આકાશી યાંત્રિકી

આકાશી યાંત્રિકી (celestial mechanics) : આકાશી પદાર્થોની ગતિના ગણિતીય સિદ્ધાંત સાથે સંબંધ ધરાવતી ખગોળશાસ્ત્રની શાખા. સર આઇઝેક ન્યૂટને તેના વિખ્યાત ગ્રંથ ‘પ્રિન્સિપિયા’નું 1687માં પ્રકાશન કર્યું અને આ શાખાનો પાયો નાખ્યો. આ પહેલાં યોહાનેસ કૅપ્લરે ગ્રહોની ગતિના અવલોકન ઉપરથી નીચેના ત્રણ નિયમો તારવ્યા હતા : (1) ગ્રહોનો ગતિમાર્ગ ઉપવલયાકાર (ellipse) હોય છે અને સૂર્ય આ ઉપવલયના એક કેન્દ્રસ્થાને હોય છે. (2) સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ (radius vector) સરખા સમયગાળામાં સરખું ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે એટલે કે ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. (3) ગ્રહોના આવર્તકાલના વર્ગ સૂર્યથી તેમના સરેરાશ (mean) અંતરના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

વળી, ગેલીલિયોએ પૃથ્વી ઉપર અને નજીક પદાર્થોની ગતિના વિશ્લેષણ (analysis) માટેની વિધિ દર્શાવી હતી અને તેનું પ્રયોગ દ્વારા નિદર્શન પણ કર્યું હતું. પણ આ બધી કુદરતી ઘટનાઓમાં જણાતી વિવધતાઓમાં એકસૂત્રતા દર્શાવતા વૈજ્ઞાનિક નિયમોની ઊણપ વરતાતી હતી ત્યારે એ સમયના આ કૂટ પ્રશ્નનો ઉકેલ ન્યૂટને તેના ‘પ્રિન્સિપિયા’ દ્વારા આપ્યો.

ન્યૂટને તેના ત્રણ ગતિનિયમો આપ્યો. ગતિવિજ્ઞાન આ નિયમોને અનુસરે છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

(1) દરેક કણ સ્થિર રહે છે અથવા સુરેખામાં એકધારી ગતિમાં ચાલુ રહે છે; સિવાય કે પ્રેરિત બળથી એ ગતિ બદલવામાં આવે.

(2) સંવેગ (momentum)નો ફેરફારનો દર પ્રેરિત બળ(force)ના પ્રમાણમાં હોય છે અને તે બળની કાર્યદિશામાં થાય છે.

(3) ક્રિયા (acttion) અને પ્રતિક્રિયા (reaction) સમાન માત્રાની અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

બીજા નિયમ પ્રમાણે જો m દ્રવ્યમાનવાળા અને v વેગવાળા કોઈ કણ ઉપર F બળ કાર્ય કરે તો સંવેગ mV ના ફેરફારનો દર F ના પ્રમાણમાં હોય,

તેથી

(a પ્રવેગ, acceleration)

બળના એકમની યોગ્ય પસંદગીથી આ સૂત્ર F = ma તરીકે મેળવી શકાય. આમ બળના માપ માટેનું સૂત્ર મળ્યું.

વળી વિશ્વના સઘળા પદાર્થો વચ્ચે આકર્ષણ હોય છે એમ જણાવી ન્યૂટને નીચેનો ગુરુત્વાકર્ષણ(gravitation)નો સાર્વત્રિક નિયમ આપ્યો : કોઈ પણ બે કણ વચ્ચેનું પરસ્પર આકર્ષણબળ તેમના દ્રવ્યમાનના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. આ બળ તે કણોને જોડતી રેખામાં કાર્ય કરે છે. આમ જો સૂર્ય અને કોઈ એક ગ્રહનાં દ્રવ્યમાન (દળ mass) અનુક્રમે M અને m હોય અને તેમની વચ્ચેનું અંતર r હોય તો ગ્રહ પર સૂર્ય તરફનું આકર્ષણ બળ GMm/r² થાય, અને તેથી ગ્રહના એકમ દ્રવ્યમાને આકર્ષણ બળ F = GMm/r² = μ/r² થાય (જ્યાં GM = બધા ગ્રહો માટેનો અચલ)

ન્યૂટનના આ નિયમો દ્વારા આકાશી યંત્રશાસ્ત્ર(યાંત્રિકી)ના કોઈ પણ પ્રશ્નમાંના ગતિસમીકરણોનું બીજી કક્ષા(second order)ના વિકલ સમીકરણો(differential equations)ની સંહતિમાં રૂપાંતર થાય છે અને પછી તેનો ગતિમાર્ગ નક્કી થાય છે. કૅપ્લરના પહેલા નિયમથી ઉપવલયી કક્ષાનું સમીકરણ,

……….(1) મળે.

