કાળા પદાર્થનાં વિકિરણો (black body radiations) : આપાત થતા સમગ્ર ઉષ્મીય વિકિરણને શોષીને સંપૂર્ણ ઉત્સર્જિત કરનાર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કાળા પદાર્થ તરીકે ઓળખાતા પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતું ઉષ્મીય વિકિરણ. સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થ વડે ઉત્સર્જાતું વિકિરણ, એ કોઈ પણ પદાર્થ વડે તાપમાનને કારણે, તાપમાન પર આધારિત ઉત્સર્જાતા ઉષ્મીય વિકિરણના અભ્યાસના સાર્વત્રિક કિસ્સાનું અદ્વિતીય ઉદાહરણ છે. પદાર્થો વડે તાપમાનને કારણે ઉત્સર્જાતાં વિકિરણો, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો(electromagnetic waves)નાં બનેલાં હોય છે. વિવિધ તરંગલંબાઈ(અથવા આવૃત્તિઓ)વાળા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું પ્રમાણ પદાર્થના તાપમાન અને સપાટીના પ્રકાર પર આધારિત હોય છે. વિવિધ તરંગલંબાઈના ચોક્કસ ગાળાને અનુલક્ષીને વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનું વર્ગીકરણ કરવામાં આવેલું છે. તરંગલંબાઈઓના ચડતા ક્રમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના જુદા જુદા વિભાગો અનુક્રમે ગૅમા-તરંગો, એક્સ-તરંગો, પારજાંબલી-તરંગો, ર્દશ્ય તરંગો, પારરક્ત-તરંગો, ટૂંકા રેડિયોતરંગો અને લાંબા રેડિયોતરંગો તરીકે ઓળખાય છે.
સામાન્ય અનુભવ અનુસાર, કોઈ પદાર્થને ગરમ કરવામાં આવે તો પ્રારંભમાં તેનું તાપમાન બહુ ન હોય ત્યાં સુધી તે ઝાંખો લાલાશ પડતો દેખાય છે. તેનું તાપમાન વધારવામાં આવે તેમ તેનો દેખાવ ઊજળો લાલ, પછી નારંગી રંગનો, પછી પીળાશ પડતો અને પછી લીલાશ પડતો અને છેવટે ખૂબ ઊંચા તાપમાને તે લગભગ ઊજળો શ્વેત દેખાય છે. આ હકીકત દર્શાવે છે કે તાપમાન વધવા સાથે પદાર્થમાંથી ઉત્સર્જાતા વિકિરણમાં, નાની તરંગલંબાઈવાળા તરંગોનું પ્રમાણ વધતું જાય છે. આવાં પ્રાયોગિક પરિણામો દેખીતી રીતે જ આશ્ર્ચર્યજનક જણાતાં નથી, પરંતુ જ્યારે આ પરિણામોનો વિચાર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગવાદ કે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં કરવામાં આવ્યો ત્યારે મૂળભૂત સિદ્ધાંત(theory)થી પ્રાયોગિક પરિણામો સમજાવી શકાયાં નહિ.
પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસની સચોટ વૈજ્ઞાનિક રજૂઆત માટે કેટલીક સાદી વ્યાખ્યાઓની આવશ્યકતા ઊભી થઈ; એટલું જ નહિ પરંતુ પ્રાયોગિક અભ્યાસના ફળસ્વરૂપે મળતા કેટલાક નિયમોનો પણ વિચાર કરવાનું જરૂરી બન્યું.
