આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાન

વિતરણ વિધેય F (x; θ) દ્વારા સૂચિત સંભાવના પરિરૂપ-(model)ના અજ્ઞાત પ્રાચલ કે પ્રાચલોના અવલોકન હેઠળના યર્દચ્છ ચલ પર મેળવેલ માહિતીના આધારે આગણન (estimation) કરવાની અથવા અજ્ઞાત પ્રાચલો વિશે કરેલ નિરાકરણીય પરિકલ્પનાનું પરીક્ષણ કરી તેનું સમર્થન યા ઇન્કાર કરવાની આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓ પ્રયોજવાનો કસબ. આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનની પદ્ધતિઓની મદદથી વ્યવહારલક્ષી શાસ્ત્રોના પ્રવર્તમાન સિદ્ધાંતોની વ્યાવહારિક અને વાસ્તવિક જગતની વૈજ્ઞાનિક ઢબે મેળવેલ આનુભવિક જાણકારી કે માહિતીના આધારે અનુરૂપતા કે પ્રસ્તુતતા ચકાસવામાં આવે છે.

1. પ્રવેશ : રોજબરોજના વ્યવહારમાં અનિશ્ચિતતા ધરાવતી વિવિધ પરિસ્થિતિઓ હેઠળ આપણે નિર્ણયો લેવાના હોય છે. આ નિર્ણયો નિર્દિષ્ટ પરિસ્થિતિ વર્ણવતી કોઈક અજ્ઞાત રાશિ θ માટે પ્રાપ્ત માહિતીના આધારે મેળવેલ આગણકો કે અટકળોના સ્વરૂપમાં હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે વીજળીના ગોળા બનાવતું કારખાનું ગ્રાહકોને ગોળાના સરેરાશ આયુષ્યનો આગણક (estimate) જણાવે છે; નગરપાલિકા શહેરની સુવિધાઓના આયોજન માટે શહેરની ભાવિ વસ્તીનો આગણક મેળવે છે, વગેરે.

ધારો કે કોઈ પરિસ્થિતિને વર્ણવતી એક અજ્ઞાત રાશિ θના આગણન સંબંધી મેળવેલ n અવલોકનો x₁, x₂, ……, x_n છે. આપણો પ્રશ્ન n અવલોકનોની માહિતીનો સમુચિત સમન્વય કરી θનો સારો આગણક મેળવવાનો છે. સામાન્ય સમજ કે જ્ઞાનના આધારે કહી શકાય કે સરેરાશ કે મધ્યક આગણક થશે. n અવલોકનોના મધ્યસ્થ mને પણ θનો  આગણક તરીકે લઈ શકાય.

હવે θના બે આગણકો મધ્યક અને મધ્યસ્થ પૈકીનો કયો આગણક વધારે સારો અથવા કયા સંજોગોમાં સરેરાશ , મધ્યસ્થ M કરતાં θના આગણક તરીકે વધારે સારો છે અથવા આપેલ પરિસ્થિતિમાં અવલોકનો x₁, x₂,……, x_nનું કેવી રીતે શ્રેષ્ઠ કે ઇષ્ટતમ સંયોજન કરવું કે જેથી θનો સારો આગણક મેળવી શકાય, એવા અનેક પ્રશ્નો વ્યવહારમાં ઉદભવે છે. આવા પ્રશ્નોના ઉકેલ મેળવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિઓને આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનની પદ્ધતિઓ (methods of statistical inference) કહે છે.

a = M થશે. અત્રે નોંધનીય છે કે ઉપર્યુક્ત દલીલ દ્વારા મેળવેલ  θના આગણકો અને M વાજબી આગણકો છે તે બાબતને સમર્થન આપતાં પહેલાં અજ્ઞાત રાશિ θ અને અવલોકનો x₁, x₂,…..,x_n ને સાંકળતી સ્પષ્ટ ધારણા કે ધારણાઓ જાણવી જરૂરી છે. યર્દચ્છ ચલ X અને θને સાંકળતી એક ધારણા : X θ પર આધારિત સંભાવના વિતરણ P_θ ધરાવે છે તે લઈ શકાય. ધારો કે f(x;θ) સંભાવના વિતરણનું સંભાવનાવિધેય અથવા ઘટત્વ-વિધેય દર્શાવે છે; અજ્ઞાત રાશિ θને આપણે પ્રાચલ કહીશું. સામાન્ય રીતે પ્રાચલીય અનુમાન(parametric inference)ના પ્રશ્નોમાં f(x; θ)નું ગાણિતિક સ્વરૂપ આપેલું હોય છે અને અજ્ઞાત પ્રાચલ θ આપેલા ગણ Ωમાં કિંમત ધારણ કરે છે. ગણ Ωને પ્રાચલાવકાશ (parameter space) કહે છે. યર્દચ્છ ચલ X (અથવા તેની અવલોકિત કિંમત x) ગણ માં કિંમત ધારણ કરે છે. ગણ ને નિદર્શાવકાશ (sample space) કહે છે. વ્યવહારમાં આપણે નિદર્શાવકાશ  અને પ્રાચલાવકાશ Ωને વાસ્તવિક રેખા Rના ઉપગણો કે ઉચિત ઉપગણો તરીકે લઈ શકીએ.

જો યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય f (x; θ)નું સ્વરૂપ f (x; θ) = f(x- θ) હોય, તો આપણે પ્રાચલ θને સ્થાનીય પ્રાચલ (location parameter) કહીશું. જો f (x; θ) = f(r/o) હોય તો, પ્રાચલ θને માપીય પ્રાચલ (scale parameter) કહે છે.

આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનમાં સામાન્ય રીતે બે પ્રશ્નો જેવા કે બિંદુ અને અંતરાલ આગણન તેમજ પરિકલ્પના-પરીક્ષણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. બિંદુ આગણનમાં આપણે યર્દચ્છ ચલ Xની અવલોકિત કિંમત xના આધારે પ્રાચલાવકાશ Ωમાંથી એક ઘટક u(x) પસંદ કરીએ છીએ. u(x)ને θનો આગણક અથવા બિંદુ આગણક કહે છે અને યર્દચ્છ ચલ T = u(x)ને પ્રાચલ θનો આગણનકાર અથવા બિંદુ આગણનકાર કહે છે.

