เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจ

January, 2002

เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจ

เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ F (x; ฮธ) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชธเซ‚เชšเชฟเชค เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชชเชฐเชฟเชฐเซ‚เชช-(model)เชจเชพ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹เชจเชพ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจ เชนเซ‡เช เชณเชจเชพ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชชเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เช†เช—เชฃเชจ (estimation) เช•เชฐเชตเชพเชจเซ€ เช…เชฅเชตเชพ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹ เชตเชฟเชถเซ‡ เช•เชฐเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเซ€ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชจ เชฏเชพ เช‡เชจเซเช•เชพเชฐ เช•เชฐเชตเชพเชจเซ€ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชชเซเชฐเชฏเซ‹เชœเชตเชพเชจเซ‹ เช•เชธเชฌ. เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชจเซ€ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ€ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฒเช•เซเชทเซ€ เชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ‹เชจเชพ เชชเซเชฐเชตเชฐเซเชคเชฎเชพเชจ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเซ‹เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเชตเชนเชพเชฐเชฟเช• เช…เชจเซ‡ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชœเช—เชคเชจเซ€ เชตเซˆเชœเซเชžเชพเชจเชฟเช• เชขเชฌเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช†เชจเซเชญเชตเชฟเช• เชœเชพเชฃเช•เชพเชฐเซ€ เช•เซ‡ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เช…เชจเซเชฐเซ‚เชชเชคเชพ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชคเชคเชพ เชšเช•เชพเชธเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

1. เชชเซเชฐเชตเซ‡เชถ : เชฐเซ‹เชœเชฌเชฐเซ‹เชœเชจเชพ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช…เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชคเชคเชพ เชงเชฐเชพเชตเชคเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชง เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเช“ เชนเซ‡เช เชณ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏเซ‹ เชฒเซ‡เชตเชพเชจเชพ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช† เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏเซ‹ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟ เชตเชฐเซเชฃเชตเชคเซ€ เช•เซ‹เชˆเช• เช…เชœเซเชžเชพเชค เชฐเชพเชถเชฟ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชชเซเชค เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช†เช—เชฃเช•เซ‹ เช•เซ‡ เช…เชŸเช•เชณเซ‹เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชตเซ€เชœเชณเซ€เชจเชพ เช—เซ‹เชณเชพ เชฌเชจเชพเชตเชคเซเช‚ เช•เชพเชฐเช–เชพเชจเซเช‚ เช—เซเชฐเชพเชนเช•เซ‹เชจเซ‡ เช—เซ‹เชณเชพเชจเชพ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เช†เชฏเซเชทเซเชฏเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเช• (estimate) เชœเชฃเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡; เชจเช—เชฐเชชเชพเชฒเชฟเช•เชพ เชถเชนเซ‡เชฐเชจเซ€ เชธเซเชตเชฟเชงเชพเช“เชจเชพ เช†เชฏเซ‹เชœเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชถเชนเซ‡เชฐเชจเซ€ เชญเชพเชตเชฟ เชตเชธเซเชคเซ€เชจเซ‹ เช†เช—เชฃเช• เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡ เช›เซ‡, เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชจเซ‡ เชตเชฐเซเชฃเชตเชคเซ€ เชเช• เช…เชœเซเชžเชพเชค เชฐเชพเชถเชฟ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจ เชธเช‚เชฌเช‚เชงเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ x1, x2, ……, xn เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชšเชฟเชค เชธเชฎเชจเซเชตเชฏ เช•เชฐเซ€ ฮธเชจเซ‹ เชธเชพเชฐเซ‹ เช†เช—เชฃเช• เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ‹ เช›เซ‡. เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชธเชฎเชœ เช•เซ‡ เชœเซเชžเชพเชจเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช•เซ‡ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เช•เซ‡ เชฎเชงเซเชฏเช• เช†เช—เชฃเช• เชฅเชถเซ‡. n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเชพ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ mเชจเซ‡ เชชเชฃ ฮธเชจเซ‹ย  เช†เช—เชฃเช• เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เชพเชฏ.

เชนเชตเซ‡ ฮธเชจเชพ เชฌเซ‡ เช†เช—เชฃเช•เซ‹ เชฎเชงเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชชเซˆเช•เซ€เชจเซ‹ เช•เชฏเซ‹ เช†เช—เชฃเช• เชตเชงเชพเชฐเซ‡ เชธเชพเชฐเซ‹ เช…เชฅเชตเชพ เช•เชฏเชพ เชธเช‚เชœเซ‹เช—เซ‹เชฎเชพเช‚ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ , เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ M เช•เชฐเชคเชพเช‚ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเช• เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชตเชงเชพเชฐเซ‡ เชธเชพเชฐเซ‹ เช›เซ‡ เช…เชฅเชตเชพ เช†เชชเซ‡เชฒ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ x1, x2,……, xnเชจเซเช‚ เช•เซ‡เชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชถเซเชฐเซ‡เชทเซเช  เช•เซ‡ เช‡เชทเซเชŸเชคเชฎ เชธเช‚เชฏเซ‹เชœเชจ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ ฮธเชจเซ‹ เชธเชพเชฐเซ‹ เช†เช—เชฃเช• เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ, เชเชตเชพ เช…เชจเซ‡เช• เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช‰เชฆเชญเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชตเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹เชจเชพ เช‰เช•เซ‡เชฒ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชฎเชพเช‚ เชฒเซ‡เชตเชพเชคเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชจเซ‡ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ (methods of statistical inference) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

a = M เชฅเชถเซ‡. เช…เชคเซเชฐเซ‡ เชจเซ‹เช‚เชงเชจเซ€เชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช‰เชชเชฐเซเชฏเซเช•เซเชค เชฆเชฒเซ€เชฒ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒย  ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเช•เซ‹ เช…เชจเซ‡ M เชตเชพเชœเชฌเซ€ เช†เช—เชฃเช•เซ‹ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชฌเชพเชฌเชคเชจเซ‡ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชจ เช†เชชเชคเชพเช‚ เชชเชนเซ‡เชฒเชพเช‚ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชฐเชพเชถเชฟ ฮธ เช…เชจเซ‡ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ x1, x2,…..,xn เชจเซ‡ เชธเชพเช‚เช•เชณเชคเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชงเชพเชฐเชฃเชพ เช•เซ‡ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“ เชœเชพเชฃเชตเซ€ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช›เซ‡. เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เช…เชจเซ‡ ฮธเชจเซ‡ เชธเชพเช‚เช•เชณเชคเซ€ เชเช• เชงเชพเชฐเชฃเชพ : X ฮธ เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ Pฮธ เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เชพเชฏ. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ f(x;ฮธ) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช…เชฅเชตเชพ เช˜เชŸเชคเซเชต-เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡; เช…เชœเซเชžเชพเชค เชฐเชพเชถเชฟ ฮธเชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เช•เชนเซ€เชถเซเช‚. เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจ(parametric inference)เชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹เชฎเชพเช‚ f(x; ฮธ)เชจเซเช‚ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช†เชชเซ‡เชฒเชพ เช—เชฃ ฮฉเชฎเชพเช‚ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เช—เชฃ ฮฉเชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ (parameter space) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X (เช…เชฅเชตเชพ เชคเซ‡เชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค x) เช—เชฃ เชฎเชพเช‚ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เช—เชฃ เชจเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ (sample space) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถย  เช…เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชจเซ‡ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชฐเซ‡เช–เชพ Rเชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ เช•เซ‡ เช‰เชšเชฟเชค เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เซ€เช.

เชœเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ f (x; ฮธ)เชจเซเช‚ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช f (x; ฮธ) = f(x- ฮธ) เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‡ เชธเซเชฅเชพเชจเซ€เชฏ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ (location parameter) เช•เชนเซ€เชถเซเช‚. เชœเซ‹ f (x; ฮธ) = f(r/o) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹, เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‡ เชฎเชพเชชเซ€เชฏ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ (scale parameter) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจเชฎเชพเช‚ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฌเซ‡ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹ เชœเซ‡เชตเชพ เช•เซ‡ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช…เชจเซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช†เช—เชฃเชจ เชคเซ‡เชฎเชœ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ-เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ‹ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเชจเชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค xเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชเช• เช˜เชŸเช• u(x) เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ€เช เช›เซ€เช. u(x)เชจเซ‡ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเช• เช…เชฅเชตเชพ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเช• เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ T = u(x)เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชฅเชตเชพ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช†เช—เชฃเชจเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉ เชฎเชพเช‚ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ S(x)โŠ‚ฮฉ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ S(x), ฮธเชจเซ‹ เชธเชฎเชพเชตเซ‡เชถ เช•เชฐเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ y เช•เซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชตเชงเซ เชนเซ‹เชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ 0<y<1 เช›เซ‡. เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเชญเชพเชทเชพเชฎเชพเช‚ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ S(x)เชจเซ‡ y-เชตเชฟเชถเซเชตเชพเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ-เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเชพ เช•เซ‹เชˆ เชตเชฟเชงเชพเชจเชจเซ€ เชธเชคเซเชฏเชคเชพ เชšเช•เชพเชธเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹เช†เช—เชฃเชจ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชจเซ€ เช›เชฃเชพเชตเชŸ เช•เชฐเซ€เช.

2. เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเชจ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› Xเชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ f (x; ฮธ) เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซเช‚ เช†เช—เชฃเชจ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชชเชฐ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ X1, X2, ……, Xn เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡, เชเช• เชเชตเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ T = u(X1, ……, Xn) เชฒเชˆเช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค ฮธเชจเซ€ เชธเชฎเซ€เชช เชนเซ‹เชฏ. Tเชจเซ‡ ฮธเชจเซ‹ เชฌเชฟเชจเซเชฆเซ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ โ€˜เชธเชฎเซ€เชชโ€™ เช เชถเชฌเซเชฆเชชเซเชฐเชฏเซ‹เช— เชธเช‚เชฆเชฟเช—เซเชง เช›เซ‡. เชธเชฎเซ€เชชเชคเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชฟเชตเชฟเชง เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชกเซ‹ เชชเซเชฐเชฏเซ‹เชœเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช…เชจเซ‡ เช† เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชกเซ‹ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = u(X1, X2, ……, Xn)เชจเชพ เช‡เชšเซเช›เชจเซ€เชฏ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเชพ เช‡เชšเซเช›เชจเซ€เชฏ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ :

เช…เชจเชญเชฟเชจเชคเชคเชพ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T = u(X1, ……, Xn) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฮธ โˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ Eฮธ(T) = ฮธ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ Tเชจเซ‡ ฮธเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ เชธเช‚เช•เซ‡เชค Eฮธ เชฏเชšเซเช› เชšเชฒ Tเชจเซ€ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เช…เชชเซ‡เช•เซเชทเชพ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ Eฮธ(T) โ‰  ฮธ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ Tเชจเซ‡ ฮธเชจเซ‹ เช…เชญเชฟเชจเชค (biased) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡, เช…เชจเซ‡ Eฮธ(T)-ฮธ = bฮธเชจเซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ Tเชจเซ€ เช…เชญเชฟเชจเชคเชฟ (bias) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 1 : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ X1, X2, …….., Xn เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชธเชฎเชทเซเชŸเชฟ เช•เซ‡ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฏเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช›เซ‡. เชคเซ‹ ฮธเชจเซ‹

เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ a1 = 1 เช…เชจเซ‡ ai = 0, i = 2, 3, …, n เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฮธเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ y = X1 เชฅเชถเซ‡. เช†เชตเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€ เช•เชฏเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชธเชฐเซเชตเซ‹เชคเซเชคเชฎ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเชตเชพ เช•เซ‹เชˆเช• เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชก เชชเซเชฐเชฏเซ‹เชœเชตเซ‹ เชชเชกเซ‡. เช†เชตเชพ เชเช• เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชก เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เชฆเซเชตเชฟเช˜เชพเชค เชคเซเชฐเซเชŸเชฟ (Mean Square Error) เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชกเชจเซ‡ เชธเช‚เช•เซ‡เชค MSE เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชคเชคเชพ :

(เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เชฆเซเชตเชฟเช˜เชพเชค เชคเซเชฐเซเชŸเชฟ : ) เชœเซ‹ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ Tเชจเซ€ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เชฆเซเชตเชฟเช˜เชพเชค เชคเซเชฐเซเชŸเชฟ (MSE)

MSE(T) = Eฮธ(T-ฮธ)2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(1)

เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡.

เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡

E(T) MSE(T) = E(T-E(T))2 + [e(T)-ฮธ] 2

= Vฮธ(T) + [b(ฮธ)]2 โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(2)

เชœเซ‹ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ b(ฮธ) = 0 เชฅเชถเซ‡. เช…เชจเซ‡ MSE (T) = V(T) เชฅเชถเซ‡. เช†เชฎ, เชœเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ MSEเชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ Tเชจเชพเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ V(T)เชจเซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เชพเชฏ. เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ-1เชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชธเชฎเชทเซเชŸเชฟ(เชตเชฟเชคเชฐเชฃ)เชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ ย เชธเชนเชฟเชค เช…เชจเซ‡เช• เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซเชฏเชพ เช›เซ‡. เช† เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€ เชœเซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ‡ เชธเชฐเซเชตเซ‹เชคเซเชคเชฎ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชฎ, เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เช†เชชเซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ : T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฮธเชจเชพ เชฆเชฐเซ‡เช• เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T’ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡,

Vฮธ (T) โ‰ค Vฮธ (Tยด)โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(3)

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Tเชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‹ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชคเชพเชฐเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

(i) เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชฒเช—เชญเช— เช…เชจเชจเซเชฏ เช›เซ‡.

(ii) เชœเซ‹ T1, T2,……,Tk เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹ ฮธ1, ฮธ2,……., ฮธkเชจเชพ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ ฮฑ1, ฮฑ2,….. ฮฑkย  เชจเชพ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ ฮฑ1, ฮฑ2,….. ฮฑkย  เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชจเซ‹ เชตเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡.

(iii) เชœเซ‹ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ qเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ Z เชถเซ‚เชจเซเชฏเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ Z เช…เชจเซ‡ T เชตเชšเซเชšเซ‡เชจเซเช‚ เชธเชนเชตเชฟเชšเชฐเชฃ [C0Vฮธ(Z, T) = 0] เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‹ เชœ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฅเชพเชฏ.

เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ :

X เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x;ฮธ) เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชฏเชšเซเช› เชšเชฒ เช›เซ‡. ฮธโˆˆฮฉโŠ‚R เช…เชจเซ‡ Xเชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค xโˆˆSโŠ‚R เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ เช…เชจเซ‡ xโˆˆS เชฎเชพเชŸเซ‡ ฦ’(x, ฮธ) > 0 เชฅเชพเชฏ. X1, X2,…..,Xn ฦ’(x; ฮธ) เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฏเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹เชจเชพ เชธเชฆเชฟเชถ x = (x1, x2,….,xn) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ L(x; ฮธ)เชจเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€เช.

(4) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ L(x;ฮธ)เชจเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ (likelihood function) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• x โˆˆ S เชฎเชพเชŸเซ‡ ยฆ(x; ฮธ)เชจเชพเช‚ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เช…เชจเซ‡ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพเช‚ เชตเชฟเช•เชฒเชจเชซเชณเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : (เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€)

เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ X = (X1, X2,……..,Xn)เชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชพเชตเชฟเชทเซเชŸ เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ I(ฮธ) เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพ เชธเซ‚เชคเซเชฐ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡.

เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ qเชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเชพ เชตเชฟเชšเชฐเชฃเชจเซ€ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชจเชฟเชฏเชค เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T = u(X1,……., Xn) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ g(ฮธ)เชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ g(ฮธ), ฮธเชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชฌเชคเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ Tเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ Vฮธ(T) เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซ€ เช…เชธเชฎเชคเชพเชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡.

เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ (6) เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชšเชฒเชฟเชค เช›เซ‡. เช† เช…เชธเชฎเชคเชพ เชธเซเชตเซ€เชกเชจเชจเชพ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€ เชเชš. เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ เช…เชจเซ‡ เชญเชพเชฐเชคเซ€เชฏ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเซ€ เชธเซ€. เช†เชฐ. เชฐเชพเชตเซ‡ 1940เชจเชพ เช…เชฐเชธเชพเชฎเชพเช‚ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชนเชคเซ€.

เชœเซ‹ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ g(ฮธ) = ฮธ เช…เชจเซ‡ gยด(ฮธ) = ย = 1 เชฅเชถเซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ

เชฅเชถเซ‡.

เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ ฮธเชจเชพ เช•เซ‹เชˆ เชชเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ I(ฮธ)เชจเชพ เชตเซเชฏเชธเซเชค เช•เชฐเชคเชพเช‚ เช“เช›เซเช‚ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡ เชจเชนเชฟ. เชœเซ‹

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ Tเชจเซ‡ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชธเซ€เชฎเชพเชฌเชฆเซเชง เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชจเซ‹เช‚เชง : เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเซ€ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฎเชพเช‚ เช˜เชฃเซ€ เชจเชพเชจเซ€ เชนเซ‹เชตเชพเชจเชพ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช• เชธเชพเชฐเชพ เช—เชฃเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เชคเซ‡เชตเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชคเซ‡เชจเซ€ เชฌเชฐเชพเชฌเชฐ เชฅเชˆ เชถเช•เชคเซเช‚ เชจเชฅเซ€. เชชเชฐเช‚เชคเซ เชคเซ‡เชจเชพเชฅเซ€ เชตเชงเซ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเชพ เชตเชฟเชšเชฐเชฃเชจเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเซ€ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพเชจเซ‡ เชญเชŸเซเชŸเชพเชšเชพเชฐเซเชฏเซ‡ เชธเซเชงเชพเชฐเซ€ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชญเชŸเซเชŸเชพเชšเชพเชฐเซเชฏ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชšเชฒเชฟเชค เช›เซ‡.

เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชตเชจเซ€ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชฎเชพเชคเซเชฐ เชเช• เชœ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒเชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชฎเชพเช‚ เชเช• เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹เชจเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹เชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเชจเซ‡ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพเชจเซเช‚ เชตเซเชฏเชพเชชเช•เซ€เช•เชฐเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 2 :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x = (X1,…..,Xn) เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1) เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเซ€เชงเซ‡เชฒ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเชพ เชตเชฟเชšเชฐเชฃเชจเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช.

เช† เช‰เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (5)เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เช†เชชเชฃเชจเซ‡ เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซเช‚ เชฎเซ‚เชฒเซเชฏ I(ฮธ) = n เชฎเชณเซ‡. เชœเซ‹ T = ย เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ Eฮธ (T) = ฮธ เชฅเชถเซ‡. เชคเซ‡ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 1 เชชเชฐเชฅเซ€ เชœเซ‹เชˆ เชถเช•เชพเชฏ.

เช†เชฎ, g(ฮธ) = ฮธ เชฅเชถเซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชธเซ‚เชคเซเชฐ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ Vฮธ() โ‰ฅ 1/n เชฅเชถเซ‡. เชนเชตเซ‡, เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชงเซเชฏเช• เชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช›เซ‡, เชคเซ‡เชฎ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชงเซเชฏเช• ย เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชธเซ€เชฎเชพเชฌเชฆเซเชง เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡.

เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเช“เชฎเชพเช‚ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เชชเซเชฐเชพเชชเซเชฏ เชจ เชชเชฃ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชœเซ‡เชตเชกเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชจ เชชเชฃ เชงเชฐเชพเชตเซ‡. เชนเช•เซ€เช•เชคเชฎเชพเช‚ เชœเซ‡เชฎเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชฌเชงเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชฎเชพเช‚ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชนเซ‹เชฏ เชชเชฐเช‚เชคเซ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชเช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชฒเชˆเชถเซเช‚.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 3 :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ ฮธ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชชเซ‰เชฏเชธเซ‹เช‚ (Poisson) เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ g(ฮธ) = e-ฮธ. เชคเซ‹ g(ฮธ)เชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = u(x) เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชนเชตเซ‡, Eฮธ(T) = e-ฮธ

เช…เชจเซ‡ Vฮธ(T) = e-ฮธ – e2ฮธย เชฅเชถเซ‡. I(ฮธ) = 1/ฮธ เชคเซ‡เชฅเซ€ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชธเชฎเชคเชพ เชชเชฐเชฅเซ€ Vฮธ(T)เชจเซ€ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพ เชฅเชถเซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ = (0, โˆž) เชฎเชพเชŸเซ‡ย  Vฮธ

= e2ฮธ (eฮธ – ฮธ – 1) > 0.

เช†เชฎ, g(ฮธ) =eฮธ เชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐ-เชฐเชพเชต เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพเชฅเซ€ เชตเชงเซ เช›เซ‡.

(iv) เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชคเชฟ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ X1, X2,………,Xn เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T = ฮผ (X1,……..,Xn) เชเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฎเชพเช‚ เชฐเชนเซ‡เชฒเซ€ เชธเชฎเช—เซเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซเช‚ เชธเช‚เช•เซเชทเซ‡เชชเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซ‡เชฅเซ€ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชพเช‚ เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟเช—เชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพ เชธเชพเชฐเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชคเชชเชพเชธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชค เชฌเชจเซ‡. เช† เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ Tเชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ qเชจเซ‹ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เช–เซเชฏเชพเชฒ เชธเซŒเชชเซเชฐเชฅเชฎ เชฐเซ‰เชจเชพเชฒเซเชก เชซเชฟเชถเชฐเซ‡ 1922เชจเชพ เชตเชฐเซเชทเชฎเชพเช‚ เช†เชชเซเชฏเซ‹.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ) :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ X1, X2,……….,Xn เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x, ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T = ฮผ (X1,……….,Xn) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช†เชชเซ‡เชฒ Tเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค t เชฎเชพเชŸเซ‡ X1, X2,…….,Xnเชจเซเช‚ เชถเชฐเชคเซ€ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชฅเซ€ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Tเชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชถเซ‹เชงเชตเชพเชจเซ€ เชธเชฐเชณ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชคเชฟเชจเซ€ เช…เชตเชฏเชต เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ (factorisation method) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซเช‚ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซเช‚ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚

เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช เชคเซ‹ T = u(X) เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ g(X) เช…เชจเซ‡ ฮธ เช‰เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เช…เชจเซ‡ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ h เชฎเชพเชคเซเชฐ X เช‰เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เช…เช‹เชฃ (non-negative) เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹ เช›เซ‡. เช…เชตเชฏเชต เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ€ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ€ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ (เชœเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹) เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 4 :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ X1, X2,…….,Xn เชจเซ€เชšเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชธเชคเชค เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡.

เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช–เซเชฏเชพเชฒเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€เชจเซ‡ เชชเชฃ เช†เชชเซ‡เชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‡เชฎ เชคเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ X1,……, Xn เช ฦ’ย (x, ฮธ) เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ (X1,….,Xn)เชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชพเชตเชฟเชทเซเชŸ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (5) เช…เชจเซเชธเชพเชฐ (q) เชฅเชถเซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ T = u (X1,….,Xn) ย เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ Tเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ย เช›เซ‡. เชœเซ‹ Tเชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชพเชตเชฟเชทเซเชŸ เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ J(ฮธ) เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹

เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ย  ฮป(ฮธ) โ‰ฅ 0. เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฮป(ฮธ)เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ Tเชจเซ‡ เชฒเซ‡เชตเชพเชฅเซ€ เชฅเชคเชพ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช•เซเชทเชฏเชจเชพเช‚ เชฎเชพเชช เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ ฮป(ฮธ) = 0 เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ (1) เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ เช•เซ‡ย  I(ฮธ) = n = J(ฮธ) เช…เชจเซ‡ ฮป(ฮธ) = 0, เชคเซ‡เชฅเซ€ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ (เชœเซ‡ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซ‹ เชฎเชงเซเชฏเช• เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช›เซ‡.

เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ Tเชจเซ€ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชคเชฟ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชšเช•เชพเชธเชฃเซ€ เช•เชฐเชตเชพ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (9)เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ Tเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชœเชพเชฃเชตเซเช‚ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช›เซ‡. เชœเซ‹ Tเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซเช‚ เช…เช˜เชฐเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชฅเชตเชพ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชจ เชถเช•เชพเชฏ เชคเซ‡เชฎ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (7)เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ T เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‡เชฎ เชคเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x; ฮธ)เชจเชพ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชชเชฐเชฅเซ€ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช•เซ‡ ฮธเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชคเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (เชตเชฟเชคเชฐเชฃเซ‹เชจเซ‹ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ) :

เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ ฦ’(x; ฮธ) เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ(family of exponential distributions)เชจเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซ‹ เชเช• เช˜เชŸเช• เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ Qj(ฮธ) เช…เชจเซ‡ C(ฮธ) เช ฮธเชจเชพเช‚ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹ เช…เชจเซ‡ uj (x) เช…เชจเซ‡ h(x) เช xเชจเชพเช‚ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช—เชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เชจเชฅเซ€.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชœเซ‹ ฦ’(x; ฮธ) เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1)เชจเซเช‚ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เชคเซ‹ ฦ’(x ; ฮธ)เชจเซ‡ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (10)เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

ฦ’ย (x ; ฮธ) = c(ฮธ) exp{Q(ฮธ)u(x)}h(x).

เช…เชนเซ€เช‚ k = 1, Q(ฮธ) = ฮธ, u(x) = x, . เช†เชฎ, เชฆเซเชตเชฟเชชเชฆเซ€, เชชเซ‰เชฏเชธเซ‰เช‚ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ, เชตเชฟเชคเชฐเชฃเซ‹เชจเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹เชจเซ‡ เชธเซ‚เชคเซเชฐ(10)เชฎเชพเช‚ เช†เชชเซ‡เชฒเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (10)เชฎเชพเช‚ Qj(ฮธ) = ฮธj เชฒเซ‡เชตเซเช‚ เชธเซเชตเชฟเชงเชพเชœเชจเช• เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡.

ฦ’(x ; ฮธ) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ {ฦ’(x ; ฮธ) : ฮธโˆˆฮฉ} เชธเช‚เช•เซ‡เชค เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€เชถเซเช‚. เช…เชนเซ€เช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชธเชฆเชฟเชถ เชชเชฃ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡.

(v) เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ {ฦ’(x ; ฮธ) : ฮธโˆˆฮฉ} เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ เช‰เชชเชฐ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ g(x) เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ย  ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ Eฮธ{g(x)} = 0 โ‡’ g(x) = 0 เชฒเช—เชญเช— เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เชœเซ‹ เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชธเซ€เชฎเชฟเชค ย เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชคเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเซ€เชฎเชฟเชค เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 5 :

เชฆเซเชตเชฟเชชเชฆเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃเชคเชพเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ เช†เชชเซ‡เชฒเชพ g(X) เชฎเชพเชŸเซ‡

เช† เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ ฮฆเชจเซ€ เชเช• เชฌเชนเซเชชเชฆเซ€ เช›เซ‡, เชœเซ‡เชจเซเช‚ เชฎเซ‚เชฒเซเชฏ g(x) = 0, x = 0, 1,…..,n เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฅเชถเซ‡. เช†เชฎ, Eฮธ {g(X)} = 0 โ‡’ g(x) = 0, x = 0, 1,…….,n เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚. (10)เชฎเชพเช‚ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ‡เชฒ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเชฎเชพเช‚ Qj (ฮธ) = ฮธj เชฒเชˆเชถเซเช‚. เชคเซ‡เชฅเซ€ ฮธ = (ฮธ1,….., ฮธk) เชฅเชถเซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ ฮธ เชธเชฆเชฟเชถ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธโˆˆฮฉโŠ‚Rk, เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉk – เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเซ€ เชฏเซ‚เช•เซเชฒเชฟเชกเซ€เชฏ เช…เชตเช•เชพเชถเชจเซ‹ เช‰เชชเช—เชฃ เชฅเชถเซ‡. เช†เชฎ, เช†เชชเชฃเซ‡ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ-เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x ; ฮธ)เชจเซ‡

เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เซ€เช.

เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (11) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เชนเซ‹เชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เชถเชฐเชค เช เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉk-เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเซ€ เชฒเช‚เชฌเชšเซ‹เชฐเชธ เชนเซ‹เชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ uj(x) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹ ฮธj, j = 1,……,k เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช…เชจเซ‡ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช›เซ‡ เชเชฎ เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ (10) เช…เชฅเชตเชพ (11)เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชจเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ h(ฮธ) เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ h(ฮธ) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เชคเซ‡เชฎ เชฐเชพเชต, เชฌเซเชฒเซ…เช•เชตเซ‡เชฒ, เช…เชจเซ‡ เชฒเซ‡เชนเชฎเชพเชจ-เชถเซ…เชซเซ‡เช เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช‚ เชคเซ‡เชฎเชจเชพเช‚ เชจเชพเชฎเชฅเซ€ เช“เชณเช–เชพเชฏ เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ (เชฐเชพเชต-เชฌเซเชฒเซ…เช•เชตเซ‡เชฒ-เชฒเซ‡เชนเชฎเชพเชจ-เชถเซ…เชซเซ‡) : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x ; ฮธ) เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = ux) เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช›เซ‡. เชœเซ‹ V(x) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชจเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹

E[V(x)/T=t] = W(t) h(ฮธ)เชจเซ‹ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 6 :

เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชจ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช•เซ‡ เชคเซ‡เชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ h(ฮธ) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เชจเชนเชฟ.

เช†เชฎ, เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชคเชคเชพ เชเช• เช†เช•เชฐเซเชทเช• เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เช›เซ‡; เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซเช‚ เชฒเชพเช‚เชฌเชพ เช—เชพเชณเซ‡ เชธเชšเซ‹เชŸ เชฐเซ€เชคเซ‡ เช†เช—เชฃเชจ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡เชจเซ€ เช–เชพเชคเชฐเซ€ เชฌเช•เซเชทเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเช‚เชคเซ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช•เซ‡ เชคเซ‡เชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ h(ฮธ) เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชจเชฅเซ€ เช…เชฅเชตเชพ เชคเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เช“ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชจเซ€ เชฌเชนเชพเชฐ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเชคเชพ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชตเชณเซ€, เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซเช‚ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชธเซ‚เชคเซเชฐ (10) เช•เซ‡ (11) เชฎเซเชœเชฌเชจเซเช‚ เชนเซ‹เชตเซเช‚ เชœเซ‹เชˆเช. เช†เชฎ, เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชชเชฐ เชชเซเชฐเชฌเชณ เชจเชฟเชฏเช‚เชคเซเชฐเชฃ เชฒเชพเชฆเชตเชพเช‚ เชชเชกเซ‡. เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เช†เชฎ เช•เชฐเชตเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฏเชฅเชพเชฐเซเชฅ เช›เซ‡. เชชเชฐเช‚เชคเซ เชคเซ‡เชฎ เช•เชฐเชตเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เช“เช›เซ€ เช…เชญเชฟเชจเชคเชฟ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เช…เชจเซ‡ เชจเชพเชจเซเช‚ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡.

