એકરૂપતા (isomorphism) : જુદાં જુદાં ગણિતીય માળખાં વચ્ચેનું સામ્ય દર્શાવતી સંકલ્પના. એકરૂપતાનો ખ્યાલ ગણિતમાં અત્યંત મૂળભૂત મહત્વ ધરાવતો ખ્યાલ છે. ગણિતની એક મહત્વની સિદ્ધિ એ છે કે તે અનેક પ્રકારની વિભિન્ન પરિસ્થિતિઓમાંનાં સામાન્ય તત્વો શોધી કાઢી એવાં તત્વોનો અભ્યાસ કરી એ બધી જ પરિસ્થિતિઓને લાગુ પડે એવા સિદ્ધાંતો તારવે છે. આ જ કારણે ગણિતના સિદ્ધાંતો ખૂબ વ્યાપક રીતે ઉપયોગી નીવડ્યા છે.
ગણિતમાં અંતતોગત્વા હંમેશાં કોઈ ગણ(set)નો અભ્યાસ થતો હોય છે. એ ગણ સંખ્યાઓનો હોય કે બિંદુઓનો હોય કે અમુક પ્રકારના સંબંધોનો હોય કે અન્ય કોઈ રાશિનો હોય. એ ગણ પર એક માળખું રચવામાં આવે છે. આ માટે ગણમાં સરવાળા કે ગુણાકાર જેવી ક્રિયાઓ દાખલ કરવામાં આવે તો તે માળખાને બીજગણિતીય માળખું કહેવાય. જો ગણના સભ્યો વચ્ચેના અંતરનો ખ્યાલ દાખલ કરવામાં આવે અથવા અન્ય કોઈ રીતે ગણમાં ‘ની પાસે હોવું’, ‘ની અંદર હોવું’, ‘ની બહાર હોવું’, જેવા ખ્યાલો દાખલ કરવામાં આવે તો તે દરેક માળખાને સ્થાનવિદ્યાકીય (topological) માળખું કહેવાય. જો ગણના સભ્યોને બિંદુઓ કહીએ તથા તેના અમુક ઉપગણોને રેખા, વક્ર, સમતલ વગેરે કહી આ બધા વચ્ચેના આંતર-સંબંધો વ્યક્ત કરતી પૂર્વધારણાઓ લઈએ તો ભૌમિતિક માળખું મળે.
ઘણીવાર એવું બને કે બે જુદા જુદા ગણ લઈ ઊભાં કરેલાં માળખાં એકરૂપ હોય છે એટલે કે તેમના સભ્યો તો અલગ અલગ હોય પણ બંને માળખાંમાં એકસરખા જ ગુણધર્મો હોય. એક ર્દષ્ટાંત લઈ આ વાત સમજીએ.
ગણ S = {0, 1} લઈ તેના પર સરવાળાની ક્રિયા આ રીતે દાખલ કરીએ :
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. ગણ T = {a, b} લઈ તેના પર પણ સરવાળાની ક્રિયા આ રીતે દાખલ કરીએ : a + a = a, a + b = b + a = b, b + b = a આમાં તરત જ દેખાશે કે આ બે માળખાંમાં મૂળ ગણ જુદા છે એટલું જ. બાકી ઉપરનું માળખું તો સરખું જ છે.
0ને સ્થાને a અને 1ના સ્થાને b લઈએ એટલે પહેલા માળખામાંથી તરત જ બીજું માળખું મળે. બીજી રીતે કહીએ તો પહેલા માળખાનો કોઈ પણ ગુણધર્મ હોય અને એ ગુણધર્મમાં માત્ર 0ને બદલે a તથા 1ને બદલે b લખીએ તો આપણને બીજા માળખાનો એક ગુણધર્મ મળે. દા.ત., 1 + 1 + 1 = 1 છે, તો b + b + b = b પણ છે જ. એથી ઊલટું, બીજા માળખાનો કોઈ ગુણધર્મ આપ્યો હોય તો તેમાંથી પહેલા માળખાનો ગુણધર્મ મળે. બંને માળખાંમાં એકસરખા ગુણધર્મો છે અને માટે જ તે બંને એકરૂપ છે તેમ આપણે કહીએ છીએ, તથા f : S → T જેમાં F (0) = a, f (1) = 6ને એકરૂપતા કહેવાય છે. આ તો થઈ બે બીજગણિતીય માળખાં વચ્ચેની એકરૂપતાની વાત. આ જ રીતે બે સ્થાનવિદ્યાયુક્ત માળખાં વચ્ચે પણ એકરૂપતા (homeomorphism) હોઈ શકે છે. ભૂમિતિમાં બે ત્રિકોણો વચ્ચે એકરૂપતા(congruence)નો ખ્યાલ જાણીતો છે.
ઘણીવાર ગણિત સિવાયનાં ક્ષેત્રોમાં ઊભાં થતાં ગણિતીય માળખાં, ગણિતમાં જેનો ખૂબ અભ્યાસ થઈ ચૂક્યો હોય એવાં માળખાં સાથે એકરૂપ છે એવું જણાય, ત્યારે એ માળખાં વિશે ગણિત પાસેથી વિશદ માહિતી તૈયાર મળે છે. આઇન્સ્ટાઇને જ્યારે સમય અને અવકાશની ભૂમિતિનું માળખું બનાવ્યું ત્યારે તેમણે જોયું કે દાયકાઓ પહેલાં રીમાન્ને એની સાથે એકરૂપ એવા અન્ય એક માળખાનો અભ્યાસ કર્યો હતો. તેને કારણે આઇન્સ્ટાઇનનું કામ સરળ બન્યું.
અરુણ વૈદ્ય