bac, cab, cba. આ પ્રત્યેક પ્રકાર એક ક્રમચય છે. ક્રમચયમાં ક્રમનું મહત્વ છે, જ્યારે સંચય ક્રમનિરપેક્ષ છે. આ ત્રણે મૂળાક્ષરોમાંથી બબ્બે મૂળાક્ષરોના પણ 6 ક્રમચયો મળે છે : ab, ac, ba, bc, ca, cb. વસ્તુઓના ક્રમચયો કરતાં તેના પ્રકારોની સંખ્યાનું મહત્વ વિશેષ છે. n વસ્તુઓમાંથી r (r ≤ n) વસ્તુઓના બનતા ક્રમચયોની સંખ્યા n(n-1) (n-2)…(n – r + 1) સૂત્રથી મળે છે; જેને nPr કે P (n, r) સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે.
nPn = n (n-1) (n-2)… 3 · 2 · 1 છે જેને n ! કે 
સંકેત વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેનો ‘ક્રમગુણિત n’, ‘ફૅક્ટોરિયલ n’ અથવા ‘n ફૅક્ટોરિયલ’ એવો ઉચ્ચાર થાય છે. n ! એ nથી 1 સુધીના તમામ ધનપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે. 1808માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ક્રિશ્ચિયન ક્રૅમ્પ્રે n ! નો ખ્યાલ આપ્યો. આ સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીએ તો –
nPr = n . (n – 1) … (n – r + 1) =
∴ nPr = 
સૂત્ર મળે છે.
જેમ n-!નું મૂલ્ય વધતું જાય તેમ nPn એટલે કે n-!નું મૂલ્ય ઘણા વેગથી વધતું જાય છે; દા.ત., વિશ્વકોશના 20 ગ્રંથોને અભરાઈ ઉપર વિવિધ ક્રમમાં ગોઠવવાના હોય તો તેની ગોઠવણીના પ્રકાર
20 P20 = 20 ! = 20 · 19 · 18 … 3 · 2 · 1
= 24,32,90,20,08,17,66,40,000 થાય છે.
જો દર 5 સેકન્ડે એક ગોઠવણી કરીએ તો આ તમામ ગોઠવણી કરતાં 385 અબજ 73 કરોડ 40 લાખ 82 હજાર 980 વર્ષથી વધુ સમય લાગે, જે વૈજ્ઞાનિકોએ બ્રહ્માંડની આંકેલી ઉંમર કરતાંય વધુ છે. વિજ્ઞાનીઓએ બ્રહ્માંડની વય 1010 વર્ષથી ઓછી આંકી છે. જો n વસ્તુઓમાંની p વસ્તુઓ એક પ્રકારની અને q વસ્તુઓ બીજા પ્રકારની હોય તો તે n વસ્તુઓના ક્રમચયોની સંખ્યા 
સૂત્રથી મળે છે. દા.ત., 7 અક્ષરો a, a, b, b, b, b, cની ગોઠવણીના પ્રકાર 
= 105 છે. જો વસ્તુઓનું પુનરાવર્તન માન્ય હોય તો n વસ્તુઓમાંથી r વસ્તુઓના ક્રમચયોની સંખ્યા nr થાય છે; દા.ત., 5 આંકડાઓ 2, 3, 6, 8, 9માંથી 3 આંકડાવાળી કુલ સંખ્યાઓ 53 = 125 બને છે. આ દરેક સંખ્યા 3 આંકડાઓનો પુનરાવર્તન સહિતનો ક્રમચય છે. n ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી k(k ≤ n) વસ્તુઓનાં સ્થાન નિશ્ચેત રહે એ રીતે મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા –
સૂત્રથી મળે છે.
વૃત્તીય ક્રમચય : જ્યારે n વસ્તુઓને વર્તુળાકારે ગોઠવવી હોય ત્યારે કોઈ પણ એક વસ્તુનું સ્થાન નિશ્ચિત રહે છે અને તેથી ગોઠવણીના કુલ પ્રકાર (n – 1) ! થાય છે. પરંતુ n મણકાની શક્ય માળાઓ (n – 1) ! નહિ પણ 
(n – 1) ! મળે છે, કારણ કે એક પ્રકારની ગોઠવણીવાળી માળાને એ જ સ્થિતિમાં ઉલટાવી નાખવામાં આવે તો બીજા પ્રકારની ગોઠવણી મળે છે એટલે કે એક માળાને સંગત બે વૃત્તીય ક્રમચયો મળે છે.