(vi) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ€ เชจเชฟเชถเซเชšเชฒเชคเชพ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เชฐเชพเชธเชพเชฏเชฃเชฟเช• เชชเซเชฐเช•เซเชฐเชฟเชฏเชพเชจเชพ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เชคเชพเชชเชฎเชพเชจ ฮธเชจเซเช‚ เช†เช—เชฃเชจ เช•เชฐเชตเชพเชจเซเช‚ เช›เซ‡. เช† เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ X1, X2,….,Xn เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช† เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเชพ เชเช•เชฎ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชธเซ‡เชฒเซเชธเชฟเชฏเชธ เชธเซเช•เซ‡เชฒ เชฒเชˆเช. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช† เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ ฮธ เชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = u(X1,…..,Xn) เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช. เชนเชตเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ Xiเชจเซเช‚ เช•เซ‡เชฒเซเชตเชฟเชจ เชธเซเช•เซ‡เชฒเชฎเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเชตเชฐเซเชคเชจ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡. เชเชŸเชฒเซ‡ Yi = Xi + 273 เช…เชจเซ‡ ฮธ1 = ฮธ + 273 เชฅเชถเซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮธ1เชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ u(y1, y2,….,yn) เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ u(y1,y2,…,yn) = u(x1, x2,…….,xn) + 273 เชฅเชถเซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ u(x1,…….,xn) เชธเซเชฅเชพเชจ-เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ (เชธเซเชฅเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชฎเชพเชช เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ) :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1,……,xn เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x ; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ u(x1,….,Xn) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชตเชฟเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ c เชฎเชพเชŸเซ‡

u(x1,+ c,….,Xn+c)= u(x1,….,Xn) + c เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ uฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเซเชฅเชพเชจ-เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เชœเซ‹ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ c เชฎเชพเชŸเซ‡ u(cX1,…..,cXn) = cu(X1,……,Xn) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ uฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฎเชพเชช-เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เชœเซ‹ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเช“ c เช…เชจเซ‡ d เชฎเชพเชŸเซ‡ u (cX1 + d, – cX2 + d,……,cXn + d) = cu (X1,-…., Xn) + d เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ u/ฮธย เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเซเชฅเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชฎเชพเชช เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชœเซ‹ T = เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ย  เชธเซเชฅเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชฎเชพเชช เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชšเช•เชพเชธเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ Xiยดย = CXi + d เชฒเซ‡เชคเชพเช‚

เชจเชฟเชถเซเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซเช‚ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชธเชฎเชพเชจ เชฐเชนเซ‡เชคเซเช‚ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เช†เช—เชฃเชจ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เชคเซ‡ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เซ€ เชจเซ€เชตเชกเซ‡ เช›เซ‡.

(vii) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชฆเช•เซเชทเชคเชพ :

เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ g(ฮธ) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชเช• เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡เชฎเชจเซ€ เชคเซเชฒเชจเชพ เช•เชฐเชตเชพ เชฆเช•เซเชทเชคเชพเชจเชพ เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชกเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชฆเช•เซเชทเชคเชพเชจเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชง เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเช“ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เช›เซ‡.

(เช…) เชœเซ‹ T1 เช…เชจเซ‡ T2 g(ฮธ)เชจเชพ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ T1เชจเซ€ T2เชจเชพ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เชฆเช•เซเชทเชคเชพเชจเซ‡ eฮธ(T1/T2) เชธเช‚เช•เซ‡เชค เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡

(เช†) เชœเซ‹ g(ฮธ) เชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชจเซ‹ เช…เชจเซเชฏ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ T’เชจเซ‡ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เชฆเช•เซเชทเชคเชพ

(เช‡) เชœเซ‹ Tg(ฮธ) เชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชธเซ€เชฎเชพเชฌเชฆเซเชง เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชจเซ‹ เช…เชจเซเชฏ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชจเซ€ เชจเซ‡ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เชฆเช•เซเชทเชคเชพ

เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฆเช•เซเชทเชคเชพเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชฎเชนเชพเชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเซ‹เชจเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค(large sample theory)เชฎเชพเช‚ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡.

(viii) เชธเชนเชพเชฏเช•เชคเชพ :

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ X1,……,Xn เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x ; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ y = v (x1,…,xn) เชเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชœเซ‹ yเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ yเชจเซ‡ เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ (auxiliary estimator) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เช–เซเชฏเชพเชฒ เชธเซŒเชชเซเชฐเชฅเชฎ เช†เชฐ. เช. เชซเชฟเชถเชฐเซ‡ 1936เชฎเชพเช‚ เชฐเชœเซ‚ เช•เชฐเซเชฏเซ‹. เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ qเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (9) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช•เซเชทเชฏ ฮป(ฮธ)เชจเซ‡ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฌเชจเชพเชตเชตเชพ เช…เชฅเชตเชพ เช˜เชŸเชพเชกเชตเชพ เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช•เซ‹เชˆ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ€ เชจเชฅเซ€. เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชจเชจเซเชฏ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเชพเช‚ เช…เชจเซ‡เช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเซ‹ เชกเซ€. เชฌเชธเซเช เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ- เช…เช‚เช•-26 (1964) เชธเชพเชฎเชฏเชฟเช•เชฎเชพเช‚ เช†เชชเซเชฏเชพเช‚ เช›เซ‡.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 7 :

เชœเซ‹ x1, x2,…..,xn (n>1) เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹

yj = x , j = 1, 2,……,nเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฎเชงเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ 1-1/nย  เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เช›เซ‡. yiเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เชจ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€

yi (j = 1, 2,…., n) เชธเชนเชพเชฏเช• เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช›เซ‡.

(ix) เชธเช‚เช—เชคเชคเชพ :

เชธเช‚เช—เชคเชคเชพ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ {xn} เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x ; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ Tn เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ x1, x2,…….,xnเชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ Tn = u (x1,…….,xn) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชคเซ‹ {Tn} เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ เชฅเชถเซ‡.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชœเซ‹ เชฌเชงเชพ ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• โˆˆ > 0 เช…เชจเซ‡ ฮด > 0 เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชเชตเซ‹ เชชเซ‚เชฐเซเชฃเชพเช‚เช• N เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ n โ‰ฅ N เชฎเชพเชŸเซ‡

P(ฮ™Tn-ฮธฮ™<โˆˆ) โ‰ฅ 1 – ฮด โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(12)

เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ {Tn} เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เชœเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ (Tn) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€เช“ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ a, b เช…เชจเซ‡ c เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเช“ เช›เซ‡. เชตเชงเซเชฎเชพเช‚ เชœเซ‹ n โ†’ โˆž เชฎเชพเชŸเซ‡ an โ†’ 1 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ (anTn) เชชเชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เชฅเชถเซ‡. เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช—เชคเชคเชพ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เช›เซ‡ :

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ {Tn} เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ n โ†’ โˆžย  เชฎเชพเชŸเซ‡ Eฮธ(Tn) โ†’ ฮธ เช…เชจเซ‡ Vฮธ(Tn) โ†’ 0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ {Tn} เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เช›เซ‡.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 8 :

n เชฎเชพเชŸเซ‡ nเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฅเชถเซ‡. เช†เชฎ, n โ†’ โˆž เชฎเชพเชŸเซ‡ย  เช…เชจเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช‰เชชเชฐเซเชฏเซเช•เซเชค เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ {n} เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เช›เซ‡ เชเชฎ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชฏเซเช‚. เช† เชœ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชธเช‚เช—เชคเชคเชพเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซ€ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ€ เชชเชฃ เชธเชฟเชฆเซเชง เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡.

2.2 เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเชจเชจเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‹ :

เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆ 2.1เชฎเชพเช‚ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ เช†เช—เชฃเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพ เช‡เชšเซเช›เชจเซ€เชฏ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ เชตเชฟเชถเซ‡ เช…เชญเซเชฏเชพเชธ เช•เชฐเซเชฏเซ‹. เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เชเชตเซเช‚ เชฌเชจเซ‡ เช•เซ‡ เช†เชชเซ‡เชฒเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชจ เชนเซ‹เชฏ. เชเชตเซเช‚ เชชเชฃ เชฌเชจเซ€ เชถเช•เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชจเซ€ เชฌเชงเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เช…เชจเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซ‹ เชฎเซเชถเซเช•เซ‡เชฒ เชนเซ‹เชฏ. เช†เชตเชพ เชธเช‚เชœเซ‹เช—เซ‹เชฎเชพเช‚ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชตเซเชฏเชตเชธเซเชฅเชฟเชค เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

(เช…) เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ, (เช†) เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชฐเซ€เชค, (เช‡) เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชพเช‡เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ, (เชˆ) เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชตเชฐเซเช—เซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ.

(เช…) เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ :

เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชชเซˆเช•เซ€เชจเซ€ เช† เชเช• เชœเซ‚เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1, x2,…..,xn เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชคเชฐเชฃ ฦ’(ฮธ1, ฮธ2,…….., ฮธk)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช›เซ‡, เช…เชจเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชจเชพ เชธเชพเชฆเชพ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ,

ฮผ’r(ฮธ1,……, ฮธk) = Eฮธ[x]r, r = 1, 2,………,K

เชธเชฎเชทเซเชŸเชฟ เช•เซ‡ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡

เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชธเชพเชจเซเช•เซ‚เชณ เช…เชจเซ‡ เชธเชฐเชณ เชนเซ‹เชตเชพ เช›เชคเชพเช‚ เชคเซ‡เชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช• เช—เซ‡เชฐเชซเชพเชฏเชฆเชพ เชชเชฃ เช›เซ‡. เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชธเชฎเชทเซเชŸเชฟเชจเชพ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เช•เซเชฐเชฎ เชธเซเชงเซ€เชจเชพ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชจ เชชเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชนเซ‹เชฏ. เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช•เซ‹เชถเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹เชจเซเช‚ เช†เช—เชฃเชจ เช•เชฐเชตเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เชจเชนเชฟ. เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เช† เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชจเชฅเซ€. เชตเชงเซเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชจเซเชฏ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชŠเชคเชฐเชคเซ€ เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡. เชœเซ‹เช•เซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชคเชคเชพเชจเซ‹ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช‡เชšเซเช›เชจเซ€เชฏ เช›เซ‡, เชชเชฐเช‚เชคเซ เช†เชตเชถเซเชฏเช• เชจเชฅเซ€; เชชเชฃ เชชเซเชฐเช˜เชพเชคเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชนเซ‹เชคเชพ เชจเชฅเซ€.

(b) เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ : เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซเช‚ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ เช•เชฐเชตเชพเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซ€ L (x ; ฮธ)เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆ 2.1เชฎเชพเช‚ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (4) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช†เชชเซ€ เช›เซ‡.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1,……….,xn f(x ; ฮธ) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชชเชฐเชจเชพเช‚ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เชœเซ‹ (x1,………..,xn) = ย () เชฎเชพเชŸเซ‡

เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ‹ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ L( X; ฮธ) ฮธเชจเซเช‚ เชตเชฟเช•เชฒเชจเซ€เชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ (X) เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉ เชจเซเช‚ เช…เช‚เชคเชฐเซเช—เชค เชฌเชฟเชจเซเชฆเซ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ T = (X) เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃย  เชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เชตเชณเซ€, เชฌเช‚เชจเซ‡ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹ ฮธเชจเซ€ เชธเชฎเชพเชจ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเชคเชพเช‚ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเชฐเชณเชคเชพ เช–เชพเชคเชฐ เชจเซ‡ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเชพเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชฎ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ

โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(13)

เชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ(13)เชจเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ = (ฮธ1, ……., ฮธk) เชธเชฆเชฟเชถ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (13) เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชฎเชนเชคเซเชตเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช›เซ‡. เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชคเซ‡ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชธเชพเชฐเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฎเซ‹เชŸเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช† เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชธเชพเชฐเชพ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฎ เช›เชคเชพเช‚ เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ€ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชพเช“ เชชเชฃ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชคเซ‹ ฮธเชจเซ€ เชเช• เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ L (X ; ฮธ) เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡เชตเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เช›เซ‡. เช†เชฎ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชจเชจเซเชฏ เชจ เชชเชฃ เชนเซ‹เชฏ. เชตเชณเซ€, เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชจ เชชเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ, เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชฎเชพเช‚ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเชพ ฮฉเชจเชพเช‚ เชฒเช•เซเชทเซเชฏเชฌเชฟเชจเซเชฆเซ เช†เช—เชณ เชœ L (X ; ฮธ)เชจเซ€ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชณเชคเซ€ เชนเซ‹เชฏ. เชตเชณเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ(13)เชจเชพ เช‰เช•เซ‡เชฒ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเซ€ ฮธเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชนเชคเซเชคเชฎเชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชชเชฃ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ เช‰เช•เซ‡เชฒ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช†เชชเซ‡ เชคเซ‹เชชเชฃ เชคเซ‡ เชธเชพเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชฅเชตเชพ เชธเซเชฅเชพเชจเชฟเช• เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡. เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช• เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹เชจเซ€ เชŸเซ‚เช‚เช•เชฎเชพเช‚ เชธเชฎเซ€เช•เซเชทเชพ เช•เชฐเซ€เช :

(i) เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏเชค: เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชนเซ‹เชคเชพ เชจเชฅเซ€.

(ii) เชœเซ‹ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เช…เชตเชฏเชต เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเชพเชจเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T เชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฅเชถเซ‡.

(iii) เชœเซ‹ ฮฆ = g(ฮธ),ฮธเชจเซเช‚ เชเช•-เชเช• เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ (x)ฮธเชจเซ‹ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ g() ฮฆเชจเซ‹ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฅเชถเซ‡.

(iv) เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ {Xn} ฦ’(X ; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเซ€เชงเซ‡เชฒเชพเช‚ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ Ln(X ; ฮธ) เชชเซเชฐเชฅเชฎ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮธเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค n เชฎเชพเชŸเซ‡ Ln(X ; ฮธ)เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‹ ฮธ = ฮธ0 เชฎเชพเชŸเซ‡ n โ†’ 0 เชฅเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1 เช›เซ‡ เช เชตเซ‰เชฒเซเชกเซ‡ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชจเชฟเชฏเชฎเชฟเชคเชคเชพเชจเซ€ เชถเชฐเชคเซ‹ เชนเซ‡เช เชณ เชธเชฟเชฆเซเชง เช•เชฐเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพ เชธเช‚เช—เชคเชคเชพ(consistency)เชจเชพ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชœเชพเชฃเซ€เชคเซเช‚ เช›เซ‡.