સ્ટીફન–બોલ્ટ્ઝમનનો નિયમ : ગરમ કરવામાં આવેલા પ્લૅટિનમ તાર વડે ઉત્સર્જાતા વિકિરણના વૈજ્ઞાનિક ટિન્ડૉલ દ્વારા થયેલ પ્રાયોગિક અભ્યાસને ધ્યાનમાં લઈને સ્ટીફને 1879માં એક અનુભવસિદ્ધ નિયમ પ્રસ્થાપિત કર્યો, જે નીચે મુજબ છે :
અહીં
W = એકમ ક્ષેત્રફળવાળી સપાટી વડે એક સેકંડમાં ઉત્સર્જાતી
વિકિરણ-ઊર્જા
T = સપાટીનું નિરપેક્ષ તાપમાન
e = સપાટીની ઉત્સર્જકતા, જેનું મૂલ્ય સપાટીની જાત પર
આધારિત, શૂન્ય અને 1ની વચ્ચે હોય છે.
Wને કુલ ઉત્સર્જનશક્તિ કહે છે અને σ(sigma)ને સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમન અચળાંક કહે છે.
ઉપર્યુક્ત નિયમ બોલ્ટ્ઝમને 1884માં ઉષ્માગતિશાસ્ત્રની મદદથી સૈદ્ધાંતિક રીતે તારવ્યો હતો, તેથી તે સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમનનો નિયમ કહેવાય છે.
જો T1 નિરપેક્ષ તાપમાનવાળા પદાર્થને T2 નિરપેક્ષ તાપમાનવાળા પરિસર(surrounding)માં મૂક્યો હોય તો પદાર્થની એકમ ક્ષેત્રફળની સપાટી દ્વારા એક સેકંડમાં ગુમાવાતી ચોખ્ખી વિકિરણ-ઊર્જા
વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ (spectral emissive power) : આપેલ તાપમાને પદાર્થની એકમ ક્ષેત્રફળની સપાટી પરથી એક સેકંડમાં આપેલી તરંગલંબાઈ પાસેના એકમ ગાળામાં ઉત્સર્જાતી વિકિરણ-ઊર્જાને, તે પદાર્થની, તે તાપમાને, તે તરંગલંબાઈ માટેની, વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ કહે છે. તેને Wλ વડે દર્શાવતાં,
ઓગણીસમી સદીના અંતે અને વીસમી સદીના પ્રારંભે વૈજ્ઞાનિકો, વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ તાપમાન અને તરંગલંબાઈ પર કેવી રીતે આધારિત હોય છે તેની સમજૂતી મેળવવામાં રોકાયેલા હતા. સહજ રીતે જ તેમણે તત્કાલીન અસ્તિત્વ ધરાવતા ભૌતિકશાસ્ત્રના મૂળભૂત ખ્યાલોમાંથી તેને સમજવાના પ્રયત્નો કર્યા, જેમાં તેઓ નિષ્ફળ ગયા અને ક્વૉન્ટમવાદનો ઉદભવ થયો.
કિર્કોફનો નિયમ (Kirchoff’s law) : આ નિયમ કુલ ઉત્સર્જનશક્તિ અને શોષકતા વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. તદનુસાર ઉત્સર્જનશક્તિ અને શોષણશક્તિનો ગુણોત્તર, સમાન તાપમાને રહેલા બધા જ પદાર્થ માટે એકસરખો હોય છે અને તેનું મૂલ્ય આ જ તાપમાને રહેલા સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થની ઉત્સર્જનશક્તિ કે ઉત્સર્જકતા જેટલું હોય છે. આ નિયમ કોઈ પણ તરંગલંબાઈ માટે સાચો છે. એ દર્શાવે છે કે શોષકતાનું મહત્તમ મૂલ્ય 1 હોઈ શકે તથા જેમ શોષકતાનું મૂલ્ય ઓછું તેમ પદાર્થની ઉત્સર્જકતા પણ ઓછી. માટે જેમ સંપૂર્ણ કાળો પદાર્થ સૌથી વધારે વિકિરણ ઊર્જા શોષી શકે છે તે જ પ્રમાણે તે સૌથી વધારે ઉત્સર્જન પણ કરી શકે છે. તેથી સમી. (1)માં સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થ માટે e = a = 1 મૂકી શકાય અને તેથી જ સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થની ઉત્સર્જનશક્તિ માત્ર તાપમાન પર જ આધાર રાખે છે. આ સંજોગોમાં વર્ણપટીય ઉત્સર્જન-શક્તિનો અભ્યાસ, વિશેષ રીતે કાળા પદાર્થ માટે ઘણો જ રસપ્રદ બને છે.