(જ્યાં u = 1/r, e = ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા, 1 = તેનો અર્ધનાભિલંબ)

આકૃતિમાં કોઈ t સમયે O આગળ સૂર્યનું સ્થાન અને A આગળ ગ્રહનું સ્થાન છે. અંતર OA = r અને ∠XOA = θ લઈએ તો Aના ધ્રુવીય યામ (r, θ) જ્યાં O ધ્રુવ અને  મૂળ કિરણ છે.

જો OA રેખા δt સમયમાં δθ ખૂણો ફરે તો OAથી રચાતું અલ્પ ક્ષેત્રફળ

તેથી

કેપ્લરના બીજા નિયમ અનુસાર ક્ષેત્રફળના ફેરફારનો દર = δA/δt = 1/2  = અચલ છે. તેથી  = h = અચલ છે. પણ Aનો ત્રિજ્યા OAને લંબ દિશામાંનો પ્રવેગ = 1/r δ/δt () સાબિત કરી શકાય. તેથી ગ્રહ A ઉપર આ દિશામાં પ્રવેગ = 0 થાય. તેથી તેના પર લાગતું બળ માત્ર  દિશામાં છે. એટલે કે આ બળ કેન્દ્રીય છે.

A પર  દિશામાંના ત્રિજ્યા પ્રવેગ (radial acceleration) = r –  સાબિત કરી શકાય. [r = d²r/dt²]

પણ ગ્રહ A પર  દિશામાં લાગતો પ્રવેગ = p હોવાથી

r –  = -P એવું પરિણામ મળે. આમાં r = 1/u લેતાં અને ગણિતીય આદેશ કરતાં, ગ્રહની કક્ષા માટેનું વિકલ સમીકરણ.

P = h² u² (u + d²u/dθ²) મળે.

હવે, (1)માંથી આદેશ કરતાં,

P = h² u² (1 + ecosθ/1  ecosθ/1) =

h²u²/1 = μu² = μ/r²

જ્યાં μ = h²/1 …………………….(2)

આમ આ કેન્દ્રીય ગતિ બળ μ/r² ના નિયમને અનુસરે છે.

ઉપવલયી કક્ષાનો આવર્તકાલ [a, b ઉપવલયના પ્રધાન અને ગૌણ અર્ધાક્ષો છે.]

તેથી T² = (4π²/μ)a³

કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ અનુસાર T² ∝ a³ તેથી μ અચલ છે એટલે કે બધા ગ્રહો માટે μ ની કિંમત એક જ છે.

આમ કૅપ્લરે તારવેલા નિયમો અને ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા મેળવેલાં પરિણામો એકરૂપ છે. વળી બે પદાર્થોના પ્રશ્નમાં ન્યૂટનના નિયમ પ્રયોજિત કરીને કેપ્લરના નિયમો મેળવી શકાય.