(v) เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชถเชฐเชคเซ‹ เชนเซ‡เช เชณ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ(13)เชจเซเช‚ เชเช• เชฌเซ€เชœ n(x) เชเชตเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช•เซ‡ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ ฮธ = ฮธ0 เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชจเซเช‚ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชฎเชงเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ I (ฮธ0), ฮธ = ฮธ0 เช†เช—เชณ เชธเซ‚เชคเซเชฐ (5) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชซเชฟเชถเชฐ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เช•เซเชฐเชพเชฎเซ‡เชฐเซ‡ 1946เชฎเชพเช‚ เชธเชฟเชฆเซเชง เช•เชฐเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. ย เชจเซ‡ nเชจเชพ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชšเชฐเชฃเชจเซ€ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช—เชฃเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชฎ, nเชจเซ‡ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชฆเช•เซเชท เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

(c) เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ :

เชœเซ‹ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ เชตเชฐเซเช—เซ€เช•เซƒเชค เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเชพ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชจเซ€ เชญเชฒเชพเชฎเชฃ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเชพ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถเชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เช…เชจเซ‡ เชจเชฟ:เชถเซ‡เชท เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ E1,………,Ek เชฎเชพเช‚ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ย  i = 1, 2,…., n. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช‰เชชเช—เชฃ Eiเชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชพเชตเชฟเชทเซเชŸ X เชชเชฐเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ ni เช›เซ‡. เช•เชพเชฐเซเชฒ เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ‡เชฒ ฯ‡2 เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เช›เซ‡ :

เชนเชตเซ‡ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• i เชฎเชพเชŸเซ‡ pi ฮธเชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ ฯ‡2 เชชเชฃ ฮธเชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฅเชถเซ‡. เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซƒเชคเซเชคเชฟเช“ n1,…….,nk เช…เชšเชฒ เชฐเชพเช–เซ€เชจเซ‡ ฯ‡2 เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡ เชคเซ‡เชตเซ€ ฮธเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช† เช•เชฟเช‚เชฎเชค ฮธเชจเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡.

เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ€ เชฎเซเช–เซเชฏ เชฎเชฐเซเชฏเชพเชฆเชพ เช เช›เซ‡ เช•เซ‡ ฯ‡2เชจเซ‡ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เชฌเชจเชพเชตเชตเซเช‚ เชฌเซˆเชœเชฟเช• เชฐเซ€เชคเซ‡ เชถเช•เซเชฏ เชจเชฅเซ€ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชคเซเชฎเช• เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชตเชพเชชเชฐเชตเซ€ เชชเชกเซ‡. เชœเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช•เชฆ n เชฎเชพเชŸเซ‡ n1/2 เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพเช‚ เชชเชฆเซ‹ เช…เชตเช—เชฃเซ€ เชถเช•เชพเชคเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฒเช˜เซเชคเชฎ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชจเซ‡ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชธเชฐเช–เชพ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡. เช†เชฎ เช—เซเชฐเซ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฅเซ€ เชฎเชณเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชธเช‚เช—เชคเชคเชพ เช…เชจเซ‡ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชฆเช•เซเชทเชคเชพเชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช‚ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฅเซ€ เชฎเชณเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹เชจเชพ เชœเซ‡เชตเชพ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

(d) เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชตเชฐเซเช—เซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ (method of least squares) : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒเซ‹ Yi(i = 1, 2,….., n)เชจเซเช‚ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชธเชฆเชฟเชถ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ = (ฮธ1, ฮธ2,…….., ฮธk) โˆˆฮฉโŠ†Rk เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ i = 1, 2,……, n เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ เช†เชชเซ‡เชฒ xij เชฎเชพเชŸเซ‡

เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ ei เชจเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชคเซเชฐเซเชŸเชฟ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซ€ เชถเชฐเชคเซ‹เชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡ :

เช…เชนเซ€เช‚ V(y) yเชจเซ‹ เชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชธเชนเชตเชฟเชšเชฐเชฃ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเชฟเช• เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ In n x n เช•เช•เซเชทเชพเชจเซ‹ เชเช•เชฎ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเชฟเช• เช›เซ‡.

เชนเชตเซ‡ S(y ; ฮธ)เชจเซ‡ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชฌเชจเชพเชตเซ‡ เชคเซ‡เชตเซ€ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชจเซ‡ ฮธเชจเซ‹ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชตเชฐเซเช— เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ (least squares estimator) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ n x k เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเชฟเช• Xเชจเซ€ เช•เซ‹เชŸเชฟ k(< n) เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ X’Xเชจเซ‹ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชถเซเชฐเซ‡เชฃเชฟเช• (X’X)1 เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชฎ ฮธเชจเชพ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชตเชฐเซเช— เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ

เช—เชพเช‰เชธ-เชฎเชพเช•เซ‰เชฐเซเชซ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ :

เชœเซ‹ โŠ†ยด k x 1 เช•เช•เซเชทเชพเชจเซ‹ เชœเซเชžเชพเชค เชธเชฆเชฟเชถ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ โŠ†’เช โŠ†ร ฮธเชจเซ‹ เชถเซเชฐเซ‡เชทเซเช  เชธเซเชฐเซ‡เช– เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡.

เช—เชพเช‰เชธ-เชฎเชพเช•เซ‰เชฐเซเชซ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชธเซเชฐเซ‡เช– เช†เช—เชฃเชจเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเชŸ เช…เช—เชคเซเชฏ เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เซ‹เชจเซ€ เช…เชญเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ(design of experiments)เชจเชพ เช…เชญเซเชฏเชพเชธเชฎเชพเช‚ เชชเชฃ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเชŸ เชฎเชนเชคเซเชต เช›เซ‡.

เชธเช‚เช—เซ€เชจ เช†เช—เชฃเชจ (robust estimation) :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1, x2,….., xn เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡, เชคเซ‹ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชงเซเชฏเช• เชธเซเชฅเชพเชจเซ€เชฏ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชถเซเชฐเซ‡เชทเซเช  เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชนเชตเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซเชฏเชพเช‚ เช›เซ‡ เชเชตเซ€ เช†เชชเชฃเซ‡ เช•เชฐเซ‡เชฒเซ€ เชงเชพเชฐเชฃเชพ เชฎเซ‹เชŸเซ€ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช† เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ ฮธ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เช•เซ‰เชถเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซเชฏเชพเช‚ เช›เซ‡, เชคเซ‹ เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ ฮธ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เช•เซ‰เชถเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฅเชถเซ‡ เชคเซ‡เชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชคเซ‡เชฅเซ€ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช•เชฆ nเชจเซ€ เช—เซเชฐเซ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฃ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเช‚เช—เชค เชจเชฅเซ€. เช†เชฎ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชจเชพ เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเชฐ เช†เชงเชพเชฐเชฟเชค เช›เซ‡.

เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เชเชตเซเช‚ เชชเชฃ เชฌเชจเชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เชฎเชพเชชเชจเชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช•เซ‡ เชจเซ‹เช‚เชงเชฃเซ€เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเชพเช‚ เช•เซ‡ เช…เชจเซเชฏ เช…เชจเชฟเชตเชพเชฐเซเชฏ เช•เชพเชฐเชฃเซ‹เชธเชฐ เช•เซเชทเชคเชฟ เช•เซ‡ เชคเซเชฐเซเชŸเชฟ เชชเซเชฐเชตเซ‡เชถเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชคเซเชฐเซเชŸเชฟเช“เชจเซ‡ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏเชคเชพเชจเซ€ เชงเชพเชฐเชฃเชพเชฎเชพเช‚ เชธเซเช–เชฒเชจ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชคเชฟเชฐเซ‹เชง เช‰เชชเชธเซเชฅเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡. เช†เชตเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ‡ เช–เชพเชฎเซ€เชฏเซเช•เซเชค เช•เซ‡ เชฌเชนเชฟ:เชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ (outlying observations) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เช†เชตเชพเช‚ เชฌเชนเชฟ:เชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชนเชพเชœเชฐเซ€เชจเชพ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เชฎเชงเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชตเชฐเซเช—เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เช…เชธเซเชฅเชฟเชฐ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชตเชพ เชธเช‚เชœเซ‹เช—เซ‹เชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชงเซ เชธเช‚เช—เซ€เชจ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชคเซ‡ เช‡เชšเซเช›เชตเชพเชœเซ‹เช— เช›เซ‡. เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฎเชพเช‚ เชฌเชนเชฟ:เชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเซ‹ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชงเซ เชธเช‚เช—เซ€เชจ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชฌเชนเชฟ:เชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เช…เชธเชฐเชฅเซ€ เชฎเซเช•เซเชค เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชฌเชนเชฟเชƒเชธเซเชฅเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช‚ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชฎเชงเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชตเชšเซเชšเซ‡เชจเชพ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจเช•เชพเชฐเซ€ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ a-เชตเชฐเซเชœเชฟเชค เชฎเชงเซเชฏเช• aเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ 0 < a < ยฝ. aเชจเซ€ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เช•เซเชฒ n เช•เซเชฐเชฎเชฟเชค เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€ เช‰เชชเชฒเชพเช‚ เช…เชจเซ‡ เชจเซ€เชšเชฒเชพเช‚ 100a % เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ‡ aเชจเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชง เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชตเช—เชฃเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ a = 0 เชฎเชพเชŸเซ‡ 0 = เช…เชจเซ‡ a = ยฝ เชฎเชพเชŸเซ‡ย = เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชฅเชถเซ‡. เชธเซเชฅเชพเชจเซ€เชฏ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชธเชฟเชตเชพเชฏเชจเชพ เช…เชจเซเชฏ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹เชจเชพ เช†เช—เชฃเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชนเซเชฏเซเชฌเชฐเซ‡ -เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชธเซ‚เชšเชตเซเชฏเชพ เช›เซ‡.

3. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ (testing of hypothesis) :

3.1 เชชเซเชฐเชพเชธเซเชคเชพเชตเชฟเช• : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ F(x ; ฮธ) เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชฎเชพเช‚ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡; เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค x เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ เชจเซ‹ เช˜เชŸเช• เช›เซ‡; เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮฉ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เช—เชฃ Rเชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ เช›เซ‡; เชตเชงเซเชฎเชพเช‚ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฦ’ (x ; ฮธ) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ F(x ; ฮธ)เชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ H เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช…เช‚เช—เซ‡เชจเซเช‚ เชตเชฟเชงเชพเชจ เช›เซ‡. เชตเชฟเชงเชพเชจ Hเชจเซ‡ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. ฮธเชจเซ€ เชธเชพเชšเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชตเชฟเชถเซ‡ เช†เชชเชฃเซ€ เชชเชพเชธเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชœเชพเชฃเช•เชพเชฐเซ€ เชจ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ H เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช…เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชชเชฐ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจ เช•เซ‡ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเซ€ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชฎ เชšเชฒ X เชชเชฐเชจเซ€ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช…เชฅเชตเชพ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡. เช† เชฌเชพเชฌเชค เชธเชฎเชœเชตเชพ เชเช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชฒเชˆเช. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮธ เช•เซ‹เชˆ เช”เชฆเซเชฏเซ‹เช—เชฟเช• เชถเชนเซ‡เชฐเชฎเชพเช‚ เช•เซเชทเชฏเชฐเซ‹เช—เชฅเซ€ เชชเซ€เชกเชพเชคเซ€ เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟเช“เชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชญเซ‚เชคเช•เชพเชณเชฎเชพเช‚ เช† เชถเชนเซ‡เชฐเชฎเชพเช‚ เชฅเชฏเซ‡เชฒเซ€ เชฎเซ‹เชœเชฃเซ€เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เช•เซเชทเชฏเชฐเซ‹เช—เชฅเซ€ เชชเซ€เชกเชพเชคเซ€ เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟเช“เชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃ ฮธ = 0.2 เชฎเชพเชฒเซ‚เชฎ เชชเชกเซเชฏเซเช‚. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช†เชชเชฃเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = 0.2 เชฅเชถเซ‡. เช† เชตเชฟเชงเชพเชจเชจเซ€ เชธเชคเซเชฏเชคเชพ เชšเช•เชพเชธเชตเชพ เชถเชนเซ‡เชฐเชจเซเช‚ เช†เชฐเซ‹เช—เซเชฏ เช–เชพเชคเซเช‚ n เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟเช“เชจเซ‹ เชเช• เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฒเซ‡เชตเชพเชจเซเช‚ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‡ เชฆเชฐเซ‡เช• เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟ เชธเชพเชฅเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ ย เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชœเซ‹ เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟ เช•เซเชทเชฏเชฐเซ‹เช—เชฅเซ€ เชชเซ€เชกเชพเชคเซ€ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ X = 1 เช…เชจเซ‡ เช•เซเชทเชฏเชฐเซ‹เช—เชฅเซ€ เชฎเซเช•เซเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ X = 0 เชฒเชˆ เชถเช•เซ€เช. เช†เชฎ n เชตเซเชฏเช•เซเชคเชฟเช“เชจเชพ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเชจเซ‡ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เช—เชฃ {X1, X2,….,Xn} เชฎเชณเชถเซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• Xiเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค 1 เช…เชฅเชตเชพ 0 เชฅเชถเซ‡. เชนเชตเซ‡ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€เช—เชฃ เชชเชฐเชฅเซ€ เช†เชชเชฃเซ‡ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T = X1 + X2 +…..+Xn เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚. Tเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฆเซเชตเชฟเชชเชฆเซ€ B(n, ฮธ) เชฅเชถเซ‡ เชคเซ‡ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ T > C เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚. T > C เชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช…เชšเชฒ Cเชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซเช‚ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจเชฌเชฟเชจเซเชฆเซ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชตเชฟเชญเชพเชœเชจเชฌเชฟเชจเซเชฆเซ Cเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชถเซ‹เชงเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟ T > C เชธเชพเชฅเซ‡ เชธเช‚เช•เชณเชพเชฏเซ‡เชฒ เชฆเซ‹เชทเชจเซ‡ เชงเซเชฏเชพเชจเชฎเชพเช‚ เชฒเซ‡เชตเซ‹ เชชเชกเซ‡. เช† เชฆเซ‹เชท เชฌเซ‡ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชธเชคเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชคเซ‡เชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ‡ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เช‰เชฆเชญเชตเชคเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ‡ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชฆเซ‹เชท (type I error) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡, เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เช…เชธเชคเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เชคเซ‡เชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ‡ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เช‰เชฆเชญเชตเชคเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ‡ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชฆเซ‹เชท (type II error) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ‡ เช—เช‚เชญเซ€เชฐ เช—เชฃเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เช…เช—เชพเช‰เชฅเซ€ เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช† เช•เช•เซเชทเชพ a(0 โ‰ค a โ‰ค 1) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ H เชธเชคเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช…เชธเชฎเชคเชพ PHย (T > C) โ‰ค a เชชเชฐเชฅเซ€ C เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช. เช† เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช…เชธเชฎเชคเชพเชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เชคเซ‡เชตเซ€ Cเชจเซ€ เชเช•เชฅเซ€ เชตเชงเซ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡. Cเชจเซ€ เช† เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€เชจเซ€ เชœเซ‡ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเชพ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเชจเซ‡ เช‡เชทเซเชŸเชคเชฎ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชฎ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เช•เชฐเซ€เชจเซ‡ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‡ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เช•เชฐเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชทเซเช  เช•เซ‡ เช‡เชทเซเชŸเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเชจเซเช‚ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชจเชฟเชฐเซ‚เชชเชฃ เชธเซŒเชชเซเชฐเชฅเชฎ เชœเซ‡. เชจเซ‡เชฎเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชˆ. เชเชธ. เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจเซ‡ 1933เชฎเชพเช‚ เช•เชฐเซเชฏเซเช‚. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ‹ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค เช†เช—เชฎเชฟเช• เช…เชจเซเชฎเชพเชจ(inductive inference)เชจเซ‹ เชเช• เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเชŸ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡ เชชเช›เซ€เชจเชพ เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆเซ‹เชฎเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเชจเชพ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช• เชฎเซเช–เซเชฏ เช…เช‚เชถเซ‹ เชตเชฟเชถเซ‡ เชšเชฐเซเชšเชพ เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚.