કુદરતમાં સંપૂર્ણ કાળો પદાર્થ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી તેમ છતાં દીવાની મેશ (lamp black), ચોખ્ખું કાળું વાર્નિશ (flat black lacquer), સ્ટીલની ખરબચડી તકતી તથા ઍસ્બેસ્ટૉસ, તેમના પર આપાત થતાં વિકિરણમાંથી બહુ જ થોડા પ્રતિશત વિકિરણનું પરાવર્તન કરી બાકીના બધાનું ઉત્સર્જન કરે છે. તેથી આ અર્થમાં તે બધાંને લગભગ સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય.
સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થના વિકિરણના સ્રોત (source) તરીકે વિવિધ રીતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોઈ લાંબી નળીની ફરતે વિદ્યુતવાહક તાર વીંટાળી, નળીના અંદરના ભાગને કાળા રંગથી રંગી, તારમાંથી યોગ્ય વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરી, નળીની દીવાલમાં પાડવામાં આવેલ સૂક્ષ્મ છિદ્રમાંથી બહાર આવતું વિકિરણ તે જ તાપમાને રહેલા સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થના વિકિરણની ગરજ સારે છે.
ગમે તે આકાર કે ગમે તે પદાર્થના બનેલા પાત્રની અંદરની દીવાલો કાળા રંગથી રંગી, પાત્રની દીવાલમાં સૂક્ષ્મ છિદ્ર પાડી પાત્રને ગરમ કરતાં છિદ્રમાંથી બહાર આવતું વિકિરણ, પાત્રના તાપમાને રહેલા સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થના વિકિરણની ગરજ સારે છે.
પ્રાયોગિક અભ્યાસમાં મહદંશે ઉપર દર્શાવેલ નળીનો ઉપયોગ થાય છે. નળીની અક્ષ પર ગોઠવેલા યોગ્ય થર્મોકપલ વડે, નળીનું તાપમાન માપી શકાય છે. છિદ્રમાંથી બહાર આવતાં વિકિરણનું વર્ણપટીય વિતરણ સ્પેક્ટ્રોમીટર વડે મળે છે. તેને માટે વપરાતા પ્રિઝમ સાદા કાચને બદલે સિંધવ (rock salt), ક્વાર્ટ્ઝ (રેતી) કે ફ્લોરાઇટના બનેલા હોય છે. કારણ કે સાદો કાચ પારરક્ત-કિરણોનું શોષણ કરતો હોવાથી તેમને માટે તે લગભગ અપારદર્શક છે.
પ્રિઝમમાંથી વક્રીભૂત થઈને જુદી જુદી દિશામાં પ્રસરણ પામતાં વિકિરણોને ઊર્જામાપક રચનાઓ પર આપાત થવા દેવામાં આવે છે. આવી એક રચનામાં થર્મોપાઇલનો ઉપયોગ થાય છે. થર્મોપાઇલનાં એક તરફનાં કાળાં રંગેલાં જંક્શનો પર વિકિરણ આપાત થતાં તેમનું તાપમાન બીજી બાજુ પરનાં જંક્શન કરતાં વધે છે. પરિણામે વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે, જેને વોલ્ટેજ-સંવેદિત ગૅલ્વેનૉમિટરમાંથી પસાર કરતાં, તેના દર્શકના કોણાવર્તન પરથી સંબંધિત તરંગલંબાઈને અનુરૂપ પદાર્થની વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિનું માપ મેળવવામાં આવે છે. આમ વર્ણપટની ઉત્સર્જનશક્તિ તરંગલંબાઈના વિધેય તરીકે માપી શકાય છે.