પછી વધુ વિકટ ત્રણ પદાર્થોનો પ્રશ્ન આવ્યો. સૂર્યમાળામાં સૂર્ય અને નવ પ્રચલિત મુખ્ય ગ્રહો (જેમાંના ત્રણ સિવાયના બાકીના એક કે વધુ ઉપગ્રહો ધરાવે છે) એ અનેક પદાર્થોનો પ્રશ્ન બને છે. સૂર્યનું દ્રવ્યમાન, સૌથી અધિક દ્રવ્યમાનવાળા ગ્રહ ગુરુ કરતાં લગભગ એક હજારગણું છે એ સૂચક પરિસ્થિતિમાં ગ્રહો વચ્ચેના પરસ્પર આકર્ષણ કરતાં સૂર્યનું આકર્ષણ ઘણું વધી જાય એવું બને. આને લઈને ક્રમિક આસાદન(successive approximation)ની ક્રિયા ગ્રહોની ગતિના ગણિતીય વાદમાં સામાન્યત: વપરાય છે. ઉપવલયી ગતિમાં થતા ફેરફારોને વિક્ષોભ (perturbations) કહે છે. સૂર્યને અતિ મોટું દ્રવ્યમાન હોવા છતાં, પૃથ્વી ચંદ્રથી સૂર્ય કરતાં ઘણી નજીક હોવાને કારણે ચંદ્ર પર સૂર્યના આકર્ષણની અસર, પૃથ્વીના આકર્ષણની અસરનો અલ્પ ભાગ જ થાય છે અને તેથી ચંદ્રની ગતિની બાબતમાં પૃથ્વી જ મુખ્ય આકર્ષણ ઉત્પન્ન કરે છે. પણ બીજા કેટલાક ઉપગ્રહોની બાબતમાં સૂર્યના આકર્ષણથી ઉત્પન્ન થતા વિક્ષોભ મોટા પણ હોઈ શકે.

અઢારમી સદીમાં વિકલનક્રિયા અને સંકલનક્રિયાના વિકાસથી પરિણમતી પ્રબળ વૈશ્લેષિક પદ્ધતિઓ આકાશી યંત્રશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં પ્રયોજિત કરવામાં આવી. સૂર્યમાળામાં પદાર્થની દર્શનીય ગતિ (observed motion) માટે કારણ આપવામાં તે ઉપયોગી હતી.

છતાં ચંદ્રની ગતિ આમાં અપવાદરૂપ હતી. છેવટે વીસમી સદીમાં એ પ્રશ્નનો ઉકેલ મળ્યો. એ સમયે અવલોકન (observation) અને સિદ્ધાંત (theory) દ્વારા મળતી ગતિ વચ્ચેનાં જણાતાં વિચલન (deviations) એ સિદ્ધાંતમાં ક્ષતિ હોવાના કારણથી નહિ, પણ પૃથ્વીના ભ્રમણની વિષમતાથી ઉદભવે છે એમ સિદ્ધ થયું. 1950માં આ ઉપરથી પંચાંગ સમય (ephemeris time) જે પૃથ્વીના ભ્રમણથી સ્વત્રંત, પણ ચંદ્ર અને સૂર્યની ગતિ પર આધારિત છે, તેનો સ્વીકાર થયો. આ પંચાંગ સમયને ન્યૂટોનિયન યંત્રશાસ્ત્રથી નિરપેક્ષ ચલ તરીકે લેખી શકાય.

ન્યૂટોનિયન ગતિના નિયમો અને ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ આકાશી પદાર્થોની ગતિનું નિયંત્રણ કરતા સાચા નિયમોનું આસાદન (approximation) છે, એમ હવે સ્વીકારવામાં આવે છે. સૂર્યની અતિ નજીકના ગ્રહ બુધના સૂર્યસમીપબિંદુ(perihelion)ની ગતિમાં અને બીજી થોડી ઘટનાઓમાં સાપેક્ષવાદની અસરની સૂક્ષ્મદર્શન દ્વારા ખાતરી થાય છે. બુધના સૂર્યસમીપબિંદુની ગતિમાં સાપેક્ષવાદ પ્રમાણે જરૂરી વધારો પ્રત્યેક સો વર્ષે ચાપના 43 સેકંડના માપ જેટલો છે, એ ચકાસાયું છે. આમ સાપેક્ષવાદની એક દર્શનીય સાબિતી આકાશી યંત્રશાસ્ત્ર દ્વારા પ્રાપ્ત થઈ છે.

આકાશી યંત્રશાસ્ત્રની એક શાખામાં પૃથ્વી અને બીજા મોટા ગ્રહો માટે ભ્રમણ કરતા પ્રવાહીઓ અને વાયુરૂપ દ્રવ્યમાનના ગુરુત્વાકર્ષીય સિદ્ધાંતની ચર્ચા થાય છે. ન્યૂટને સમુદ્રમાં ભરતીઓટ ચંદ્ર અને સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણથી ઉદભવે છે એમ દર્શાવ્યું હતું. સર જ્યૉર્જ (હોવાર્ડ) ડાર્વિને (1845-1912) ભરતીઓટનું વિશ્લેષણ અને તેમના ભવિષ્યકથન(prediction)ની આધુનિક પદ્ધતિઓનો વિકાસ કર્યો. આ ઉપરાંત તેમણે પૃથ્વી-ચંદ્ર સંહતિના તેમના લખાણમાં ભરતીઓટના સિદ્ધાંત સાથે બ્રહ્માંડોત્પત્તિ સિદ્ધાંતના વિષય(cosmogenic aspect)ની પણ ચર્ચા કરી છે.