અંતરાલ આગણનમાં પ્રાચલાવકાશ Ω માં યર્દચ્છ અંતરાલ S(x)⊂Ω એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેથી યર્દચ્છ અંતરાલ S(x), θનો સમાવેશ કરે તેની સંભાવના નિર્દિષ્ટ સંખ્યા y કે તેથી વધુ હોય. અહીં 0<y<1 છે. આંકડાશાસ્ત્રીય પરિભાષામાં યર્દચ્છ અંતરાલ S(x)ને y-વિશ્વાસાંકવાળો વિશ્વસનીય અંતરાલ કહે છે. પરિકલ્પના-પરીક્ષણમાં પ્રાચલ θ વિશેના કોઈ વિધાનની સત્યતા ચકાસવામાં આવે છે. હવે આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનના પ્રશ્નોઆગણન અને પરીક્ષણ વિશેની પદ્ધતિઓની છણાવટ કરીએ.

2. બિંદુ આગણન : ધારો કે યર્દચ્છ Xના સંભાવના-વિતરણનું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય f (x; θ) છે. પ્રાચલ θનું આગણન કરવા માટે યર્દચ્છ ચલ X પર નિરપેક્ષ અવલોકનો X₁, X₂, ……, X_n લેવામાં આવે છે. હવે, એક એવું વિધેય T = u(X₁, ……, X_n) લઈએ કે જેની કિંમત θની સમીપ હોય. Tને θનો બિન્દુ આગણનકાર કહે છે. અહીં ‘સમીપ’ એ શબ્દપ્રયોગ સંદિગ્ધ છે. સમીપતા માટે વિવિધ માપદંડો પ્રયોજી શકાય અને આ માપદંડો અનુસાર θના આગણનકાર T = u(X₁, X₂, ……, X_n)ના ઇચ્છનીય ગુણધર્મો નિર્દિષ્ટ કરી શકાય.

આગણનકારના ઇચ્છનીય ગુણધર્મો :

અનભિનતતા : ધારો કે T = u(X₁, ……, X_n) પ્રાચલ θનો આગણનકાર છે. જો θ ∈Ω માટે E_θ(T) = θ હોય, તો Tને θનો અનભિનત આગણનકાર કહેવાય. અહીં સંકેત E_θ યચ્છ ચલ Tની ગાણિતિક અપેક્ષા દર્શાવે છે. જો E_θ(T) ≠ θ હોય, તો Tને θનો અભિનત (biased) આગણનકાર કહે છે, અને E_θ(T)-θ = bθને આગણનકાર Tની અભિનતિ (bias) કહે છે.

ઉદાહરણ 1 : ધારો કે X₁, X₂, …….., X_n પ્રામાણ્ય સમષ્ટિ કે વિતરણ N(θ, 1)માંથી મેળવેલ યચ્છ નિદર્શ છે. તો θનો

અનભિનત આગણનકારો મેળવી શકાય. જો a₁ = 1 અને a_i = 0, i = 2, 3, …, n હોય તો θનો અનભિનત આગણનકાર y = X₁ થશે. આવા આગણનકારો પૈકી કયો આગણનકાર સર્વોત્તમ છે તે નક્કી કરવા કોઈક માપદંડ પ્રયોજવો પડે. આવા એક માપદંડ તરીકે સામાન્ય રીતે સરેરાશ દ્વિઘાત ત્રુટિ (Mean Square Error) લેવામાં આવે છે. આ માપદંડને સંકેત MSE વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

લઘુતમ વિચરણ અનભિનતતા :

(સરેરાશ દ્વિઘાત ત્રુટિ : ) જો T પ્રાચલ θનો આગણનકાર હોય, તો પ્રત્યેક θ∈Ω માટે Tની સરેરાશ દ્વિઘાત ત્રુટિ (MSE)

MSE(T) = E_θ(T-θ)² ………………………………(1)

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

સ્પષ્ટ છે કે

E(T) MSE(T) = E(T-E(T))² + [e(T)-θ] ²

= V_θ(T) + [b(θ)]² ………………………(2)

જો T પ્રાચલ θનો અનભિનત આગણનકાર હોય, તો b(θ) = 0 થશે. અને MSE (T) = V(T) થશે. આમ, જો આગણનકાર T પ્રાચલ θ માટે અનભિનત હોય, તો MSEને બદલે Tનાં વિચરણ V(T)ને લઈ શકાય. ઉદાહરણ-1માં પ્રામાણ્ય સમષ્ટિ(વિતરણ)ના પ્રાચલ θ માટે  સહિત અનેક અનભિનત આગણનકારો મેળવ્યા છે. આ આગણનકારો પૈકી જે આગણનકારનું વિચરણ લઘુતમ હોય તે આગણનકારને સર્વોત્તમ આગણનકાર કહી શકાય. આમ, લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ આપી શકાય :

લઘુતમ અનભિનત વિચરણ આગણનકાર : T પ્રાચલ θનો અનભિનત આગણનકાર છે. જો θના દરેક અનભિનત આગણનકાર T’ માટે અને θ∈Ω માટે,

V_θ (T) ≤ V_θ (T´)……………………………………(3)

હોય તો Tને પ્રાચલ θનો લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર કહે છે.

લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો માટે નીચેનાં પરિણામો સહેલાઈથી તારવી શકાય :

(i) જો પ્રાચલ θ માટે લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો તે લગભગ અનન્ય છે.

(ii) જો T₁, T₂,……,T_k અનુક્રમે પ્રાચલો θ₁, θ₂,……., θ_kના લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો હોય અને જો α₁, α₂,….. α_k  ના લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો હોય અને જો α₁, α₂,….. α_k  વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો પ્રાચલીય વિધેય નો વઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર છે.