બીજી ઊર્જામાપક રચનામાં બોલૉમિટરનો ઉપયોગ થાય છે. બોલૉમિટરમાં કાળી રંગેલી એક પટ્ટી હોય છે, જેની સાથેના યોગ્ય વિદ્યુતજોડાણ દ્વારા તેને સંવેદિત વ્હીટ્સ્ટન બ્રિજના એક ભુજમાં જોડવામાં આવે છે. કોઈ વિકિરણ આ પટ્ટી પર આપાત થાય ત્યારે તેનું તાપમાન વધે છે. પરિણામે તેના અવરોધમાં ફેરફાર થાય છે, જે વ્હીટ્સ્ટન બ્રિજ વડે માપી શકાય છે. બોલૉમિટર બહુ જ સંવેદી રચના છે અને તાપમાનમાં થતા સૂક્ષ્મ ફેરફાર પણ તેના વડે નોંધી શકાય છે. તેથી વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ માપવા માટે આ રચનાનો વિશેષ ઉપયોગ થાય છે.
ઉપરની આકૃતિમાં જુદા જુદા તાપમાને સંપૂર્ણ કાળા પદાર્થની વર્ણપટ-ઉત્સર્જનશક્તિનાં માપેલાં મૂલ્યો તરંગલંબાઈના વિધેયરૂપે દર્શાવેલાં છે.
આલેખ દર્શાવે છે કે
(i) ખૂબ નાની અને ખૂબ મોટી તરંગલંબાઈ માટે વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ Wλનાં મૂલ્યો ખૂબ નાનાં છે.
(ii) આપેલા તાપમાને કોઈ એક તરંગલંબાઈ (λm) માટે વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ Wλ મહત્તમ બને છે. [λm = મહત્તમ (maximum) વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ]
(iii) જેમ તાપમાન વધે તેમ λmનું મૂલ્ય ઘટતું જાય છે અને મહત્તમ ઊર્જાનું મૂલ્ય વધતું જાય છે. આ વક્રો લુમેર અને પ્રિંગશીમે 1899માં પ્રાયોગિક રીતે મેળવ્યા હતા.
વસ્તુત: જાણીતા નિયમો અને વાદના સંદર્ભમાં આ વક્રોની સમજૂતી આપવી એ તત્કાલીન વૈજ્ઞાનિકો માટે એક કોયડો હતો.
આ દિશામાં મુખ્યત્વે બે મોટા પ્રયત્નો થયા : 1893માં વિન નામના વૈજ્ઞાનિકે પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્ર(classical mechanics)નો ઉપયોગ કરીને આ વક્રોની કેટલીક લાક્ષણિકતાઓ સમજાવવામાં સફળતા મેળવી.
સૈદ્ધાંતિક અભ્યાસમાં વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિ(Wλ)ને બદલે એકમ કદદીઠ વર્ણપટ-ઉત્સર્જનશક્તિ(Uλ)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેને એકરંગી ઊર્જા-ઘનતા (monochromatic energy density) કહે છે. એવું સાબિત કરી શકાય છે કે એકરંગી ઊર્જા-ઘનતા એ વર્ણપટીય ઉત્સર્જનશક્તિના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને સમપ્રમાણતાનો અચળાંક પ્રયોગના સાધનની ગોઠવણીની ભૂમિતિ પર આધાર રાખે છે.
મૅક્સવેલના વિદ્યુતચુંબકીય વાદ અનુસાર વિકિરણ, પોતાને સમાવતા પાત્રની દીવાલો પર દબાણ (radiation pressure) લાગુ પાડી શકે છે, જે વિકિરણ ઊર્જા-ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી વિલહેલ્મ વિને વિકિરણને ઉષ્મા-એન્જિનના કાર્યકારી પદાર્થ તરીકે લઈ, તેના પર ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ તેમજ બીજા નિયમનો ઉપયોગ કર્યો.