સંચય : કોઈ પણ અરિક્ત (non-void) ગણના ઉપગણને સંચય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સંચય એ મૂળગણના અમુક ઘટકોનો ફક્ત જથ્થો જ છે. એમાં ક્રમનું મહત્વ હોતું નથી. n ઘટકોવાળા ગણના r(r ≤ n) ઘટકોવાળા તમામ ઉપગણોની સંખ્યા nCr, c (n, r) કે 
સંકેત વડે દર્શાવાય છે. જેને માટેનું સૂત્ર 
છે.
વ્યાખ્યા મુજબ આ દરેક ઉપગણ n વસ્તુઓમાંની r વસ્તુઓનો સંચય છે. દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ (1 + x)nના વિસ્તરણમાં r = 0, 1, 2, ….n માટે xrનો સહગુણક હોય છે. તેથી દ્વિપદી સહગુણક તરીકે ઓળખાય છે. જો n વસ્તુઓમાંથી r વસ્તુઓનો એક સંચય પસંદ કરીએ તો બાકી રહેલી (n – r) વસ્તુઓનો એક બીજો સંચય મળે છે. આથી r વસ્તુઓના સંચયો જેટલી જ સંખ્યામાં (n − r) વસ્તુઓના સંચયો પ્રાપ્ત થાય છે. જેથી 
બીજું એક અગત્યનું પરિણામ 
છે, જે સહેલાઈથી સાબિત કરી શકાય છે. જો n વસ્તુઓમાંથી r વસ્તુઓના મેળવાતા સંચયોમાં વસ્તુઓ ભિન્ન પ્રકારની જ હોય એવું જરૂરી ન હોય તો તેવા સંચયોની સંખ્યા 
સૂત્રથી મળે છે; દા.ત., લીલા, ભૂરા, સફેદ અને ગુલાબી રંગના દડાઓના જથ્થામાંથી ત્રણ દડા યાર્દચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના હોય તો તેની સંખ્યા
થશે. પસંદ કરેલા 20 સંચયોમાં લીલા દડાઓનો સમાવેશ થતો હોય એવા 7 સંચયો ggg, ggb, ggw, ggp, gbw, gwp, gbp છે. જેમાં g, b, w, p અનુક્રમે લીલા, ભૂરા, સફેદ અને ગુલાબી દડા માટેના સંકેતો છે. સંભાવના તથા આંકડાશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં કેટલાક પ્રશ્નો હલ કરવા માટે ક્રમચય અને ખાસ કરીને સંચય મદદરૂપ બને છે. આવા પ્રશ્નો વિજ્ઞાન, ઇજનેરી, વેપાર, વાણિજ્ય તથા વીમા વગેરે શાખોમાં ઉપસ્થિત થાય છે.
પાસ્કલનો ત્રિકોણ
ઇતિહાસ : ઈ. પૂ. 350થી 150ના ગાળામાં ગ્રીસમાં થયેલાં કાર્યોની નોંધમાં સંચયના વિશિષ્ટ વિકલ્પોનો ઉલ્લેખ થયેલો છે. ક્રમચય અંગેનાં કેટલાંક પરિણામોની નોંધ 510માં રોમન બોએથિયસે, 1140માં રાબી બેન ઇઝરાએ, 1150માં ભાસ્કરાચાર્યે અને 1321માં લેવી બેન જર્સને લીધી હતી. 1100માં ચાઇનીઝ કિતાબ ‘આઇ-કિંગ’માં ક્રમચયનો ઉપયોગ થયેલો છે. 1559 પહેલાં ફ્રેન્ચ સાધુ ઝાં બોરેલે તાળો મેળવવાના સંદર્ભમાં ક્રમચયની ચર્ચા કરી હતી. સંભાવનાના વિકાસ સાથે 1600ની આસપાસ સંચય વિશેના ગાણિતિક અભિગમનો વાસ્તવમાં વિકાસ થયો. આ જ અરસામાં ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી બ્લેઇઝ પાસ્કલે સંચયોની ગણતરી કરવાની રસપ્રદ યુક્તિ શોધી જેને ‘પાસ્કલનો ત્રિકોણ’ કહે છે (જુઓ આકૃતિ).
આ ત્રિકોણના અવલોકનથી ના ઘણા ગુણધર્મો ખ્યાલમાં આવે છે.
ધનેશ ભાવસાર