3.2 เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซเช‚ เชจเชฟเชฐเซ‚เชชเชฃ :ย  H เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x ; ฮธ)เชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เช›เซ‡. โ€˜H เช…เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡โ€™ เช เชตเชฟเชงเชพเชจเชจเซ‡ K เชตเชกเซ‡ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€เช เชคเซ‹ K เชชเชฃ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชฅเชถเซ‡. Kเชจเซ‡ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชจเซเช‚ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชตเชพเชฐเช• เชเชตเชพ เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ ฮฉH เช…เชจเซ‡ ฮฉKเชฎเชพเช‚ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจ เช•เชฐเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ ฮฉ = ฮฉH U ฮฉK เชฅเชพเชฏ. เชœเซ‹ ฮธโˆˆฮฉH เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ H เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธโˆˆฮฉk เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ K เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡ (เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ H เช…เชธเชคเซเชฏ เช›เซ‡) เชเชฎ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชชเซเชฐเชšเชฒเชฟเชค เชชเซเชฐเชฃเชพเชฒเซ€ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ Hเชจเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ (null hypothesis) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช‰เชชเช—เชฃ ฮฉHเชฎเชพเช‚ เชฎเชพเชคเซเชฐ เชเช• เชœ เช˜เชŸเช• เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Hเชจเซ‡ เชธเชพเชฆเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฮฉHเชฎเชพเช‚ เชเช• เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เช˜เชŸเช•เซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Hเชจเซ‡ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡ เชœ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ ฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฃ เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฦ’ (x ; ฮธ) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค ฯ‡โˆˆ เช›เซ‡; เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kย : ฮธ โˆˆ ฮฉk เชจเซเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค xเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡. xเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เช…เชฅเชตเชพ Kเชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเชคเซ€ เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏเชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x ; ฮธ) เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฯ‡โˆˆ เช…เชจเซ‡ ฮธ โˆˆ ฮฉ เช›เซ‡. S เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ เชจเซ‹ เชเชตเซ‹ เช‰เชชเช—เชฃ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‹ xโˆˆS เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H:โˆˆฮธฮฉHเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ โˆˆ เช‰เชชเช—เชฃ Sเชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hย : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kย : ฮธ โˆˆ ฮฉkเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ (critical region) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. S เชจเชพ เชชเซ‚เชฐเช•เช—เชฃ Sc = ย – S เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ (acceptance region) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃ S เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ x เชšเชฒ Xเชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฮธโˆˆฮฉH เช…เชจเซ‡ xโˆˆS เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชฆเซ‹เชท เช‰เชฆเชญเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฮธโˆˆฮฉK เช…เชจเซ‡ xโˆˆSc เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชฆเซ‹เชท เช‰เชฆเชญเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชฌเช‚เชจเซ‡ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ (xโˆˆS)เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธ โˆˆ ฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ(x โˆˆ Sc)เชจเซ‡ เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชฌเช‚เชจเซ‡ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซ‚เชจเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ S เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เชคเซ‹ เชคเซ‡ เช†เชฆเชฐเซเชถเชฐเซ‚เชช เช—เชฃเชพเชฏ. เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช†เชฎ เช•เชฐเชตเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชจเชฅเซ€. เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เช…เชจเซ‡ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ เชเชตเซ€ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชคเซ‡เชฎเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเซ‹ เชฆเซ‹เชท เชฆเซเชตเชฟเชคเซ€เชฏ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชท เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เช—เช‚เชญเซ€เชฐ เช—เชฃเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ ฮธ โˆˆ ฮฉH เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ Pฮธ(xโˆˆS)เชจเซ‡ เชชเซ‚เชฐเซเชตเชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เช•เช•เซเชทเชพ (0โ‰คaโ‰ค1)เชฅเซ€ เชจเชพเชจเซ€ เชฐเชพเช–เซ€เชจเซ‡ ฮธ โˆˆ ฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ (xย โˆˆ Sc)เชจเซ‡ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เช…เชฅเชตเชพ Pฮธ (x โˆˆ S)เชจเซ‡ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเชพเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ a เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค 0.05 เช…เชฅเชตเชพ 0.01 เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชจเชฟเชฐเซ‚เชชเชฃ เช•เชฐเซ€เช.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชชเซ‚เชฐเซเชตเชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค a(0โ‰คaโ‰ค1) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒx เชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค x โˆˆ ฮฉเชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H:ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โˆˆ ฮฉKเชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ S โŠ‚ เชจเซ€ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เช•เชฐเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€

เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡. a เชจเซ‡ S เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ€ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ (level of significance) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ (size) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเชพ เช•เช•เซเชทเชพ a เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เชฅเชถเซ‡. ฮธ โˆˆ ฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ (power function) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฯ€(ฮธ)เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชฌเชฟเชจเซเชฆเซ ฮธ เช†เช—เชณเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซ€ เช‰เชชเชฐเซเชฏเซเช•เซเชค เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ เช•เซ‡ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ ฮฑ-เชตเชพเชณเชพเช‚ เชฌเชงเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‹ เช‰เชฆเซเชฆเซ‡เชถ ฮธ โˆˆ ฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ ฯ€(ฮธ)เชจเซ‡ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเชพเชตเชตเชพเชจเซ‹ เช›เซ‡. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชฎเชพเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เช†เชชเซ‡เชฒ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ a เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‡เชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เชเช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชฒเชˆเช.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 9 : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ X เชฆเซเชตเชฟเชชเชฆเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ B(2, ฮธ)เชจเซ‡ เช…เชจเซเชธเชฐเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฮธ โˆˆ ฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡

เชฅเชถเซ‡.

เช…เชนเซ€เช‚ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชพเชตเช•เชพเชถ = {0, 1, 2} เชฅเชถเซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ ย : เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชงย  K : ฮธ = 3/4เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ ฮฑ = 0.3 เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ 23 = 8 เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเซ‡ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช. เช†เชชเชฃเซ‡ Sเชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เช•เชฐเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชถเชฐเชค Pฮธ = ยฝ (xโˆˆS) โ‰ค ฮฑ = 0.3เชจเซ‡ เช†เชงเซ€เชจ Pฮธ = 3/4 (xโˆˆS) เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡. S เชจเซ€ เชชเชธเช‚เชฆเช—เซ€ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ‡ เช…เชจเซเชฐเซ‚เชช Pฮธย = ยฝ (xโˆˆS) เช…เชจเซ‡ Pฮธ = 3/4 (xโˆˆS)เชจเซ€ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพ เช•เซ‹เชทเซเชŸเช•เชฎเชพเช‚ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€ เช›เซ‡.

เช•เซ‹เชทเซเชŸเช• เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ เช•เซ‡ เชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃเซ‹ ฮฆ,{0} เช…เชจเซ‡ {2} เชฎเชพเชŸเซ‡Pฮธ=1/2(xโˆˆS) โ‰ค ฮฑ = 0.3 เชถเชฐเชคเชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช† เชชเซˆเช•เซ€เชจเชพ เช•เซ‹เชˆเชชเชฃ เช‰เชชเช—เชฃเชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = ยฝ เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ = ยพ เชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชคเซเชฐเชฃ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€ S = {2} เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ=3/4 (xโˆˆS)เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ (9/16) เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ S={2} เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = 1/2 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ 3/4เชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชถเซเชฐเซ‡เชทเซเช  เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชฅเชถเซ‡. เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เชฅเชถเซ‡. เช† เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃเชฎเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เช•เช•เซเชทเชพ ฮฑ = 0.3 เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชจเชพเชจเซเช‚ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ = 0.3 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช›เซ€เช•เชฐเชฃเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเซ‹ เชชเชกเซ‡. เช† เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชจเซเช‚ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชตเซเชฏเชพเชชเช• เชฌเชจเชพเชตเชตเซเช‚ เชœเซ‹เชˆเช, เชœเซ‡เชฅเซ€ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช…เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชฅเชคเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเชพ เชเช• เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเชŸ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชฒเชˆ เชถเช•เซ€เช.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• เชฌเซ‰เชฐเซ‡เชฒ-เชฎเชพเชชเซ€เชฏ (Borel-measurable) เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฯ† : โ†’ [0, 1]เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช†เชชเซ‡เชฒ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ ฮฑ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเซ‡ xโˆˆX เชคเชฅเชพ ฮธโˆˆ ฮฉH เชฎเชพเชŸเซ‡

Eq{ฯ†(x)}โ‰ค ฮฑ โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(22)

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฯ†เชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธโˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธโˆˆ ฮฉKเชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชฅเชตเชพ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ a-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเซเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ ฮธโˆˆ ฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฯ€ฯ†(ฮธ) = Eฮธ {ฯ†(x)} เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเซ‡เชฒ a (0โ‰คaโ‰ค1) เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‹ เช‰เชฆเซเชฆเซ‡เชถ เชเชตเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ† เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ‹ เช›เซ‡, เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€

ย โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(23) เชฅเชพเชฏ.

เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†เชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช†เชชเซ‡เชฒ xโˆˆ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†(x) เชธเช‚เชตเซƒเชค เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ [0, 1]เชฎเชพเช‚ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชพเชฐเชฃ เช•เชฐเซ‡ เช›เซ‡. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ

0 โ‰ค ฯ† (x) โ‰ค 1.

เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค x เชฎเชพเชŸเซ‡ ฯ† (x)เชจเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเชจเซ€ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. ฯ† (x)เชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเซเช‚ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ€เชถเซเช‚. เชœเซ‹ ฯ† (x)=Is(x) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฯ† เชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เช…เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ€เชถเซเช‚. เช…เชนเซ€เช‚ Is(x)เชจเซ‡ เชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃ S เชจเซเช‚ เชฆเชฐเซเชถเช•เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ (indicator function) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ x โˆˆ S เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเชตเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ ฯ† (x) = Is(x) = 1 เชฅเชถเซ‡; เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ S H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฅเชถเซ‡.

เชนเชตเซ‡เชฅเซ€ เช†เชชเชฃเซ‡ a-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเชพ H : ฮธโˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธโˆˆ ฮฉKเชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซ‡ เชคเซเชฐเชฟเชชเซเชŸเซ€ (a, ฮฉH, ฮฉK) เชธเช‚เช•เซ‡เชค เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€เชถเซเช‚.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชœเซ‹ ฯ† เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, WH, WK)เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฮธโˆˆ ฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡

ฯ€ฯ†(ฮธ) = Eฮธ{ฯ†(x)} โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ(24)

– เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†เชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. ฮธโˆˆ ฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ ฯ€ฯ†(ฮธ)เชจเซ‡ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ ฮธ เช†เช—เชณเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชนเชตเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK)เชจเซเช‚ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†เชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช‚ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เชจเชฟเชฐเซ‚เชชเชฃ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช†เชชเซ‡เชฒ x โˆˆ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ† (x) เช†เชชเชฃเซ‡ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€

เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชฌเชจเซ‡.

เช†เชชเซ‡เชฒ เช•เช•เซเชทเชพ ฮฑ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชถเชฐเชค(25)เชจเซเช‚ เชธเชฎเชพเชงเชพเชจ เช•เชฐเซ‡ เชคเซ‡เชตเชพเช‚ เชเช•เชฅเซ€ เชตเชงเซ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฎเชณเชคเชพ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK,)เชจเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเชพ เช—เชฃเชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ Cฮฑ เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€เชถเซเช‚. เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ Cฮฑ เช…เชฐเชฟเช•เซเชค เช—เชฃ เชฅเชถเซ‡. เชนเชตเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช†เชชเซ€เชถเซเช‚.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ Cฮฑ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK)เชจเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ‹ เช—เชฃ เช›เซ‡. เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†0 โˆˆCฮฑ, เช†เชชเซ‡เชฒ ฮธ1 โˆˆ ฮฉK เช…เชจเซ‡ เชฌเชงเชพ ฯ† โˆˆCฮฑเชฎเชพเชŸเซ‡ เชœเซ‹

โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ.(27)

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฯ†0เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK)เชจเซเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ (27) ฮฉKเชจเชพเช‚ เชฌเชงเชพเช‚ เชฌเชฟเช‚เชฆเซเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชเช•เชธเชฎเชพเชจ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชธเชคเซเชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฯ†0เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK)เชจเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ ฮฉH เช…เชจเซ‡ ฮฉK เชธเชพเชฆเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ (เชœเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹) เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชคเซ‡ เชœ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชœเซ‹ ฮฉH เช…เชจเซ‡ ฮฉK เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ (เชœเซ‹ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹) เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 9เชฎเชพเช‚ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช…เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช.

เช‰เชชเชฐเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡

เชนเชตเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮฑ = 0.3 เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซเช‚ เช›เซ‡. เช‰เชชเชฐเชจเชพ เช…เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชฌเชฟเชจเซเชฆเซ x = 1 เช†เช—เชณ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช›เซ€เช•เชฐเชฃ เช•เชฐเซ€เช เชคเซ‹ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = 1/2 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ = 3/4เชจเซเช‚ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เซ€เช.

เช…เชšเชฒ y(0<y<1) เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชฅเชพเชฏ. เช† เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชชเชฐเชฅเซ€ เช†เชชเชฃเชจเซ‡ y = 0.1 เชฎเชณเชถเซ‡. เชนเชตเซ‡ เช† เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เชฅเชถเซ‡. เช† เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ เช•เซ‡ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเชพ เช…เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชคเชพเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชตเชงเซ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เช†เชชเซ‡ เช›เซ‡.

เชธเชพเชฆเซ€ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โˆˆ ฮฉH = {ฮธ0} เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชธเชพเชฆเซ€ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ โˆˆ ฮฉK = {ฮธ1}เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ย  เชจเซ‡เชฎเชจ เช…เชจเซ‡ เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจเซ‡ 1933เชฎเชพเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเชพเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฎเซ‚เชณเชญเซ‚เชค เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพ เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชค เช•เชฐเซ€. เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช†เชตเชถเซเชฏเช• เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เชถเชฐเชค เช†เชชเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡.

เชจเซ‡เชฎเชจ-เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฦ’ (x ; ฮธ) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธโˆˆ ฮฉ={ฮธ0, ฮธ1}. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x เชšเชฒเชจเซ€ X เชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชธเชพเชฆเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชธเชพเชฆเซ€ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ = ฮธ1เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†(x) เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชœเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ yเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชคเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ y(x) = 0 เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ x เชชเชฐเชจเซ€ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ x1, x2,…….,xn เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช‰เชชเชฐเชจเชพ เชฏเชพเชฐเซเชฆเชšเซเช›เชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ ฯ†(x)เชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ ฯ†(x1,……,xn) เช…เชจเซ‡ ฦ’(x; ฮธ1) > Kฦ’(x; ฮธ0)เชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ เชฒเชˆเชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 10 :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1, x2,……..,xn เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(0, 1) เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฒเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ=ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ=ฮธ1, ฮธ1 > ฮธ0เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเช เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡. เชจเซ‡เชฎเชพเชจ-เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพ เช…เชจเซเชธเชพเชฐ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเซเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชนเชตเซ‡, เชชเชฐเชฅเซ€ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจเชฌเชฟเช‚เชฆเซ Kเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ y เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซ‡ เช…เชจเซเชธเชฐเซ‡ เช›เซ‡.