(iii) જો T પ્રાચલ qનો અનભિનત આગણનકાર હોય અને Z શૂન્યનો અનભિનત આગણનકાર હોય અને Z અને T વચ્ચેનું સહવિચરણ [C0V_θ(Z, T) = 0] હોય, તો અને તો જ T પ્રાચલ θનો લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર થાય.

ફિશર માહિતી :

X સંભાવના વિધેય કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x;θ) ધરાવતો યચ્છ ચલ છે. θ∈Ω⊂R અને Xની અવલોકિત કિંમત x∈S⊂R છે કે જેથી પ્રત્યેક θ∈Ω અને x∈S માટે ƒ(x, θ) > 0 થાય. X₁, X₂,…..,X_n ƒ(x; θ) માંથી મેળવેલ યચ્છ નિદર્શનાં અવલોકનો છે. અવલોકિત કિંમતોના સદિશ x = (x₁, x₂,….,x_n) માટે વિધેય L(x; θ)ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

(4) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય L(x;θ)ને વિસંભાવના વિધેય (likelihood function) કહે છે.

ધારો કે પ્રત્યેક x ∈ S માટે ¦(x; θ)નાં પ્રથમ અને દ્વિતીય કક્ષાનાં વિકલનફળો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અર્થાત્ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા : (ફિશર માહિતી)

યર્દચ્છ નિદર્શ X = (X₁, X₂,……..,X_n)માં સમાવિષ્ટ ફિશર માહિતી I(θ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે.

ફિશર માહિતીનો ઉપયોગ પ્રાચલ qના અનભિનત આગણનકારના વિચરણની અધ:સીમા નિયત કરવા માટે કરી શકાય. ધારો કે T = u(X₁,……., X_n) પ્રાચલીય વિધેય g(θ)નો અનભિનત આગણનકાર છે. અહીં g(θ), θનું વિધેય છે. તો ફિશર માહિતીનો ઉપયોગ કરી બતાવી શકાય છે કે Tનું વિચરણ V_θ(T) નીચેની અસમતાનું સમાધાન કરે છે.

પરિણામ (6) ક્રામેર-રાવ અસમતા તરીકે પ્રચલિત છે. આ અસમતા સ્વીડનના આંકડાશાસ્ત્રી એચ. ક્રામેર અને ભારતીય આંકડાશાસ્ત્રી સી. આર. રાવે 1940ના અરસામાં મેળવી હતી.

જો T પ્રાચલ θનો અનભિનત આગણનકાર હોય, તો પ્રત્યેક θ∈Ω માટે g(θ) = θ અને g´(θ) =  = 1 થશે. તેથી ક્રામેર-રાવ અસમતા અનુસાર

થશે.

અર્થાત્ θના કોઈ પણ અનભિનત આગણનકારનું વિચરણ ફિશર માહિતી I(θ)ના વ્યસ્ત કરતાં ઓછું હોઈ શકે નહિ. જો

હોય તો આગણનકાર Tને લઘુતમ વિચરણ સીમાબદ્ધ આગણનકાર કહે છે.

નોંધ : અનભિનત આગણનકારની ક્રામેર-રાવ અસમતા દ્વારા મળતી અધ:સીમા પ્રમાણમાં ઘણી નાની હોવાના કારણે કેટલાક સારા ગણી શકાય તેવા આગણનકારોનું વિચરણ તેની બરાબર થઈ શકતું નથી. પરંતુ તેનાથી વધુ હોય છે. તેથી અનભિનત આગણનકારના વિચરણની ક્રામેર-રાવ દ્વારા મળતી અધ:સીમાને ભટ્ટાચાર્યે સુધારી છે અને તે ભટ્ટાચાર્ય અધ:સીમા તરીકે પ્રચલિત છે.

ક્રામેર-રાવની અધ:સીમા માત્ર એક જ પ્રાચલના પ્રાચલીય વિધેય માટે છે. જો યર્દચ્છ ચલના સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેયમાં એક કરતાં વધુ પ્રાચલો હોય તો પ્રાચલોનાં પ્રાચલીય વિધેયોના અનભિનત આગણનકારો માટેની ક્રામેર-રાવ અધ:સીમા મેળવી શકાય. આ પરિણામને ક્રામેર-રાવ અસમતાનું વ્યાપકીકરણ કહે છે.

ઉદાહરણ 2 :

ધારો કે x = (X₁,…..,X_n) પ્રમાણ્ય વિતરણ N(θ, 1) માંથી લીધેલ યર્દચ્છ નિદર્શ છે. પ્રાચલ θના અનભિનત આગણનકારના વિચરણની ક્રામેર-રાવ અસમતા દ્વારા અધ:સીમા મેળવીએ.

આ ઉપરથી સૂત્ર (5)નો ઉપયોગ કરી આપણને ફિશર માહિતીનું મૂલ્ય I(θ) = n મળે. જો T =  હોય, તો E_θ (T) = θ થશે. તે ઉદાહરણ 1 પરથી જોઈ શકાય.

આમ, g(θ) = θ થશે અને તેથી સૂત્ર દ્વારા V_θ() ≥ 1/n થશે. હવે, નિદર્શ મધ્યક નું વિચરણ છે, તેમ સહેલાઈથી સાબિત કરી શકાય. અર્થાત્ તેથી નિદર્શ મધ્યક  પ્રામાણ્ય વિતરણના પ્રાચલ θનો લઘુતમ વિચરણ સીમાબદ્ધ આગણનકાર છે.

કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં અનભિનત આગણનકારોનાં વિચરણો માટેની ક્રામેર-રાવ અસમતા પ્રાપ્ય ન પણ હોઈ શકે. અર્થાત્ ક્રામેર-રાવ અધ:સીમા જેવડું વિચરણ ધરાવતો અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ન પણ ધરાવે. હકીકતમાં જેમનું વિચરણ બધા અનભિનત આગણનકારોમાં લઘુતમ હોય પરંતુ ક્રામેર-રાવ અધ:સીમા કરતાં વધુ હોય તેવા અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ માટે આપણે એક ઉદાહરણ લઈશું.