તેણે એકરંગી વિકિરણને ધ્યાનમાં લઈ વિચાર્યું કે ‘આવા વિકિરણનું સમોષ્મી વિસ્તરણ (adiabatic expansion) કરવામાં આવે તો શું થાય ?’ વિશ્લેષણને આધારે તેણે સાબિત કર્યું કે
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે વિકિરણનું સમોષ્મી વિસ્તરણ કે સંકુચન (compression) કરતાં, તરંગલંબાઈ અને તાપમાનમાં એ પ્રમાણે ફેરફારો થાય છે કે જેથી ગુણાકાર λmT અચળ રહે છે.
આ ઉપરાંત વિને, વિકિરણ પરની સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે એક બીજો સંબંધ પણ સ્થાપિત કર્યો.
આ સૂત્ર અનુસાર વિકિરણનું સમોષ્મી વિસ્તરણ કે સંકુચન થતાં, એકરંગી ઊર્જા-ઘનતા અને તાપમાનમાં એ પ્રકારના જ ફેરફારો થાય છે,
ઉપર્યુક્ત બંને સંબંધો જો એકીસાથે સાચા હોય તો –
અહીં f (λT) એ ગુણાકાર (λT)નું કોઈ વિધેય છે. સમી. (3) અને (4) સંયુક્ત રીતે અથવા સમી. (5) વિનના સ્થળાંતરના નિયમ તરીકે ઓળખાય છે.
આ નિયમ માત્ર ઉષ્માગતિશાસ્ત્ર ઉપરથી મેળવેલો હોવાથી અને તેમાં ઉત્સર્જકનો કોઈ ઉલ્લેખ થતો ન હોવાથી, Uλનો λ અને T વચ્ચે કોઈ વિશિષ્ટ સંબંધ મળતો નથી. f(λT) વિધેયને સ્પષ્ટ રૂપમાં મેળવવા માટે ઉત્સર્જકના કોઈ ચોક્કસ મૉડેલનો ખ્યાલ હોવો જોઈએ. 1896માં વિને ઉત્સર્જકના એક મૉડેલ વડે (λT)નું સ્પષ્ટ સ્વરૂપ મેળવ્યું. તેણે ધાર્યું કે ઉત્સર્જક તરીકે દોલકો (oscillators) હોય છે. આ દોલકોનું માપ અણુઓના માપ જેટલું હોય છે અને તેમના વડે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ, તેમની ગતિ-ઊર્જાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વળી આપેલી તરંગલંબાઈ માટે વિકિરણની તીવ્રતા, આ વિકિરણ માટે જરૂરી એવી ઊર્જાવાળા દોલકોની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ ખ્યાલના આધારે વિને Uλ માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવ્યું :
અહીં C1 અને C2 અચળાંકો છે. આ સૂત્ર પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલા વક્રોના નાની તરંગલંબાઈવાળા વિભાગ સાથે બંધબેસતું આવે છે, પરંતુ પ્રાયોગિક વક્રના મોટી તરંગલંબાઈવાળા વિભાગને તે સમજાવી શકતું નથી.
રૅલે અને જીન્સ નામના વૈજ્ઞાનિકોએ વિકિરણ ઊર્જા-વિતરણ વક્રો સમજાવવા માટે એક બીજો પ્રયત્ન કર્યો.
તેમણે ઘન આકારના પોલાણ(cavity)માં રહેલ વિકિરણને સ્થિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે ધ્યાનમાં લીધાં. તેમણે જેની આવૃત્તિ ν અને ν + dv વચ્ચે હોય તેવા ‘સ્થિત તરંગો’(normal modes of oscillations)ની સંખ્યા શોધી કાઢી અને દરેક સ્થિત તરંગોની સરેરાશ ઊર્જા આંકડાશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી. તદનુસાર જેમની આવૃત્તિ ν અને ν + dv વચ્ચે હોય તેવા તરંગોની સંખ્યા.