เชคเซ‡เชฅเซ€, ย เชชเชฐเชฅเซ€

เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ เชฎเชณเชถเซ‡. เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เช•เซ‹เชทเซเชŸเช• เชชเชฐเชฅเซ€ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเซ‡เชฒ ฮฑ เชฎเชพเชŸเซ‡ Za เชเชตเซ‹ เชฎเชณเซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€

เช†เชฎเชฎเชณเชถเซ‡ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‡ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจเชฌเชฟเช‚เชฆเซ เชฅเชถเซ‡. เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (31) เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชจเชฎเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ

เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ y= โˆ‘xiย เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชคเชค เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ p(y=k)=0 เชฅเชถเซ‡ เชคเซ‡เชฅเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ(31)เชฎเชพเช‚ เชธเชฎเชคเชพเชจเซเช‚ เชšเชฟเชนเซเชจ เช…เชธเชฎเชคเชพเช“ y>K เช…เชฅเชตเชพ y<K เชชเซˆเช•เซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชเช•เชฎเชพเช‚ เชฎเซ‚เช•เซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชœเซ‹ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเชพ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x; ฮธ) เชเชตเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เช•เซ‡ ฮธ1 โˆˆ ฮฉ, ฮธ2 โˆˆ ฮฉ เช…เชจเซ‡ ฮธ1 < ฮธ2 เชฎเชพเชŸเซ‡ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชตเชงเชคเซเช‚ เชœเชคเซเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x; ฮธ) เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T(x) เชฎเชพเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ (monotone likelihood ratio) เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ xเชจเซ€ เชถเช•เซเชฏ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹เชจเชพ เช—เชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฦ’(x;ฮธ1) เช…เชจเซ‡ ฦ’(x;ฮธ2) เชชเซˆเช•เซ€ เช—เชฎเซ‡ เชคเซ‡ เชเช• เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชงเชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เช‡เชšเซเช›เชจเซ€เชฏ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ ฦ’ (x; ฮธ) T(x)เชฎเชพเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฮธ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โˆˆฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ โˆˆฮฉHเชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชจเซ‡เชฎเชจเชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏเชฟเช•เชพเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮฉH=(-โˆž, ฮธ0] เช…เชจเซ‡ ฮธK=(ฮธ0, โˆž) เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮธ0 ฮธเชจเซ€ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช›เซ‡. เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ H : ฮธ โˆˆฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธโˆˆ ฮฉKเชจเซ‡ H : ฮธ โ‰ค ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โ‰ฅ ฮธ0เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เซ€เช. เชนเชตเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ เชชเชฐเชฟเชญเชพเชทเชฟเชค เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x; ฮธ) T(x)เชฎเชพเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ < ฮธ0ย  เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ > ฮธ0เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

เชถเชฐเชค เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฮธ โˆˆฮฉK เชฎเชพเชŸเซ‡ ฯ€ฯ† (ฮธ) ฮธเชจเซเช‚ เชตเชงเชคเซเช‚ เชœเชคเซเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฯ€ฯ†(ฮธ)เชจเซ‹ เช†เชฒเซ‡เช– เชจเซ€เชšเซ‡ เช†เชชเซเชฏเซ‹ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x; ฮธ)เชจเซ‡ เช˜เชพเชคเชพเช‚เช•เซ€เชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเชจเชพ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชตเซเชฏเช•เซเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ Q(ฮธ) ฮธเชจเซเช‚ เชตเชงเชคเซเช‚ เชœเชคเซเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฦ’ (x; ฮธ) T(x)เชฎเชพเช‚ เชเช•เชธเซ‚เชคเซเชฐเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โ‰ค ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชธเช‚เชฏเซเช•เซเชค เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K :ย  ฮธ โ‰ฅ ฮธ0เชจเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ (32) เช…เชจเซ‡ (33) เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ H เช…เชจเซ‡ K เชฌเช‚เชจเซ‡ เชเช•-เชฆเชฟเชถ (one-sided) เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เชจเซ‹เช‚เชง เชฒเชˆเช.

เชœเซ‹ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ ฮธ1 โ‰ค ฮธ2 เชฎเชพเชŸเซ‡ H : ฮธ โ‰ค ฮธ1 เช…เชฅเชตเชพ ฮธ โ‰ฅ ฮธ2 เช…เชจเซ‡ K : ฮธ1 โ‰คย ฮธ โ‰ค ฮธ2 เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชฆเซเชตเชฟเชฆเชฟเชถ เชฅเชถเซ‡. เชฌเชงเซ€ เชฆเซเชตเชฟเชฆเชฟเชถ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“เชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเชพเช‚ เชจเชฅเซ€. เช…เชฒเชฌเชคเซเชค เช…เชชเชตเชพเชฆเชฐเซ‚เชช เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชฆเซเชตเชฟเชฆเชฟเชถ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชตเชงเชคเซเช‚ เชœเชคเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‹ ฮธ1 โ‰ค ฮธ2 เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โ‰ค ฮธ1 เช…เชฅเชตเชพ ฮธ โ‰ฅ ฮธ2 K : ฮธ1< ฮธ < ฮธ2เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชฎเซเชœเชฌ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ :

ฮธ1 โ‰ค ฮธ2 เชฎเชพเชŸเซ‡ H : ฮธ1 < ฮธ < ฮธ2 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ < ฮธ1 เช…เชฅเชตเชพ ฮธ > ฮธ2เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชจเชฅเซ€. เชœเซ‹ ฮธ1 = ฮธ2 = ฮธ0 เชฒเชˆเช เชคเซ‹ เช‰เชชเชฐเชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเชจเซ‡ H : ฮธ = ฮธ0 เช…เชจเซ‡ K : ฮธ โ‰  ฮธ0เชจเชพ เชธเซเชตเชฐเซ‚เชชเชฎเชพเช‚ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ. H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โ‰  ฮธ0เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชจเชฅเซ€; เชชเชฐเช‚เชคเซ เชœเซ‹ ฮธ (0, ฮธ) เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เชชเชฐ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เชเช•เชธเชฎเชพเชจ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ x1,……,xn เช† เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โ‰  ฮธ0เชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชฒเช–เซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชฅเชถเซ‡ เชเชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซ‹ เช†เชฒเซ‡เช– เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เช›เซ‡ :

เช†เช•เซƒเชคเชฟ

3.3 เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ :

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ ฯ† H : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โˆˆ ฮฉKเชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช›เซ‡. เชœเซ‹

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฮธเชจเซ‡ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชธเช‚เชตเซƒเชคเช•เซ‹ (closures) เช›เซ‡. เช—เชฃ ฯ‰เชจเซ‡ ฮฉH เช…เชจเซ‡ ฮฉKเชจเซ‹ เชธเซ€เชฎเชพเช—เชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชนเชตเซ‡ ฮฑ-เชธเชฎเชพเชจ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช†เชชเซ€เช.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ โˆˆ ฮฉKเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชœเซ‹ ฮธ โˆˆ ฯ‰ เชฎเชพเชŸเซ‡

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฯ†เชจเซ‡ ฮฑ-เชธเชฎเชพเชจ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชœเซ‹ ย : H : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โˆˆ ฮฉKเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ†เชจเซเช‚ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฯ€ฯ† (ฮธ) ฮธเชจเซเช‚ เชธเชคเชค-เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ ฯ† เชธเซ€เชฎเชพ-เช—เชฃ ฯ‰ย เชชเชฐเชจเชพเช‚ เชฌเชงเชพเช‚ ฮฑ-เชธเชฎเชพเชจ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชฎเชพเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฯ†เชจเซ‡ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชฎเชพเช‚ เชเช• เช•เชฐเชคเชพเช‚ เชตเชงเซ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡. เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เชœเซ‹ Xเชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซเชฏ N (ฮธ,ฯƒ2) เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ = ฮธ1 (>ฮธ0)เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช…เชจเซ‡ ฯƒ2 เช…เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฯƒ2เชจเซ‡ เชฎเชฟเชฅเซเชฏเชพ-เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ (nuisance parameter) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชฎเชฟเชฅเซเชฏเชพ-เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฯƒ2 เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเชฐเซเชฏเชพเชชเซเชค เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซ‹ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡ เชธเซ€เชฎเชฟเชค เชฐเซ€เชคเซ‡ เชธเช‚เชชเซ‚เชฐเซเชฃ (boundedly complete) เชนเซ‹เชฏ, เชคเซ‹ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ = ฮธ1เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮฑ-เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจเชตเชพเชณเซเช‚ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. (เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชคเชฅเชพ เช…เชจเซเชฏ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชตเชฟเชถเชฆ เช›เชฃเชพเชตเชŸ E. H. Lehmannเชจเชพ เชชเซเชธเซเชคเช• โ€˜Testing Statistical Hypothesisโ€™เชฎเชพเช‚ เช•เชฐเซ‡เชฒเซ€ เช›เซ‡.)

3.4 เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ :

เช…เช—เชพเช‰เชจเชพ เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆเซ‹เชฎเชพเช‚ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ-เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ (ฮฑ, ฮฉH, ฮฉK) เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ, เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชตเช—เซ‡เชฐเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชตเชฟเชถเซ‡ เชšเชฐเซเชšเชพ เช•เชฐเซ€. เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซเช‚ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ xเชจเชพ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’ (x; ฮธ)เชจเชพ เชตเชฟเชถเชฟเชทเซเชŸ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชชเชฐ เช…เชตเชฒเช‚เชฌเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆเชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐเชจเซ€ เชฐเซ€เชค เชตเชฟเชถเซ‡ เชšเชฐเซเชšเชพ เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚. เช† เชฐเซ€เชคเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชฏเซ‹เช—เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชตเซเชฏเชพเชชเช• เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เช† เชฐเซ€เชค เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เช•เซ‡เชŸเชฒเชพเช‚เช• เช‡เชทเซเชŸ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ (เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เช—เซเชฐเซเชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ) เช—เซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซ‹ เชงเชฐเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชธเชฆเชฟเชถ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฦ’ (x; ฮธ) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ Rk K-เชชเชฐเชฟเชฎเชพเชฃเซ€ เชฏเซเช•เซเชฒเชฟเชกเซ€เชฏ เช…เชตเช•เชพเชถ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x = (x1, …,xn) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ x เชชเชฐเชจเชพเช‚ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฆเชฟเชถ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ โˆˆ ฮฉH เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ โˆˆ ฮฉK เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡. x เชจเซเช‚ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ

เชœเซ‹ เช…เชšเชฒ c(o โ‰ค c โ‰ค 1) เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮป(x)โ‰คc เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚. เช…เชจเซ‡ เชœเซ‹ ฮป(x)โ‰ฅc เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ Hเชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€เชถเซเช‚. เช†เชฎ เช†เชชเชฃเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ ฮป(x)เชจเซ€ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Kเชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชœเซ‹ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ ฮฑ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เช…เชšเชฒ cเชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชถเชฐเชค ย เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช†เชฎ, เช†เชชเชฃเชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชฐเชšเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชเช• เชตเซเชฏเชตเชธเซเชฅเชฟเชค เชฐเซ€เชค เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชคเซเช‚ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เช˜เชฃเซ€ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชธเชพเชฐเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡, เชชเชฐเช‚เชคเซ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชจเซ‡เชฎเชจ-เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค เชฎเซเชœเชฌ เช•เซ‹เชˆ เชชเซเชฐเชคเชฟเชฌเช‚เชงเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช—เชฎเชพเช‚ เชฒเซ€เชงเชพ เชจเชฅเซ€. เชคเซ‡เชฅเซ€ เช†เชตเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเชฎเชพเชจ เช…เชจเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เช–เชฐเชพเชฌ เชชเชฃ เชนเซ‹เชˆ เชถเช•เซ‡.

เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐเชจเซ€ เชฐเซ€เชคเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชธเชฎเชœเชตเชพ เชเช• เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ เชฒเชˆเช.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 11 : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x1, x2, …, xn เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒเชพเช‚ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง K : ฮธ โ‰  ฮธ0เชจเซเช‚ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเช เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚ เช›เซ‡. เช† เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชงเชฐเชพเชตเชคเซเช‚ เชจเชฅเซ€ เชคเซ‡ เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆ 3.3เชฎเชพเช‚ เชœเซ‹เชˆ เช—เชฏเชพ. เช†เชชเชฃเซ‡ เชนเชตเซ‡ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เชถเซเช‚. เช…เชนเซ€เช‚ ฮฉH = {ฮธ0} เช…เชจเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉ = (-โˆž, โˆž) เชฅเชถเซ‡.

เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ

เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เชฅเชพเชฏ. ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพ เช•เซ‹เชทเซเชŸเช•เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชตเชฟเชญเชพเชœเชจเชฌเชฟเช‚เชฆเซ เชจเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชฎ เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡

เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเซเช‚ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ Hเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเชถเซ‡. เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ ฮธ โ‰  ฮธ0 เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ

เชธเชคเชค เชตเชงเชคเซเช‚ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชธเชนเซ‡เชฒเชพเชˆเชฅเซ€ เชšเช•เชพเชธเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชตเชงเซเชฎเชพเช‚ ฯ€(ฮธ0) = a เช…เชจเซ‡ ฮธ โ‰  ฮธ0 เชฎเชพเชŸเซ‡ ฯ€(ฮธ)โ‰ฅa เชฅเชถเซ‡. เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเซเช‚ เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฌเชงเชพเช‚ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชฎเชพเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช›เซ‡ เชคเซ‡เชฎ เชฌเชคเชพเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ ฮป(x)เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซเช‚ เชชเชกเซ‡. เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ ฮป(x)เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซเช‚ เชฎเซเชถเซเช•เซ‡เชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ nเชจเซ€ เช—เซเชฐเซ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮป(x)เชจเซเช‚ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช เช…เชจเซ‡ ฮป(x)เชจเชพ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เช†เชชเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เซ€เช.

เชชเซเชฐเชฎเซ‡เชฏ : เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชต เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x; ฮธ) เชชเชฐเชจเซ€ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชจเชฟเชฏเชฎเชฟเชคเชคเชพ เชถเชฐเชคเซ‹ เชนเซ‡เช เชณ เช—เซเชฐเซเชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ n เชฎเชพเชŸเซ‡ – 2 log ฮป(x)เชจเซเช‚ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ r เชธเซเชตเชพเชคเช‚เชคเซเชฐเซเชฏเชจเซ€ เชฎเชพเชคเซเชฐเชพเชตเชพเชณเซเช‚ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เชตเซ‡เชฐ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ เชธเซเชตเชพเชคเช‚เชคเซเชฐเซเชฏเชจเซ€ เชฎเชพเชคเซเชฐเชพ r เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ ฮฉH เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮธย เชชเชฐ เชฎเซ‚เช•เซ‡เชฒเชพ เชชเซเชฐเชคเชฟเชฌเช‚เชงเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡.

เชนเชตเซ‡ เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 11เชฎเชพเช‚ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ (37)เชจเซเช‚ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช. (37)เชฎเชพเช‚ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค ฮป(x) เชชเชฐเชฅเซ€ เชฅเชถเซ‡. H เชนเซ‡เช เชณ เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชจเซเช‚ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ r = 1 เชธเซเชตเชพเชคเช‚เชคเซเชฐเซเชฏเชจเซ€ เชฎเชพเชคเซเชฐเชพเชตเชพเชณเซเช‚ เช•เชพเช‡-เชธเซเช•เซเชตเซ‡เชฐ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฅเชถเซ‡.