ઉદાહરણ 3 :

ધારો કે યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ θ પ્રાચલ ધરાવતું પૉયસોં (Poisson) વિતરણ છે. ધારો કે g(θ) = e^-θ. તો g(θ)ના અનભિનત આગણનકાર T = u(x) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.

હવે, E_θ(T) = e^-θ

અને V_θ(T) = e^-θ – e^–2θ થશે. I(θ) = 1/θ તેથી ક્રામેર-રાવ અસમતા પરથી V_θ(T)ની અધ:સીમા થશે. તેથી પ્રત્યેક θ∈Ω = (0, ∞) માટે  V_θ

= e^–2θ (e^θ – θ – 1) > 0.

આમ, g(θ) =e^–θ ના અનભિનત આગણનકારનું વિચરણ ક્રામેર-રાવ અધ:સીમાથી વધુ છે.

(iv) પર્યાપ્તિ :

ધારો કે X₁, X₂,………,X_n સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x; θ)માંથી મેળવેલ યર્દચ્છ નિદર્શનાં અવલોકનો છે. ધારો કે T = μ (X₁,……..,X_n) એક આગણનકાર છે. ધારો કે T નિદર્શમાં રહેલી સમગ્ર માહિતીનું સંક્ષેપન કરે છે, જેથી નિદર્શનાં વ્યક્તિગત અવલોકનો પ્રાચલ θ માટેના સારા આગણનકારની તપાસ માટે અપ્રસ્તુત બને. આ પ્રકારના ગુણધર્મ ધરાવતા આગણનકાર Tને પ્રાચલ qનો પર્યાપ્ત આગણનકાર કહેવાય. પર્યાપ્ત આગણનકારનો ખ્યાલ સૌપ્રથમ રૉનાલ્ડ ફિશરે 1922ના વર્ષમાં આપ્યો.

વ્યાખ્યા (પર્યાપ્ત આગણનકાર) :

ધારો કે X₁, X₂,……….,X_n સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x, θ)માંથી મેળવેલ યર્દચ્છ નિદર્શનાં અવલોકનો છે અને ધારો કે T = μ (X₁,……….,X_n) આગણનકાર છે. જો આપેલ Tની કિંમત t માટે X₁, X₂,…….,X_nનું શરતી સંયુક્ત સંભાવના વિતરણ પ્રાચલ θથી નિરપેક્ષ હોય તો Tને પ્રાચલ θનો પર્યાપ્ત આગણનકાર કહેવાય.

પર્યાપ્ત આગણનકાર શોધવાની સરળ પદ્ધતિને પર્યાપ્તિની અવયવ પદ્ધતિ (factorisation method) કહે છે. આ પદ્ધતિમાં નિદર્શનાં અવલોકનોનું સંયુક્ત સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય લેવામાં આવે છે. અર્થાત્ અવલોકનોનું વિસંભાવના વિધેય લેવામાં આવે છે. અહીં

ના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકીએ તો T = u(X) પર્યાપ્ત આગણનકાર કહેવાય. અહીં વિધેય g(X) અને θ ઉપર આધારિત અને વિધેય h માત્ર X ઉપર આધારિત અઋણ (non-negative) વિધેયો છે. અવયવ પદ્ધતિની મદદથી પ્રાચલ θનો પર્યાપ્ત આગણનકાર (જો અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો) સહેલાઈથી મેળવી શકાય.

ઉદાહરણ 4 :

ધારો કે X₁, X₂,…….,X_n નીચે વ્યાખ્યાયિત ઘટત્વ વિધેય ધરાવતા સતત સંભાવના વિતરણમાંથી મેળવેલ અવલોકનો છે.

ફિશર માહિતીના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને પણ આપેલ આગણનકાર પર્યાપ્ત છે કે કેમ તે નક્કી કરી શકાય. જો X₁,……, X_n એ ƒ (x, θ) માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો હોય, તો (X₁,….,X_n)માં સમાવિષ્ટ માહિતી સૂત્ર (5) અનુસાર (q) થશે. ધારો કે T = u (X₁,….,X_n)  પ્રાચલ θનો આગણનકાર છે અને Tના વિતરણનું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય  છે. જો Tમાં સમાવિષ્ટ ફિશર માહિતી J(θ) હોય, તો

સ્પષ્ટ છે કે  λ(θ) ≥ 0. વિધેય λ(θ)ને પ્રાચલ θના આગણનકાર તરીકે Tને લેવાથી થતા માહિતીના ક્ષયનાં માપ તરીકે લઈ શકાય. જો λ(θ) = 0 હોય, તો T પ્રાચલ θનો પર્યાપ્ત આગણનકાર કહેવાય.

ઉદાહરણ (1) પરથી સ્પષ્ટ થશે કે  I(θ) = n = J(θ) અને λ(θ) = 0, તેથી આગણનકાર T = પ્રામાણ્ય વિતરણના પ્રાચલ θ (જે વિતરણનો મધ્યક દર્શાવે છે) માટે પર્યાપ્ત છે.

આગણનકાર Tની પર્યાપ્તિ માટેની ચકાસણી કરવા સૂત્ર (9)નો ઉપયોગ કરવા માટે Tનું વિતરણ જાણવું જરૂરી છે. જો Tનું વિતરણ મેળવવું અઘરું હોય અથવા મેળવી ન શકાય તેમ હોય, તો સૂત્ર (7)નો ઉપયોગ કરી T પર્યાપ્ત છે કે કેમ તે નક્કી કરી શકાય.

યર્દચ્છ ચલ Xનાં સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x; θ)ના ગાણિતિક સ્વરૂપ પરથી પ્રાચલ θ કે θના પ્રાચલીય વિધેય માટે પર્યાપ્ત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે તે નક્કી કરી શકાય.

વ્યાખ્યા (વિતરણોનો ઘાતાંકીય સમુદાય) :

હોય, તો ƒ(x; θ) ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાય(family of exponential distributions)નાં સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેયનો એક ઘટક છે એમ કહેવાય. અહીં Qj(θ) અને C(θ) એ θનાં વાસ્તવિક વિધેયો અને u_j (x) અને h(x) એ xનાં વાસ્તવિક વિધેયો દર્શાવે છે અને ગણ પ્રાચલ θ પર આધારિત નથી.