અહીં C = પ્રકાશનો વેગ છે.
હવે દરેક સ્થિત તરંગને હાર્મોનિક દોલક તરીકે વર્તતી વિદ્યુત દ્વિ-ધ્રુવી(electric dipole)માંથી નિર્માણ પામતું ગણી શકાય, એટલે કે ν આવૃત્તિવાળો સ્થિત તરંગ એ ν આવૃત્તિવાળી દ્વિ-ધ્રુવીમાંથી મળે છે તેમ ગણી શકાય. આ સ્થિતિમાં સમી. (5), જેમની આવૃત્તિ v અને v + dv વચ્ચે હોય એવા વિદ્યુત દ્વિ-ધ્રુવી દોલકોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
હવે પ્રચલિત આંકડાશાસ્ત્ર અનુસાર આવા દોલકની સરેરાશ ઊર્જા = kT. આ હકીકતનો સમીકરણ (5) સાથે ઉપયોગ કરતાં, સમી.
આ સૂત્રને રૅલે-જીન્સનો નિયમ કહે છે. આ નિયમ મોટી તરંગલંબાઈને અનુરૂપ પ્રાયોગિક વક્રોને સારી રીતે સમજાવી શકે છે, પરંતુ નાની તરંગલંબાઈના તે વક્રોને સમજાવી શકતો નથી. એટલું જ નહિ પણ આ નિયમ ખરેખર તો એક આફત ઊભી કરે છે, જે ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ‘અલ્ટ્રાવાયોલેટ કેટૅસ્ટ્રોફી’ તરીકે ઓળખાય છે.
વિકિરણની કુલ ઊર્જા-ઘનતા
T = શૂન્ય સિવાયના બધા તાપમાન માટે આ સંકલનનું મૂલ્ય અનંત બને છે, જે દર્શાવે છે કે T = શૂન્ય સિવાયના અન્ય તાપમાને વિકિરણ ઊર્જા-ઘનતા અનંત છે ! ખરી મુશ્કેલી આ છે.
મૅક્સવેલના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગવાદ અનુસાર દરેક સ્થિત તરંગ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રનો મુક્તતાનો અંશ (degree of freedom) રજૂ કરે છે. આમ પાત્રમાં અનંત સંખ્યામાં મુક્તતાના અંશો મળે છે અને પાત્રમાંની પરિમિત વિકિરણ-ઊર્જાને, અનંત સંખ્યાના મુક્તતાના અંશો વચ્ચે વહેંચીએ તો દરેક મુક્તતાના અંશદીઠ શૂન્ય ઊર્જા મળે !
આ પરિસ્થિતિમાં વૈજ્ઞાનિક પ્લાન્કે ક્રાંતિકારી વિચારધારા રજૂ કરી : પ્લાન્કના મત અનુસાર પાત્રમાંનો દરેક મોડ ઑવ્ ઑસિલેશન કે જે દરેક સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે, તેને સરળ આવર્ત દોલક (simple harmonic oscillator) ગણી શકાય. બીજા ર્દષ્ટિબિંદુથી વિચારીએ તો પાત્રની દીવાલો સરળ આવર્ત દોલન કરતા વિદ્યુત દ્વિ-ધ્રુવી દોલકોની બનેલી કલ્પી શકાય અને આવી દ્વિ-ધ્રુવી પોતાની આવૃત્તિ જેટલી જ આવૃત્તિવાળા વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે તેમ ગણી શકાય. અહીં પ્લાન્કે એવો વિચાર રજૂ કર્યો કે આ દોલકો, પ્રચલિત સરળ આવર્ત દોલકોની જેમ ઊર્જાનાં બધાં જ સતત મૂલ્યો ધરાવી શકે નહિ. v આવૃત્તિ ધરાવતા દોલકની શક્ય ઊર્જા nhv જ હોઈ શકે. જ્યાં n = 1, 