ગ્રહોના વિક્ષોભની ચર્ચા માટેની એક અગત્યની પદ્ધતિ 1770માં ગણિતશાસ્ત્રી જૉસેફ લુઈ લાગ્રાન્જે (1736-1813) દાખલ કરી. ઉપવલયી કક્ષામાં કક્ષાના છ ઘટકોને અચલ કિંમતો હોય છે અને કોઈ પણ સમયે આ કિંમતો ત્રણ યામાંકો (coordinates) અને વેગના ત્રણ ઘટકોથી સંપૂર્ણત: નિર્ધારિત થાય છે. આમ નિર્ધારિત થતા ગ્રહની કક્ષાના ઘટકો સમય સાથે ચોક્કસ બદલાય છે, કારણ કે બીજા ગ્રહોનાં આકર્ષણો ઉપવલયથી ભિન્ન માર્ગને અનુસરવાનું તેના પર દબાણ કરે છે. તેથી ગ્રહની વિક્ષોભિત (perturbed) કક્ષાનું તેના ઘટકોને સમયના વિધેયરૂપે દર્શાવી વર્ણન કરી શકાય. લાગ્રાન્જની પદ્ધતિ ચલિત થતા આ ઘટકોના વિકલિતો માટે વિશ્ર્લેષિક પદાવલિઓ નિગમિત કરવા (deduce) માટેની રીત આપે છે.

ગ્રહોના ગતિવાદમાં રહેલી પ્રચ્છન્ન શક્તિનું સફળ નિદર્શન તો 1846માં નેપ્ચૂન ગ્રહની શોધ હતી. યુરેનસ ગ્રહની ગતિનાં વિચલનોના અભ્યાસમાંથી નેપ્ચૂનના અસ્તિત્વ અને તેના સ્થાન વિશે જે. સી. ઍડમ્સે (1819-1892) અને યૂ. જે. જે. લેવેરિયરે (1811-1877) વિસ્મય પમાડે તેવી ચોકસાઈથી ભવિષ્યકથન (prediction) કર્યું. પ્રયોગ દ્વારા તે સત્ય ઠર્યું. પછી તો આવા પ્રકારની પદ્ધતિઓ દ્વારા નેપ્ચૂનથી પણ દૂરના ગ્રહો શોધવા માટેના પ્રયાસ થયા. પણ 1930માં લોવેલ વેધશાળામાં પ્લૂટો ગ્રહની શોધ ગણિતીય સિદ્ધાંત ઉપરથી આવા ભવિષ્યકથનને નહિ, પણ પદ્ધતિસર તપાસમાં વપરાતા ખંતને આભારી છે.

આધુનિક સમયમાં કૃત્રિમ ઉપગ્રહોની અને અવકાશયાનોના ઉડ્ડયનની ગતિ નિર્ણીત કરવામાં આકાશી યંત્રશાસ્ત્ર ઉપયોગી હોવાથી, આ વિષયમાં નવો રસ ઉદભવ્યો છે. હવે તો આવા કોઈ પ્રશ્નોના ઉકેલ માટેની લાંબી લાંબી ગણતરીઓ અપૂર્વ ચોકસાઈથી ઇલેક્ટ્રૉનિક કૉમ્પ્યૂટરો વડે કરવામાં આવે છે. કરોડો વર્ષ માટે પરસ્પર અસર કરતા લાખો તારાઓ જે આકાર પ્રાપ્ત કરશે તે માટે અને પરસ્પર સંઘાત(encounters)થી આકાશગંગાના આકારો પર કેવી અસર પડશે તે માટેની ગણતરીઓ કમ્પ્યૂટરો વડે થાય છે. કમ્પ્યૂટરના પ્રવેશથી આ વિષયને નવું જોમ પ્રાપ્ત થયું છે.

હિંમતલાલ ચૂનીલાલ શુક્લ