ઉદાહરણ તરીકે જો ƒ(x; θ) પ્રમાણ્ય વિતરણ N(θ, 1)નું ઘટત્વ વિધેય દર્શાવે તો ƒ(x ; θ)ને સૂત્ર (10)ના સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય :

ƒ (x ; θ) = c(θ) exp{Q(θ)u(x)}h(x).

અહીં k = 1, Q(θ) = θ, u(x) = x, . આમ, દ્વિપદી, પૉયસૉં ગુણોત્તર, વિતરણોનાં સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેયોને સૂત્ર(10)માં આપેલા સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય. કેટલીક વાર સૂત્ર (10)માં Q_j(θ) = θ_j લેવું સુવિધાજનક હોય છે.

ƒ(x ; θ) સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ધરાવતા ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાયને આપણે {ƒ(x ; θ) : θ∈Ω} સંકેત વડે દર્શાવીશું. અહીં પ્રાચલ θ સદિશ પણ હોઈ શકે.

(v) સંપૂર્ણ આગણનકાર :

ધારો કે {ƒ(x ; θ) : θ∈Ω} નિદર્શાવકાશ ઉપર વ્યાખ્યાયિત ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાય છે. જો વાસ્તવિક વિધેય g(x) માટે અને  θ∈Ω માટે E_θ{g(x)} = 0 ⇒ g(x) = 0 લગભગ સર્વત્ર હોય, તો ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાય સંપૂર્ણ છે એમ કહેવાય. જો આ પરિણામ સીમિત  માટે સત્ય હોય, તો ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાય સીમિત સંપૂર્ણ છે એમ કહેવાય.

ઉદાહરણ 5 :

દ્વિપદી વિતરણ સમુદાય સંપૂર્ણતાની વ્યાખ્યા અનુસાર આપેલા g(X) માટે

આ સમીકરણ Φની એક બહુપદી છે, જેનું મૂલ્ય g(x) = 0, x = 0, 1,…..,n હોય ત્યારે શૂન્ય થશે. આમ, E_θ {g(X)} = 0 ⇒ g(x) = 0, x = 0, 1,…….,n સાબિત થયું. (10)માં વ્યાખ્યાયિત કરેલ ઘાતાંકીય સમુદાયમાં Qj (θ) = θj લઈશું. તેથી θ = (θ₁,….., θ_k) થશે. અહીં θ સદિશ પ્રાચલ છે અને θ∈Ω⊂R^k, અર્થાત્ પ્રાચલાવકાશ Ω^k – પરિમાણી યૂક્લિડીય અવકાશનો ઉપગણ થશે. આમ, આપણે ઘાતાંકીય વિતરણ-સમુદાયના સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x ; θ)ને

સ્વરૂપમાં લખી શકીએ.

સમીકરણ (11) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાય સંપૂર્ણ હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે પ્રાચલાવકાશ Ωk-પરિમાણી લંબચોરસ હોય. અહીં આગણનકારો uj(x) પ્રાચલો θ_j, j = 1,……,k માટે પર્યાપ્ત અને સંપૂર્ણ છે એમ સાબિત કરી શકાય. જો યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય (10) અથવા (11)ના સ્વરૂપનું હોય અને જો પ્રાચલીય વિધેય h(θ) માટે અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો h(θ) માટે સર્વત્ર લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર મેળવી શકાય તેમ રાવ, બ્લૅકવેલ, અને લેહમાન-શૅફેએ સાબિત કર્યું છે અને તે પ્રમેય આંકડાશાસ્ત્રમાં તેમનાં નામથી ઓળખાય છે.

પ્રમેય (રાવ-બ્લૅકવેલ-લેહમાન-શૅફે) : ધારો કે યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના વિધેય ƒ(x ; θ) અને ધારો કે આગણનકાર T = ux) સંપૂર્ણ અને પર્યાપ્ત છે. જો V(x) પ્રાચલીય વિધેય નો અનભિનત આગણનકાર હોય, તો

E[V(x)/T=t] = W(t) h(θ)નો સર્વત્ર લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર છે.

ઉદાહરણ 6 :

હોય, તો θ માટે સંપૂર્ણ પર્યાપ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવતું ન હોવાથી પ્રાચલ θ કે તેના પ્રાચલીય વિધેય h(θ) માટે સર્વત્ર લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર મેળવી શકાય નહિ.

આમ, આગણનકાર માટે અનભિનતતા એક આકર્ષક ગુણધર્મ છે; કારણ કે તે પ્રાચલ θનું લાંબા ગાળે સચોટ રીતે આગણન થાય તેની ખાતરી બક્ષે છે. પરંતુ કેટલીક પરિસ્થિતિમાં પ્રાચલ θ કે તેના પ્રાચલીય વિધેય h(θ) માટે અનભિનત આગણનકારો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી અથવા તો અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય તો તેઓ પ્રાચલાવકાશ Ωની બહાર કિંમત ધારણ કરતા હોય છે. વળી, લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો મેળવવા માટે સંભાવના વિતરણનું સ્વરૂપ સૂત્ર (10) કે (11) મુજબનું હોવું જોઈએ. આમ, લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો મેળવવા માટે આપણે સંભાવના વિતરણના સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેયના સ્વરૂપ પર પ્રબળ નિયંત્રણ લાદવાં પડે. વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં આમ કરવું શક્ય હોય તો લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકારો મેળવવા યથાર્થ છે. પરંતુ તેમ કરવું શક્ય ન હોય ત્યારે ઓછી અભિનતિ ધરાવતા અને નાનું વિચરણ ધરાવતા આગણનકારો મેળવવાનું શક્ય બને છે.