2 … વગેરે પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. આવા દોલકને 1.5 hv, 3.6 hv … વગેરે જેવી અપૂર્ણાંક ગુણકવાળી ઊર્જા હોઈ શકે નહિ. આમ ν આવૃત્તિવાળો દોલક hv જેટલી લઘુતમ ઊર્જા ધરાવે છે (nનું લઘુતમ મૂલ્ય = 1). ઊર્જાના આ લઘુતમ મૂલ્યને (જે ઊર્જાનો ક્વૉન્ટમ છે) તેને ફોટૉન કહે છે. આવો દોલક વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે ત્યારે તે વિકિરણ-ઊર્જા hvના નિશ્ચિત જથ્થામાં જ હોય છે અર્થાત્ v આવૃત્તિવાળા વિકિરણને hv ઊર્જાના ફોટૉનના સમૂહ તરીકે લઈ શકાય. આવા ખ્યાલની મદદથી પ્લાન્કે એક દોલકદીઠ સરેરાશ ઊર્જા શોધી અને તેને v અને v + dv વચ્ચેની આવૃત્તિ સાથે દોલન કરતા દોલકોની સંખ્યા વડે ગુણી Uv માટે નીચેનું સૂત્ર પ્રસ્થાપિત કર્યું :
પ્લાન્કનો આ વિતરણનિયમ, ઊર્જાવિતરણ-વક્રોને સારી રીતે સમજાવે છે. વળી તેના એક વિશિષ્ટ કિસ્સારૂપે વાઇન અને રૅલે-જીન્સ નિયમો પણ તારવી શકાય છે અને તેના પરથી સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમન નિયમ પણ મેળવી શકાય છે.
જ્યારે દોલક ક્વૉન્ટમીકૃત ઉચ્ચ ઊર્જાસ્તર(quantised high energy level)માંથી તેની પછીના નીચેના ઊર્જા-સ્તરમાં સંક્રાંતિ (transition) પામે છે ત્યારે hv જેટલા ઊર્જાના જથ્થાનું ઉત્સર્જન થાય છે. આ જથ્થો વસ્તુત: તત્કાળ ઉત્સર્જાય છે. હવે આ વિકિરણ વચ્ચેના અવકાશમાં ν આવૃત્તિવાળા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે વર્તતું હોય તો તે એક દીવાલ પરથી ફોટૉનરૂપે ઉત્સર્જાઈને સામેની દીવાલ પર પહોંચે ત્યારે તેનો તરંગ-અગ્ર સારા પ્રમાણમાં વિસ્તરણ પામી ગયો હોય. આવી સ્થિતિમાં સામેની દીવાલ, hv ઊર્જા તત્કાળ એકઠી કરીને ફોટૉનના સ્વરૂપમાં શોષણ કરી શકે નહીં. આવા પ્રશ્નમાંથી માર્ગ કાઢવા માટે પ્લાન્કે ધાર્યું કે માત્ર ઉત્સર્જન ફોટૉનના સ્વરૂપમાં થાય છે, પરંતુ શોષણ તો સતત થાય છે. જ્યારે કોઈ દોલક વિકિરણનું શોષણ સતત રીતે કરતો કરતો તેના ઊર્જા-સ્તરો hv, 2hv … વગેરે પર પહોંચે છે ત્યારે તે તત્કાળ hvના રૂપમાં ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. આવી વિચારધારા પ્લાન્કના ક્વૉન્ટમવાદનું બીજું સ્વરૂપ (second form) રજૂ કરે છે.
જોકે હવે સઘન રીતે ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રીય રીતો વાપરીને વિકિરણનું ક્વૉન્ટમીકરણ કરી શકાય છે અને ફોટૉનનો ખ્યાલ વધારે સારી રીતે સમજી શકાય છે.
વિનોદ ભગવાનભાઈ ગોહેલ