અચળ

અચળ (constant) : ચોક્કસ વસ્તુ, એકમ કે સંખ્યા. ચર્ચા દરમિયાન કે ગાણિતિક ક્રિયાઓના ક્રમિક અમલ દરમિયાન એક જ વસ્તુ કે સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતો સંકેત. ફક્ત એક જ કિંમત ધારણ કરતી ચલરાશિ અચળ તરીકે ઓળખાય છે. ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રનાં કેટલાંક સમીકરણો ઉકેલવામાં અચળાંક મહત્ત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. ઉપયોગમાં લેવાતા વિભિન્ન અચળાંકો વિજ્ઞાનીઓએ કરેલા પ્રયોગો અને ગણતરીઓનાં પરિણામોને આધારે સૂચવ્યા છે. જેમના કેટલાક ગાણિતિક અચળાંક નમૂનારૂપ અહીં દર્શાવ્યા છે.

અચળ e : પ્રાકૃતિક લઘુગણક(natural logarithm)નો પાયો અચળ e છે.

 ; અનંત શ્રેઢી 

નો સરવાળો e છે. 1737માં ઑઇલરે દર્શાવ્યું છે કે e અસંમેય (irrational) સંખ્યા છે. 1873માં હર્માઇટે સાબિત કર્યું કે e અબૈજિક (transcendental) સંખ્યા છે. દશ દશાંશ સ્થળો સુધી eનું મૂલ્ય 2.7182818284 છે.

અચળ ઝડપ અને વેગ : નિશ્ચિત સમયગાળામાં નિશ્ચિત અંતર કાપતા પદાર્થની ઝડપ અચળ ઝડપ કહેવાય છે. (પદાર્થ સીધી રેખામાં જ ગતિ કરે એ જરૂરી નથી). જો નિશ્ચિત ઝડપ એક જ દિશામાં હોય તો તે અચળ વેગ કહેવાય છે. (એટલે કે પદાર્થના ગતિપથના દરેક બિંદુએ તત્કાલીન વેગ એક જ સદિશ હોય તો પદાર્થનો વેગ અચળ વેગ કહેવાય.)

અચળ પદ : સમીકરણ કે વિધેયમાં ચલરાશિનો સમાવેશ ન થતો હોય એવું પદ અચળ પદ કહેવાય છે.

અચળ π : વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર π તરીકે ઓળખાય છે. આ જ સંખ્યા π ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના આવર્તમાનમાં પણ દેખાય છે. આ અચળ સંખ્યાને ગ્રીક મૂળાક્ષર π વડે દર્શાવાય છે. ગણતરીમાં π મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે. 1770માં લેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે π અસંમેય સંખ્યા છે. અને 1882માં લીન્ડમને તેને અબૈજિક પુરવાર કરી. πનું આસન્ન (approximate) મૂલ્ય તરીકે લેવાય છે અને પાંચ દશાંશ સ્થળો સુધી તેનું આસન્ન મૂલ્ય 3.14159 છે. આર્યભટ્ટે (પાંચમી સદી) πનું મૂલ્ય 3.1416 આપ્યું હતું.

અચળ વિધેય : જેનો વિસ્તાર એકાકીગણ (singleton set) હોય તેવું વિધેય અચળ વિધેય તરીકે ઓળખાય છે. કોઈક a, માટે વિધેય fના પ્રદેશમાંના દરેક xને અનુરૂપ f(x) = a હોય તો f અચળ વિધેય છે.