(vi) આગણનકારની નિશ્ચલતા :

ધારો કે કોઈ એક રાસાયણિક પ્રક્રિયાના સરેરાશ તાપમાન θનું આગણન કરવાનું છે. આ માટે આપણે n અવલોકનો X₁, X₂,….,X_n મેળવીએ અને ધારો કે આ અવલોકનોના એકમ તરીકે સેલ્સિયસ સ્કેલ લઈએ. ધારો કે આ અવલોકનોનો ઉપયોગ કરી θ ના આગણનકાર T = u(X₁,…..,X_n) મેળવીએ. હવે ધારો કે અવલોકનો X_iનું કેલ્વિન સ્કેલમાં પરિવર્તન કરવું છે. એટલે Y_i = X_i + 273 અને θ¹ = θ + 273 થશે.

ધારો કે θ¹નો આગણનકાર u(y₁, y₂,….,y_n) છે. તો સ્પષ્ટ છે કે u(y₁,y₂,…,y_n) = u(x₁, x₂,…….,x_n) + 273 થશે. અહીં આગણનકાર u(x₁,…….,x_n) સ્થાન-નિશ્ચલ છે એમ કહેવાય.

વ્યાખ્યા (સ્થાન અને માપ નિશ્ચલ આગણનકાર) :

ધારો કે x₁,……,x_n સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x ; θ)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો છે અને u(x₁,….,X_n) પ્રાચલ θનો આગણનકાર છે. જો વાસ્તવવિક સંખ્યા c માટે

u(x₁,+ c,….,X_n+c)= u(x₁,….,X_n) + c હોય તો આગણનકાર uθ માટે સ્થાન-નિશ્ચલ છે તેમ કહેવાય. જો વાસ્તવિક સંખ્યા c માટે u(cX₁,…..,cX_n) = cu(X₁,……,X_n) હોય તો uθ માટે માપ-નિશ્ચલ આગણનકાર છે તેમ કહેવાય. જો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ c અને d માટે u (cX₁ + d, – cX₂ + d,……,cXn + d) = cu (X₁,-…., X_n) + d હોય તો u/θ માટે સ્થાન અને માપ નિશ્ચલ આગણનકાર છે તેમ કહેવાય.

ઉદાહરણ તરીકે જો T = પ્રાચલ θનો આગણનકાર હોય તો  સ્થાન અને માપ નિશ્ચલ આગણનકાર છે તે સહેલાઈથી ચકાસી શકાય.

સ્પષ્ટ છે કે X_i´ = CX_i + d લેતાં

નિશ્ચલ આગણનકારોના સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેયનું ગાણિતિક સ્વરૂપ સમાન રહેતું હોવાથી આગણન અને પરીક્ષણના પ્રશ્નોમાં તે ઉપયોગી નીવડે છે.

(vii) આગણનકારોની દક્ષતા :

જો પ્રાચલીય વિધેય g(θ) માટે એક કરતાં વધુ અનભિનત આગણનકારો અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય તો તેમની તુલના કરવા દક્ષતાના માપદંડનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. દક્ષતાની વિવિધ વ્યાખ્યાઓ નીચે મુજબ છે.

(અ) જો T₁ અને T₂ g(θ)ના અનભિનત આગણનકારો હોય, તો T₁ની T₂ના સાપેક્ષ દક્ષતાને e_θ(T₁/T₂) સંકેત વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને

(આ) જો g(θ) નો લઘુતમ વિચરણ અનભિનત આગણનકાર T અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય અને નો અન્ય અનભિનત આગણનકાર હોય તો T’ને સાપેક્ષ દક્ષતા

(ઇ) જો Tg(θ) નો લઘુતમ વિચરણ સીમાબદ્ધ આગણનકાર T અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય અને નો અન્ય અનભિનત આગણનકાર હોય તો ની ને સાપેક્ષ દક્ષતા

સામાન્ય રીતે દક્ષતાનો ઉપયોગ મહાનિદર્શોના સિદ્ધાંત(large sample theory)માં થાય છે.

(viii) સહાયકતા :

વ્યાખ્યા : ધારો કે X₁,……,X_n સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x ; θ)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો છે અને ધારો કે y = v (x₁,…,x_n) એક આગણનકાર છે. જો yનું વિતરણ પ્રાચલ θ પર આધારિત ન હોય તો yને સહાયક આગણનકાર (auxiliary estimator) કહે છે.

સહાયક આગણનકારનો ખ્યાલ સૌપ્રથમ આર. એ. ફિશરે 1936માં રજૂ કર્યો. પ્રાચલ qના આગણન માટે આપણે મેળવેલ આગણનકાર પર્યાપ્ત ન હોય તો સૂત્ર (9) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ફિશર માહિતીના ક્ષય λ(θ)ને શૂન્ય બનાવવા અથવા ઘટાડવા સહાયક આગણનકારનો ઉપયોગ કરી શકાય. સહાયક આગણનકાર મેળવવા માટેની કોઈ સામાન્ય પદ્ધતિ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી. સહાયક આગણનકારો અનન્ય ન હોય તેવાં અનેક ઉદાહરણો ડી. બસુએ સંખ્યા- અંક-26 (1964) સામયિકમાં આપ્યાં છે.

ઉદાહરણ 7 :

જો x₁, x₂,…..,x_n (n>1) પ્રામાણ્ય વિતરણ N(θ, 1)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો હોય તો

y_j = _x – , j = 1, 2,……,nનું વિતરણ શૂન્ય મધ્યક અને 1-1/n  વિચરણ ધરાવતું પ્રામાણ્ય વિતરણ છે. y_iનું વિતરણ પ્રાચલ θ પર આધારિત ન હોવાથી

y_i (j = 1, 2,…., n) સહાયક આગણનકારો છે.

(ix) સંગતતા :

સંગતતા અનંતલક્ષી ગુણધર્મ છે. ધારો કે {x_n} સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x ; θ)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનોની શ્રેણી છે અને ધારો કે T_n અવલોકનો x₁, x₂,…….,x_nનું વિધેય છે. અર્થાત્ T_n = u (x₁,…….,x_n) આગણનકાર છે. તો {Tn} આગણનકારોની શ્રેણી થશે.