3.5 เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ : เช…เชคเซเชฏเชพเชฐ เชธเซเชงเซ€ เชšเชฐเซเชšเซ‡เชฒเซ€ เช†เช—เชฃเชจ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชจเชฟเชฏเชค เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชตเชพเชณเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เช›เซ‡. เชเชŸเชฒเซ‡ เช•เซ‡ เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชฎเชพเช‚ เชจเชฟเชฏเชค เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชจเชพเช‚ n เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชฒเชˆเช เช›เซ€เช เช…เชจเซ‡ เช† เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T(x)เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ Hเชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช…เชฅเชตเชพ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€เช เช›เซ€เช. เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช›เซ‡. เชฆเชพเช–เชฒเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชเช• เชธเชฎเชฏเซ‡ เชเช• เชœ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจ เชฒเชˆเช เช…เชจเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ เชชเชฐเชฅเซ€ เชตเชงเซ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชฒเซ‡เชตเชพเช‚ เช•เซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชตเชฟเชถเซ‡ เช…เช‚เชคเชฟเชฎ เชจเชฟเชฐเซเชฃเชฏ เช•เชฐเชตเซ‹ เชคเซ‡ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เซ€เช. เชœเซ‡ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชฎเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ‡ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ (sequential method) เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช…เชฌเซเชฐเชพเชนเชฎ เชตเซ‰เชฒเซเชกเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชตเชฟเชถเซ‡ เชšเชฐเซเชšเชพ เช•เชฐเซ€เช. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฦ’ (x; ฮธ) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ (xk} ฦ’ (x; ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซ€ เชถเซเชฐเซ‡เชฃเซ€ เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเชฟเชฐเชพเช•เชฐเชฃเซ€เชฏ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H : ฮธ = ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ K : ฮธ = ฮธ1 (>ฮธ0)เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชตเชฟเชšเชพเชฐเซ€เช. เชฌเซ‡ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเช“ เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ ฮฑ เช…เชจเซ‡ ฮฒ เช›เซ‡, เชเชฎ เชงเชพเชฐเซ€เช.

เชตเซ‰เชฒเซเชกเชจเซเช‚ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ (sequential probability ratio test) เชจเซ€เชšเซ‡ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฏเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡

เชนเซ‹เชฏ. เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮป1, ฮป2,……เชจเซ€ เช—เชฃเชคเชฐเซ€ เช•เชฐเซ€ เชจเซ€เชšเซ‡เชจเชพเช‚ เชธเซ‹เชชเชพเชจ เชตเชฟเชšเชพเชฐเซ€เช.

เชธเซ‹เชชเชพเชจ 1 : เชœเซเชฏเชพเช‚ เชธเซเชงเซ€ B < ฮปn (x) <A เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเช‚ เชธเซเชงเซ€ เชเช• เชชเช›เซ€ เชเช• เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชฒเซ‡เชตเชพเชจเซเช‚ เชšเชพเชฒเซ เชฐเชพเช–เชตเซเช‚.

เชธเซ‹เชชเชพเชจ 2 : เชœเซ‹ K = 1, 2, …, n-1 เชฎเชพเชŸเซ‡ เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ ฮปn โ‰ค B เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ nเชฎเชพเช‚ เชคเชฌเช•เซเช•เซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ H เชจเซ‹ เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚.

เชธเซ‹เชชเชพเชจ 3 : เชœเซ‹ K = 1, 2, …, n-1 เชฎเชพเชŸเซ‡ B < ฮปk < A เชนเซ‹เชฏ เช…เชจเซ‡ ฮปn โ‰ฅ A เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ nเชฎเชพ เชคเชฌเช•เซเช•เซ‡ Hเชจเซ‹ เช…เชธเซเชตเซ€เช•เชพเชฐ เช•เชฐเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เช•เชฐเชตเซเช‚.

เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เช…เชšเชฒเซ‹ A เช…เชจเซ‡ B เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เชธเซ€เชฎเชพเช“ เชเชตเซ€ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเชตเชพเชจเซ€ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชฌเซ‡ เชชเซเชฐเช•เชพเชฐเชจเชพ เชฆเซ‹เชทเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเช“ เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ ฮฑ เช…เชจเซ‡ ฮฒ เชฅเชพเชฏ. เช…เชฒเชฌเชคเซเชค A เช…เชจเซ‡ Bเชจเซ€ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเชตเซ€ เชฎเซเชถเซเช•เซ‡เชฒ เช›เซ‡. เชชเชฐเช‚เชคเซ เชคเซ‡เชฎเชจเซ€ เช†เชธเชพเชฆเชฟเชค เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชธเชพเชจเซเชค เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชจเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชฎเชพเช‚ เชชเซ‚เชฐเซเชฃ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ 1 เช›เซ‡ เชคเซ‡เชตเซ€ เชงเชพเชฐเชฃเชพ เชนเซ‡เช เชณ เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช•เซ‡

เช†เชชเชฃเซ‡ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (40)เชฎเชพเช‚ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เช†เชธเชพเชฆเชพเชจ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช…เชธเชฎเชคเชพเชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ เชธเชฎเชคเชพ เชฒเชˆ เชถเช•เซ€เช. เช…เชฐเซเชฅเชพเชคเซ เชฒเชˆ เชถเช•เซ€เช. H เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง Kเชจเชพเช‚ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏเชจเซเช‚ เช†เชธเชพเชฆเชฟเชค เชธเซ‚เชคเซเชฐ

เช›เซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ h = h (ฮธ) โ‰  0 เชธเช‚เช•เชฒ

เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ

-เชจเซ‹ เช…เชจเชจเซเชฏ เช‰เช•เซ‡เชฒ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N(ฮธ, 1) เชฎเชพเชŸเซ‡

เชฅเชพเชฏ เชคเซ‡เชฎ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (41) เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเชพเชฌเชฟเชค เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชธเซ‚เชคเซเชฐ (41) เชชเชฐเชฅเซ€ เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เช•เซเชฐเชฟเชฏเชพเชฒเช•เซเชทเชฃ เชตเชฟเชงเซ‡เชฏ

เชฅเชถเซ‡. เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ N เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ Nเชจเซ€ เช…เชœเซเชžเชพเชค ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เช…เชชเซ‡เช•เซเชทเชฟเชค เช•เซ‡ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเชจเซเช‚ เชธเซ‚เชคเซเชฐ

เชฅเชถเซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ เชจเซ‡ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเชฐเซ‡เชฐเชพเชถ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเช• เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชจเซ‹ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชฏเชฅเชพเชฐเซเชฅ เช›เซ‡, เช•เชพเชฐเชฃ เช•เซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ-เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช‚ เช…เช—เชพเช‰เชฅเซ€ เชจเชฟเชฏเชค เชธเช‚เช–เซเชฏเชพเชฎเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจ เชฒเซ‡เชตเชพเชจเซ€ เช†เชตเชถเซเชฏเช•เชคเชพ เชฐเชนเซ‡เชคเซ€ เชจเชฅเซ€. เช”เชฆเซเชฏเซ‹เช—เชฟเช• เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เช‰เชคเซเชชเชพเชฆเชจ-เชตเชธเซเชคเซเช“ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจเชฎเชพเช‚ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเชพ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเชตเชพเชฅเซ€ เช•เชฐเช•เชธเชฐเชฏเซเช•เซเชค เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถเชจ เชฏเซ‹เชœเชจเชพ เชฐเชšเชตเชพเชจเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡.

เชตเซ‰เชฒเซเชกเซ‡ เชชเซเชฐเชธเซเชคเซเชค เช•เชฐเซ‡เชฒ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ€ เชœเซ‡เชฎ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เช†เช—เชฃเชจเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ‹ เชตเชฟเชถเซ‡ เชชเชฃ เช†เชจเซเช•เซเชฐเชฎเชฟเช• เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชฐเชšเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ€ เช›เซ‡.

3.6 เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช—เซ€เชจเชคเชพ :

เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เช•เซ‹เชˆเช• เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเซ‰เชกเชฒ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ€เช เช›เซ€เช เช…เชจเซ‡ เช† เชฎเซ‰เชกเชฒ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฎเซ‰เชกเชฒเชจเชพ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€เช เช›เซ€เช. เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ‡เชฒ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเซ‰เชกเชฒเชฎเชพเช‚ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฐเซ€เชคเซ‡ เชคเซเชฐเชฃ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“ เช•เชฐเชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡ :

(1) เชฎเซ‰เชกเซ‡เชฒเชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒเชพเช‚ เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช›เซ‡.

(2) เช† เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹เชจเซเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชธเชฎเชพเชจ เช›เซ‡.

(3) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฎเซ‰เชกเชฒเชจเซเช‚ เช—เชพเชฃเชฟเชคเชฟเช• เชธเซเชตเชฐเซ‚เชช เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เช›เซ‡.

เช† เชชเซˆเช•เซ€เชจเซ€ เช•เซ‹เชˆ เชเช• เช…เชฅเชตเชพ เชฌเชงเซ€ เชงเชพเชฐเชฃเชพเชจเซเช‚ เช‰เชฒเซเชฒเช‚เช˜เชจ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชธเชพเชฐเซเชฅเช•เชคเชพเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เช…เชจเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏ เชชเชฐ เชถเซ€ เช…เชธเชฐ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡ เช…เชฅเชตเชพ เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฏเชฅเชพเชฐเซเชฅ เชฐเชนเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เช•เซ‡เชฎ เชคเซ‡เชจเซ€ เชšเช•เชพเชธเชฃเซ€ เช•เชฐเชตเชพเชจเซเช‚ เชœเชฐเซ‚เชฐเซ€ เชฌเชจเซ‡ เช›เซ‡. เช† เชšเช•เชพเชธเชฃเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชตเชชเชฐเชพเชคเชพ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเชจเชพ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เชงเชพเชฐเชฃเชพเชจเชพ เช‰เชฒเซเชฒเช‚เช˜เชจเชจเชพ เช•เชพเชฐเชฃเซ‡ เชฎเชณเชคเชพ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช…เชฅเชตเชพ เชคเซ‡เชจเชพ เช…เชจเช‚เชคเชฒเช•เซเชทเซ€ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชชเชฐเชฅเซ€ เช•เชฐเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“เชฎเชพเช‚ เชฅเชคเชพ เชนเชณเชตเชพ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐเซ‹เชฅเซ€ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เช…เชจเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชฎเชพเช‚ เช—เซเชฐเซเชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เช—เชฃเชจเชพเชชเชพเชคเซเชฐ เชคเชซเชพเชตเชค เชชเชกเชคเซ‹ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เช†เชชเซ‡เชฒเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“เชฎเชพเช‚ เชฅเชฏเซ‡เชฒเชพ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐเซ‹ เชชเชฐเชคเซเชตเซ‡ เช…เชธเช‚เชตเซ‡เชฆเชจเชถเซ€เชฒ เช…เชฅเชตเชพ เชธเช‚เช—เซ€เชจ เช›เซ‡ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เช†เชชเซ‡เชฒ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ-เชฎเซ‰เชกเชฒเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ เชตเชฟเชถเซ‡เชจเซ€ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเชจเซเช‚ เชคเซ‡ เชฎเซ‰เชกเชฒ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เชฐเซ‡เชฒ เช‡เชทเซเชŸเชคเชฎ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“ เชนเซ‡เช เชณ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช† เชงเชพเชฐเชฃเชพ เช•เซ‡ เชงเชพเชฐเชฃเชพเช“เชฎเชพเช‚ เช•เซ‹เชˆ เชซเซ‡เชฐเชซเชพเชฐ เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹เชชเชฃ เชคเซ‡เชจเซ€ เช•เช•เซเชทเชพ เช…เชจเซ‡ เชธเชพเชฎเชฐเซเชฅเซเชฏเชจเชพ เชธเช‚เชฆเชฐเซเชญเชฎเชพเช‚ เชธเช‚เช—เซ€เชจ เชฐเชนเซ‡ เช›เซ‡, เช•เซ‡ เช•เซ‡เชฎ เชคเซ‡ เชตเชฟเชถเซ‡ เชคเชพเชœเซ‡เชคเชฐเชฎเชพเช‚ เช˜เชฃเซเช‚ เชฐเชธเชชเซเชฐเชฆ เชธเช‚เชถเซ‹เชงเชจ เชฅเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ€ เชธเช‚เช—เซ€เชจเชคเชพ เชšเช•เชพเชธเชตเชพ Simulation เช…เชจเซ‡ Bootstrap เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช‰เชชเช•เชพเชฐเช• เชจเซ€เชตเชกเซเชฏเซ‹ เช›เซ‡. เช—เชฃเช•เชฏเช‚เชคเซเชฐเชจเชพ เชตเชฟเช•เชพเชธ เชธเชพเชฅเซ‡ เช† เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชตเชงเซ เชชเซเชฐเชšเชฒเชฟเชค เช…เชจเซ‡ เชเชกเชชเซ€ เชฌเชจเซเชฏเซ‹ เช›เซ‡.

[4] เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช†เช—เชฃเชจ :

4.1 เชชเซเชฐเชพเชธเซเชคเชพเชตเชฟเช• : เชชเชฐเชฟเชšเซเช›เซ‡เชฆ 2เชฎเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏ ฦ’(x, ฮธ)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฆเชฐเซเชถ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ€ x = (x1, ….,xn) เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉเชจเชพ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเชพ เชฌเชฟเชจเซเชฆเซ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐ T(x) เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ€ เชตเชฟเชตเชฟเชง เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเช“ เชตเชฟเชถเซ‡ เชœเซ‹เชˆ เช—เชฏเชพ. เชธเซเชชเชทเซเชŸ เช›เซ‡ เช•เซ‡ T(x)โˆˆฮฉ. เชนเชตเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเชพ เช†เช—เชฃเชจ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถเชฎเชพเช‚ เชฌเชฟเช‚เชฆเซ T(x)เชจเซ‡ เชฌเชฆเชฒเซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ [T1(x), T2(x)]โŠ‚ฮฉ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เช† เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซ€ เชธเชพเชšเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเชจเซ‡ เชธเชฎเชพเชตเซ‡. เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชจเชฟเชฐเซเชฆเชฟเชทเซเชŸ เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ 1-ฮฑ(0 โ‰ค ฮฑ 1) เชนเซ‹เชฏ. เช…เชนเซ€เช‚ T1(x) เช…เชจเซ‡ T2(x) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒเซ‹ เชนเซ‹เชตเชพเชฅเซ€ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ [T1(x), T2(x)]เชจเซ‡ (1-ฮฑ) เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพเชตเชพเชณเซ‹ เช…เชฅเชตเชพ (1-ฮฑ) เชตเชฟเชถเซเชตเชพเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธเชจเซเช‚ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช†เช—เชฃเชจ เช•เชฐเชตเชพเชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชจเซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช†เช—เชฃเชจ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

4.2 เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ‹ เชจเซ‡เชฎเชจเชจเซ‹ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เชšเชฒ Xเชจเซ€ เชฌเชงเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชคเซ‹เชจเซ‹ เช—เชฃ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ {ฦ’ (x; ฮธ) : ฮธ โˆˆ ฮฉ} เชšเชฒ Xเชจเชพเช‚ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช•เซ‡ เช˜เชŸเชคเซเชตเชตเชฟเชงเซ‡เชฏเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เช›เซ‡. เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• Xโˆˆ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ S(x) ฮฉเชจเซ‹ เช‰เชชเช—เชฃ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ ฮฑ(o โ‰ค ฮฑ โ‰ค 1) เชเช• เชชเซ‚เชฐเซเชตเชจเชฟเชถเซเชšเชฟเชค เชธเช‚เช–เซเชฏเชพ เช›เซ‡.

เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ {S(x) : Xโˆˆ} เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ (1-ฮฑ) เชตเชฟเชถเซเชตเชพเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• S(x) เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเชพ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเชจเซ‡ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เช…เชนเซ€เช‚ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เช…เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชตเชพ เช›เชคเชพเช‚ เช…เชšเชฒ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ S(x) เชฏเชฐเซเชฆเชšเซเช› เช—เชฃ เช•เซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช›เซ‡. เชตเชณเซ€ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (45) เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชชเชทเซเชŸ เชฅเชถเซ‡ เช•เซ‡ เช—เชฃ S(x) เช…เชœเซเชžเชพเชค เช…เชจเซ‡ เช…เชšเชฒ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒqเชจเซ‹ เชธเชฎเชพเชตเซ‡เชถ เช•เชฐเซ‡ เชคเซ‡เชตเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช“เช›เชพเชฎเชพเช‚ เช“เช›เซ€ 1-ฮฑ เช›เซ‡.

เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชจเซเช‚ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช‚ เชจเชฟเชฐเซ‚เชชเชฃ เช•เซ‡ เชฐเซ‚เชชเชพเช‚เชคเชฐ เชฅเชˆ เชถเช•เซ‡ เชเชฎ เชจเซ‡เชฎเชจเซ‡ เชธเชฟเชฆเซเชง เช•เชฐเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ H : ฮธ = ฮธ0เชจเซเช‚ เช•เซ‹เชˆ เชตเซˆเช•เชฒเซเชชเชฟเช• เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพ เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ a-เช•เช•เซเชทเชพเชจเซเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซเชฏเซเช‚ เช›เซ‡ เช…เชจเซ‡ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ A(ฮธ0)โŠ‚ เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชจเชพ เช‰เชชเช—เชฃเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ {A(ฮธ) : ฮธโˆˆฮฉ}เชเชตเซ‹ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เชฌเชงเชพ ฮธโˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡

โ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆโ€ฆ..(46)

เชฅเชพเชฏ. เชนเชตเซ‡ เชœเซ‹ xเชจเซ‡ เชจเชฟเชฏเชค เชฐเชพเช–เซ€ เชœเซ‡เชฎเชจเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ xโˆˆA(ฮธ) เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเชพเช‚ เชฌเชงเชพเช‚ เชฌเชฟเช‚เชฆเซเช“เชฅเซ€ เชฎเชณเชคเชพ ฮธเชจเชพ เช—เชฃเชจเซ‡ S(x) เชตเชกเซ‡ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ€เช เชคเซ‹

เช†เชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเชพเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เช•เซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ เช…เชจเซ‡ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชชเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช†เชฎ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เช…เชจเซ‡ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซ‹ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชธเชฎเชคเซเชฒเซเชฏ เช›เซ‡.

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ ฮธ0 โˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮธ = ฮธ0เชจเซเช‚ ฮธ โ‰  ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเช เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ A(ฮธ0) เช…เชจเซ‡ A*(ฮธ0) เชเชฎ เชฌเซ‡ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชฎเชณเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‹ เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ (47) เชชเชฐเชฅเซ€ {S(x) เช…เชจเซ‡ {S* (x)} เช…เชจเซเช•เซเชฐเชฎเซ‡ {A(ฮธ) : ฮธโˆˆฮฉ} เช…เชจเซ‡ {A* (ฮธ) : ฮธโˆˆฮฉ} เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชฎเชณเชคเชพ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเชพ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเซ‹ เชฅเชถเซ‡. เชคเซ‹ เช† เชฌเซ‡ เชชเซˆเช•เซ€ เช•เชฏเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช–เชฐเชพเชฌ เชคเซ‡ เชœเชพเชฃเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช•เซ‹เชˆ เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชก เชจเช•เซเช•เซ€ เช•เชฐเชตเซ‹ เชชเชกเซ‡. เช† เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ‹ เชฎเชพเชชเชฆเช‚เชก เชจเซ€เชšเซ‡เชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพเชฎเชพเช‚ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซเชฏเซ‹ เช›เซ‡.

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเชพ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเชพ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏเซ‹ เช›เซ‡. เชœเซ‹ เชฌเชงเชพ ฮธ เช…เชจเซ‡ ฮธยด เชฎเชพเชŸเซ‡

เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹เชคเซเชฒเชจเชพเชฎเชพเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชตเชงเซ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ (uniformally most accurate) เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เช•เชนเซ‡ เช›เซ‡.

เชธเชฎเซ€เช•เชฐเชฃ(48)เชฎเชพเช‚ ย เชคเซ‡เชฎเชœ

เชœเซเชฏเชพเชฐเซ‡ ฮธเชจเซ€ เชธเชพเชšเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค ฮธ’ เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ S(x) เช•เซ‡ S* (x) ฮธเชจเซ€ เช–เซ‹เชŸเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช†เชตเชฐเซ‡ เชคเซ‡เชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซ‡ เช›เซ‡. เชœเซ‡ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชฎเชพเชŸเซ‡ ฮธเชจเซ€ เช–เซ‹เชŸเซ€ เช•เชฟเช‚เชฎเชค เช†เชตเชฐเซ‡ เชคเซ‡ เช˜เชŸเชจเชพเชจเซ€ เชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช“เช›เซ€, เชคเซ‡ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเชพเชฐเซเชตเชคเซเชฐเชฟเช• เชฐเซ€เชคเซ‡ เชตเชงเซ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เชเชฎ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฏ.

เชนเชตเซ‡ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชตเชงเซ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹ เช•เซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชชเชฐเชฟเช•เชฒเซเชชเชจเชพเชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพเช‚ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเชตเชพเชณเชพเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเช‚ เชชเชกเซ‡. เชœเซ‹ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เช…เชธเซเชคเชฟเชคเซเชต เชจ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพเช‚ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชฌเชงเชพเช‚ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชชเซˆเช•เซ€ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชตเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ, เช…เชจเซ‡ เช† เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเชพเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐเซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเชณเชคเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เช…เชคเชฟเชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เช•เชนเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เชœเซ‹ เชจเซ‡เชฎเชจเชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช†เชตเชพเช‚ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซเช‚ เชถเช•เซเชฏ เชจ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเซ‹เชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เช•เชฐเซ€ เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เช—เซเชฃเซ‹เชคเซเชคเชฐ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเซ‹ เชธเชฎเซเชฆเชพเชฏ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 12 :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ x = (x1, x2, ……xn) เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ N (ฮธ, ฯƒ2)เชฎเชพเช‚เชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เช†เชชเชฃเซ‡ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ‹ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃ เช•เซ‡ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเซ‹ เช›เซ‡. เชœเซ‹ ฯƒ2 เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฮธ = ฮธ0เชจเซเช‚ ฮธ โ‰  ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชงเชจเซเช‚ เชจเซ‡เชฎเชจเชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค เช…เชจเซเชธเชพเชฐ เชฎเชณเชคเชพ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ

เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช‰เชชเชฐเชจเชพ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชชเชฐเชฅเซ€ เช†เชชเชฃเชจเซ‡

เชฅเชถเซ‡. เชœเซ‹ ฯƒ2 เช…เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‹ ฮธ = ฮธ0 เชจเซเช‚ ฮธ โ‰  ฮธ0 เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชงเชจเซเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ

เชฅเชถเซ‡. เช…เชนเซ€เช‚ s2 = เช…เชจเซ‡ tฮฑ/2, n – 1 เชธเซเชŸเซเชกเชจเซเชŸเชจเชพ n – 1 เชธเซเชตเชพเชคเช‚เชคเซเชฐเซเชฏเชจเซ€ เชฎเชพเชคเซเชฐเชพเชตเชพเชณเชพ t-เชตเชฟเชคเชฐเชฃเชจเชพเช‚ เช•เซ‹เชทเซเชŸเช•เซ‹ เชชเชฐเชฅเซ€ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ. เช† เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ เชชเชฐเชฅเซ€ เชชเซเชฐเชพเชšเชฒ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ (1-ฮฑ) เชตเชฟเชถเซเชตเชพเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเซ‹ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เช…เชคเชฟเชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ)

เชฎเชณเชถเซ‡. เช† เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เช…เชคเชฟเชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเซ‹เชจเซ€ เชฒเช‚เชฌเชพเชˆ เชจเซเชฏเซ‚เชจเชคเชฎ เชนเซ‹เชฏ เช›เซ‡ เชคเซ‡ เชจเซ‹เช‚เชงเชชเชพเชคเซเชฐ เช›เซ‡.

4.3 เชเช•เชฆเชฟเชถ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เชธเซ€เชฎเชพเช“ :

เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชšเชฒเชพเชตเช•เชพเชถ ฮฉ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช• เชฐเซ‡เช–เชพเชจเชพ เช—เชฃ Rเชจเซ‹ เช‰เชชเช—เชฃ เช›เซ‡. เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เช•เซ‡เชŸเชฒเซ€เช• เชตเชพเชฐ เชเชตเซ€ เชชเชฐเชฟเชธเซเชฅเชฟเชคเชฟ เช‰เชฆเชญเชตเซ‡ เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฎเชพเช‚ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ เชŠเชฐเซเชงเซเชต เช…เชฅเชตเชพ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพเชจเซ€ เชœเชฐเซ‚เชฐ เชชเชกเซ‡. เชฆเชพเช–เชฒเชพ เชคเชฐเซ€เช•เซ‡ เช•เซ‹เชˆเช• เช”เชทเชงเชจเซ€ เชฌเชจเชพเชตเชŸเชฎเชพเช‚ เชตเชชเชฐเชพเชคเชพ เชคเชคเซเชตเชจเซ€ เชตเชฟเชทเชฎเชคเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชŠเชฐเซเชงเซเชต เชธเซ€เชฎเชพ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซเช‚ เชตเชงเซ เชชเชธเช‚เชฆ เช•เชฐเซ€เช เช›เซ€เช เช•เซ‡ เชœเซ‡เชฅเซ€ เช”เชทเชงเชจเซ€ เช†เชกเช…เชธเชฐ เชธเชพเชฎเซ‡ เชฐเช•เซเชทเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเชตเชพเชจเซเช‚ เชธเซเชฒเชญ เชฌเชจเซ‡.

เชนเชตเซ‡ เชเช•เชฆเชฟเชถ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช—เชฃเซ‹เชจเซ€ เชชเชฆเซเชงเชคเชฟเชธเชฐเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช†เชชเซ€เช :

เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ : เชœเซ‹ เชฌเชงเชพ ฮธ โˆˆ ฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ (ฮธโ‰คU(x)) โ‰ฅ 1-ฮฑ เช…เชจเซ‡ Pฮธ (ฮธโ‰คU* (x))โ‰ฅ 1-ฮฑ เชนเซ‹เชฏ เชคเซ‡เชฎเชœ เชฌเชงเชพ ฮธ’> ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡ Pฮธ [ฮธ’โ‰คU* (x)]โ‰ฅPฮธ [ฮธ’โ‰คU(x)] เชฅเชพเชฏ เชคเซ‹ U(x)เชจเซ‡ U* (x)เชจเซ€ เชคเซเชฒเชจเชพเชฎเชพเช‚ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชตเชงเซ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เชŠเชฐเซเชงเซเชตเชธเซ€เชฎเชพ เช•เชนเซ‡เชตเชพเชฎเชพเช‚ เช†เชตเซ‡ เช›เซ‡. เชคเซ‡ เชœ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ‡ ฮธ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชตเชงเซ เชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช…เชง:เชธเซ€เชฎเชพเชจเซ€ เชตเซเชฏเชพเช–เซเชฏเชพ เช†เชชเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เช‰เชฆเชพเชนเชฐเชฃ 13 : เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เชชเซเชฐเชพเชฎเชพเชฃเซเชฏ เชตเชฟเชคเชฐเชฃ เชฎเซ‡เชณเชตเซ‡เชฒเชพเช‚ เชจเชฟเชฐเชชเซ‡เช•เซเชท เช…เชตเชฒเซ‹เช•เชจเซ‹ เช›เซ‡. เชงเชพเชฐเซ‹ เช•เซ‡ เช†เชชเชฃเซ‡ เชœเชพเชฃเซ€เช เช›เซ€เช เช•เซ‡ ฯƒ2 เช…เชœเซเชžเชพเชค เชนเซ‹เชฏ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ‡ เชตเชฟเชฐเซเชฆเซเชง เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃ เช•เชฐเชตเชพ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเชพ ฮฑ-เช•เช•เซเชทเชพเชจเชพ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชคเชฎ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชชเชฐเซ€เช•เซเชทเชฃเชจเซเช‚ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซ‡เช• ฮธ0โˆˆฮฉ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซเช‚ เชธเซเชตเซ€เช•เซƒเชคเชฟเช•เซเชทเซ‡เชคเซเชฐ ย เช›เซ‡.

เชคเซ‡เชฅเซ€ เชฎเชพเชŸเซ‡เชจเซ€ (1-ฮฑ)-เชตเชฟเชถเซเชตเชพเชธเชพเช‚เช•เชตเชพเชณเซ€ เชธเชฐเซเชตเชคเซเชฐ เช…เชคเชฟเชšเซ‹เช•เซเช•เชธ เช…เชจเชญเชฟเชจเชค เชŠเชฐเซเชงเซเชตเชธเซ€เชฎเชพ เชฅเชถเซ‡.

เชตเซเชฏเชตเชนเชพเชฐเชฎเชพเช‚ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเชจเซ‹ เช‰เชชเชฏเซ‹เช— เชตเซเชฏเชพเชชเช• เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฎเชพเช‚ เชฅเชพเชฏ เช›เซ‡. เชชเชฐเช‚เชคเซ เช†เช‚เช•เชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเชพ เชชเชพเชฏเชพเชจเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเซ‹เชฎเชพเช‚ เชฐเชธ เชงเชฐเชพเชตเชคเชพ เชธเช‚เชถเซ‹เชงเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชคเซ‡เชจเซเช‚ เช–เชพเชธ เชธเชฎเชฐเซเชฅเชจ เช•เชฐเชคเชพ เชจเชฅเซ€. เช…เชนเซ€เช‚ เช†เชชเชฃเซ‡ เชจเซ‡เชฎเชจ-เชชเชฟเชฏเชฐเซเชธเชจ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชคเชจเซ‡ เช•เซ‡เชจเซเชฆเซเชฐเชฎเชพเช‚ เชฐเชพเช–เซ€ เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒเชจเซ€ เชฐเชšเชจเชพเชจเซ€ เชšเชฐเซเชšเชพ เช•เชฐเซ€ เช›เซ‡. เชชเชฐเช‚เชคเซ เชฌเซ‡เช‡เชเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจ, เชตเชฟเชธเช‚เชญเชพเชตเชจเชพ เชธเชฟเชฆเซเชงเชพเช‚เชค, เช…เชจเซ‡ เช†เชฐ. เช. เชซเชฟเชถเชฐ เชธเซ‚เชšเชฟเชค เชตเชฟเชถเซเชตเชธเชจเซ€เชฏ เช…เชจเซเชฎเชพเชจ (fiducial inference)เชจเชพ เช†เชงเชพเชฐเซ‡ เชชเชฃ เช…เช‚เชคเชฐเชพเชฒ เช†เช—เชฃเชจเช•เชพเชฐเซ‹ เชฎเซ‡เชณเชตเซ€ เชถเช•เชพเชฏ.

เชถเชพเช‚เชคเชฟเชฒเชพเชฒ เชฐเชฃเช›เซ‹เชกเชญเชพเชˆ เชชเชŸเซ‡เชฒ

เช…เชฎเซƒเชคเชญเชพเชˆ เชตเชฒเซเชฒเชญเชญเชพเชˆ เช—เชœเซเชœเชฐ