આવશ્યક (essential) અચળ : સમીકરણમાં આવતા એવા સ્વૈર (arbitrary) અચળો કે (1) જેમના મૂલ્યમાં સમીકરણનું સ્વરૂપ ન બદલાઈ જાય એ રીતે ફેરફાર કરી શકાય, અથવા (2) જેમની સંખ્યા, તેમને સમાવતા સમીકરણ વડે દર્શાવાતી વક્ર સંહતિના (family of curves) દરેક સભ્યને નિશ્ચિત કરતાં જરૂરી બિંદુઓની સંખ્યા બરોબર હોય, અથવા (3) જેઓ વિકલ (differential) સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં તે સમીકરણના પરિમાણ જેટલી સંખ્યામાં ઉદ્ભવતા હોય તે આવશ્યક અચળ તરીકે ઓળખાય છે. સુરેખ (linear) સમીકરણ y = Ax + B સુરેખાઓની [શિરોલંબ (vertical) રેખાઓ સિવાય] સંહતિ દર્શાવે છે. એને બે આવશ્યક અચળો A અને B છે, કારણ કે શિરોલંબ દિશામાં ન હોય એવાં બે ભિન્ન બિંદુઓ એ સંહતિમાંની અનન્ય રેખા નિશ્ચિત કરે છે. y = Ax + B એ દ્વિ-પરિમાણ (second order) વિકલ સમીકરણ y´´ = 0નો વ્યાપક ઉકેલ છે. શિરોલંબ રેખા સંહતિ દર્શાવતા સમીકરણમાં એક આવશ્યક અચળ હોય છે. એ સમીકરણ x = a સ્વરૂપમાં હોય છે. સમીકરણમાં આવતા સ્વૈર અચળોની સંખ્યામાં ઘટાડો કરી સમીકરણ જોખમાય નહિ એ રીતે ન્યૂનતમ સંખ્યામાં ઉદ્ભવતા સ્વૈર અચળો તે સમીકરણ માટે આવશ્યક અચળો છે. દા.ત., ax³ + bx² + cx + d = 0માં ચાર સ્વૈર અચળો a, b, c, d છે. પરંતુ સમીકરણને

સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરતાં સ્વૈર અચળોની સંખ્યા ત્રણ થાય છે જે ઘનાત્મક (cubic) સમીકરણ માટે ન્યૂનતમ છે, તેથી b/a, c/a, d/a આ સમીકરણ માટે આવશ્યક અચળો છે.

ઑઇલરનો અચળ : આ ગ્રીક મૂળાક્ષર γ (ગામા) વડે નિર્દિષ્ટ  મુજબ વ્યાખ્યાયિત અચળ છે, જેનું સાત દશાંશ સ્થળ સુધીનું આસન્ન મૂલ્ય 0.5752157 છે. ઑઇલરનો અચળ અસંમેય છે કે નહિ તે હજુ જ્ઞાત નથી.

ચલન(proportionality)નો અચળ : આ પરસ્પર આધારિત બે ચલરાશિઓના ચલનનું પ્રમાણ નિશ્ચિત કરતો અચળ છે. દા.ત., y, xના પ્રમાણમાં ચલે (સંકેત y ∝ x) તો y/x ચલનનો અચલ થાય અને y, x ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ચલે (સંકેત y ∝ 1/x) તો xy ચલનનો અચળ થાય છે.

નિરપેક્ષ (absolute) અચળ : જેની કિંમત કાયમી હોય તે નિરપેક્ષ અચળ કહેવાય. જેમ કે અંકગણિતમાં સંખ્યાઓ.

સ્વૈર (arbitrary) અચળ : અનિર્ણીત (indeterminate) અચળ માટેની સંજ્ઞા. દા.ત., વર્ગાત્મક (quadratic) સમીકરણ ax² + bx + c = 0માં a, b, c સ્વૈર અચળો છે. સંકલનનો અચળ કે વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં આવતા અચલો સ્વૈર અચળ છે.

સંકલનનો અચળ : સંકલન દ્વારા મેળવેલ વિધેયમાં ઉમેરવામાં આવતો સ્વૈર અચળ સંકલનનો અચળ કહેવાય છે. સ્વૈર અચળ c માટે સાંકલ્ય (integral) ની કિંમત x⁴ + cમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે કારણ કે અચળનો વિકલિત શૂન્ય હોય છે.

ગાણિતિક આચળાંકને એક ચોક્કસ મૂલ્ય હોય છે. પણ તે કોઈ માપન પદ્ધતિને અનુસરતા નથી. જ્યારે ભૌતિકી અચળાંક સમયના સંદર્ભમાં સ્થિર મૂલ્ય ધરાવે છે અને તે માપન પદ્ધતિને અનુસરે છે. જેમ કે મેટ્રિક પદ્ધતિ પ્રમાણે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ c = 299792.458 કિલોમીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે. અન્ય માપન પદ્ધતિમાં તેના એકમ પ્રમાણે અચળાંકનું મૂલ્ય બદલાઈ જશે. ઉદાહરણ તરીકે ઇમ્પીરિયલ પદ્ધતિમાં c નું મૂલ્ય 186282 માઈલ પ્રતિ સેકન્ડ થાય છે.

ધનેશ ભાવસાર