વ્યાખ્યા : જો બધા θ∈Ω માટે અને પ્રત્યેક ∈ > 0 અને δ > 0 માટે આપણે એવો પૂર્ણાંક N મેળવી શકીએ કે જેથી n ≥ N માટે

P(ΙT_n-θΙ<∈) ≥ 1 – δ …………………………………(12)

થાય તો આગણનકારોની શ્રેણી {T_n} પ્રાચલ θ માટે સંગત છે એમ કહેવાય.

જો આગણનકારોની શ્રેણી (T_n) પ્રાચલ θ માટે સંગત હોય તો શ્રેણીઓ પ્રાચલ θ માટે સંગત છે. અહીં a, b અને c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. વધુમાં જો n → ∞ માટે a_n → 1 હોય તો શ્રેણી (a_nT_n) પણ પ્રાચલ θ માટે સંગત થશે. આગણનકારોની સંગતતા નક્કી કરવા માટેનું પ્રમેય નીચે મુજબ છે :

પ્રમેય : ધારો કે {T_n} આગણનકારોની શ્રેણી છે. જો પ્રત્યેક θ∈Ω માટે અને n → ∞  માટે E_θ(T_n) → θ અને V_θ(T_n) → 0 હોય તો શ્રેણી {T_n} પ્રાચલ θ માટે સંગત છે.

ઉદાહરણ 8 :

n માટે _nનું વિતરણ થશે. આમ, n → ∞ માટે  અને છે. તેથી ઉપર્યુક્ત પ્રમેય અનુસાર શ્રેણી {_n} પ્રાચલ θ માટે સંગત છે એમ સાબિત થયું. આ જ પરિણામ સંગતતાની વ્યાખ્યાની મદદથી પણ સિદ્ધ થઈ શકે.

2.2 બિંદુ આગણનની રીતો :

પરિચ્છેદ 2.1માં બિંદુ આગણન માટે આગણનકારોના ઇચ્છનીય ગુણધર્મો વિશે અભ્યાસ કર્યો. કેટલીક વાર એવું બને કે આપેલા પ્રાચલીય વિધેય માટે અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય. એવું પણ બની શકે કે જો અનભિનત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો તે પ્રાચલની બધી કિંમતો માટે લઘુતમ વિચરણ ધરાવતો અને અનભિનત આગણનકાર મેળવવો મુશ્કેલ હોય. આવા સંજોગોમાં આગણનકાર મેળવવા માટે કોઈ વ્યવસ્થિત પદ્ધતિઓ નીચે પ્રમાણે છે :

(અ) પ્રઘાતોની પદ્ધતિ, (આ) મહત્તમ વિસંભાવનાની રીત, (ઇ) લઘુતમ કાઇસ્ક્વેરની પદ્ધતિ, (ઈ) ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ.

(અ) પ્રઘાતોની પદ્ધતિ :

આગણનકારો મેળવવાની પદ્ધતિઓ પૈકીની આ એક જૂની પદ્ધતિ છે.

ધારો કે x₁, x₂,…..,x_n સંભાવના કે ઘટત્વ વિતરણ ƒ(θ₁, θ₂,…….., θ_k)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનોનો નિદર્શ છે, અને યર્દચ્છ ચલ X ના સાદા પ્રઘાતો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. અર્થાત્,

μ’_r(θ₁,……, θ_k) = E_θ[x]^r, r = 1, 2,………,K

સમષ્ટિ કે વિતરણ પ્રઘાતો અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ધારો કે

પ્રઘાતોની પદ્ધતિ સાનુકૂળ અને સરળ હોવા છતાં તેના કેટલાક ગેરફાયદા પણ છે. વિતરણ કે સમષ્ટિના જરૂરી ક્રમ સુધીના પ્રઘાતો અસ્તિત્વ ન પણ ધરાવતા હોય. ઉદાહરણ તરીકે કોશી વિતરણના પ્રાચલોનું આગણન કરવું હોય તો પ્રઘાતોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય નહિ. કારણ કે આ વિતરણના પ્રઘાતો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી. વધુમાં પ્રઘાતોની પદ્ધતિ દ્વારા મળતા આગણનકારો અન્ય પદ્ધતિ દ્વારા મળતા આગણનકારો કરતાં ઊતરતી કક્ષાના હોઈ શકે. જોકે અનભિનતતાનો ગુણધર્મ આગણનકારો માટે ઇચ્છનીય છે, પરંતુ આવશ્યક નથી; પણ પ્રઘાતોની પદ્ધતિ દ્વારા મળતા આગણનકારો સામાન્ય રીતે અનભિનત હોતા નથી.

(b) મહત્તમ વિસંભાવનાની પદ્ધતિ : આ પદ્ધતિમાં પ્રાચલ θનો આગણનકાર વિસંભાવના વિધેયનું મહત્તમીકરણ કરવાથી મેળવી શકાય. વિસંભાવના વિધેયની L (x ; θ)ની વ્યાખ્યા પરિચ્છેદ 2.1માં સૂત્ર (4) દ્વારા આપી છે.

વ્યાખ્યા : ધારો કે x₁,……….,x_n f(x ; θ) સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ધરાવતા યર્દચ્છ ચલ X પરનાં નિરપેક્ષ અવલોકનો છે. જો (x₁,………..,x_n) =  () માટે

થાય તો ને પ્રાચલ θનો મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર કહે છે.

જો L( X; θ) θનું વિકલનીય વિધેય હોય અને જો (X) પ્રાચલાવકાશ Ω નું અંતર્ગત બિન્દુ હોય તો T = (X) સમીકરણ  નું સમાધાન કરે છે. વળી, બંને વિધેયો θની સમાન કિંમતો માટે મહત્તમ બનતાં હોવાથી ગાણિતિક સરળતા ખાતર ને મહત્તમ બનાવવામાં આવે છે. આમ મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર સમીકરણ

……………………………………….(13)

નું સમાધાન કરે છે. સમીકરણ(13)ને વિસંભાવના સમીકરણ કહે છે. જો પ્રાચલ θ = (θ₁, ……., θ_k) સદિશ હોય તો સમીકરણ (13) નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય :

મહત્તમ વિસંભાવનાની પદ્ધતિ મહત્વની પદ્ધતિ છે. કારણ કે તે દ્વારા સામાન્ય રીતે સારા આગણનકારો મળે છે. જો નિદર્શ સંખ્યા મોટી હોય તો આ આગણનકારો સારા હોય છે. તેમ છતાં આ પદ્ધતિની કેટલીક મર્યાદાઓ પણ છે. પ્રથમ તો θની એક કરતાં વધુ કિંમતો માટે વિસંભાવના વિધેય L (X ; θ) મહત્તમ બને તેવું શક્ય છે. આમ મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર અનન્ય ન પણ હોય. વળી, આગણનકાર અસ્તિત્વ ન પણ ધરાવતો હોય, કારણ કે પ્રાચલાવકાશ Ωમાં ન હોય તેવા Ωનાં લક્ષ્યબિન્દુ આગળ જ L (X ; θ)ની મહત્તમ કિંમત મળતી હોય. વળી વિસંભાવના સમીકરણ(13)ના ઉકેલ દ્વારા મળતી θની કિંમત મહત્તમને બદલે લઘુતમ પણ હોઈ શકે અને જો ઉકેલ મહત્તમ કિંમત આપે તોપણ તે સાપેક્ષ અથવા સ્થાનિક મહત્તમ હોઈ શકે. મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકારોના કેટલાક ગુણધર્મોની ટૂંકમાં સમીક્ષા કરીએ :

(i) સામાન્યત: મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકારો અનભિનત હોતા નથી.

(ii) જો આગણનકાર T પ્રાચલ θ માટે પર્યાપ્ત હોય અને અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાનું શક્ય હોય તો મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર T નું વિધેય થશે.

(iii) જો Φ = g(θ),θનું એક-એક વિધેય હોય અને જો (x)θનો મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર હોય તો g() Φનો મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર થશે.

(iv) ધારો કે {X_n} ƒ(X ; θ)માંથી લીધેલાં નિરપેક્ષ અવલોકનોની શ્રેણી છે અને L_n(X ; θ) પ્રથમ n અવલોકનો પરથી મેળવેલ સંભાવના વિધેય છે. ધારો કે θની કિંમત _n માટે L_n(X ; θ)ની કિંમત મહત્તમ બને છે. તો θ = θ₀ માટે _n → ₀ થવાની સંભાવના 1 છે એ વૉલ્ડે કેટલીક નિયમિતતાની શરતો હેઠળ સિદ્ધ કર્યું છે. આ પરિણામ મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકારોના સંગતતા(consistency)ના ગુણધર્મ તરીકે જાણીતું છે.

(v) કેટલીક શરતો હેઠળ વિસંભાવના સમીકરણ(13)નું એક બીજ _n(x) એવું હોય કે જ્યારે θ = θ₀ હોય ત્યારે નું અનંતલક્ષી વિતરણ શૂન્ય મધ્યક અને વિચરણ ધરાવતું પ્રમાણ્ય વિતરણ છે. અહીં I (θ₀), θ = θ₀ આગળ સૂત્ર (5) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ફિશર માહિતીની કિંમત દર્શાવે છે. આ પરિણામ ક્રામેરે 1946માં સિદ્ધ કર્યું છે.  ને _nના અનંતલક્ષી વિચરણની લઘુતમ કિંમત ગણી શકાય. આમ, _nને અનંતલક્ષી દક્ષ આગણનકાર કહી શકાય.

(c) લઘુતમ કાઇ-સ્ક્વેરની પદ્ધતિ :

જો માહિતી વર્ગીકૃત સ્વરૂપમાં હોય તો આ પદ્ધતિના ઉપયોગની ભલામણ થઈ શકે. ધારો કે યર્દચ્છ ચલ Xના નિદર્શાવકાશપરસ્પર નિવારક અને નિ:શેષ ઉપગણો E₁,………,E_k માં વિભાજન કરવામાં આવ્યું છે. ધારો કે  i = 1, 2,…., n. ધારો કે ઉપગણ E_iમાં સમાવિષ્ટ X પરનાં અવલોકનોની સંખ્યા n_i છે. કાર્લ પિયર્સને વ્યાખ્યાયિત કરેલ χ² નીચે મુજબ છે :

હવે પ્રત્યેક i માટે p_i θનું વિધેય હોવાથી χ² પણ θનું વિધેય થશે. લઘુતમ કાઇ-સ્ક્વેરની પદ્ધતિમાં આવૃત્તિઓ n₁,…….,n_k અચલ રાખીને χ² લઘુતમ બને તેવી θની કિંમત મેળવવામાં આવે છે. આ કિંમત θનો લઘુતમ કાઇ-સ્ક્વેર આગણનકાર કહેવાય છે.

આ પદ્ધતિની મુખ્ય મર્યાદા એ છે કે χ²ને લઘુતમ બનાવવું બૈજિક રીતે શક્ય નથી અને તેથી સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ વાપરવી પડે. જો નિદર્શ કદ n માટે n^–1/2 કક્ષાનાં પદો અવગણી શકાતાં હોય તો લઘુતમ કાઇ-સ્ક્વેર આગણનકાર અને મહત્તમ વિસંભાવના આગણનકાર સરખા થાય છે. આમ ગુરુ નિદર્શો માટે આ પદ્ધતિથી મળતા આગણનકારો સંગતતા અને અનંતલક્ષી દક્ષતાના સંદર્ભમાં મહત્તમ વિસંભાવના પદ્ધતિથી મળતા આગણનકારોના જેવા છે તેમ કહી શકાય.

(d) ન્યૂનતમ વર્ગોની પદ્ધતિ (method of least squares) : ધારો કે યર્દચ્છ ચલો Y_i(i = 1, 2,….., n)નું સંયુક્ત વિચરણ સદિશ પ્રાચલ θ = (θ₁, θ₂,…….., θ_k) ∈Ω⊆R^k પર આધારિત છે. ધારો કે i = 1, 2,……, n માટે અને આપેલ x_ij માટે

આપેલું છે. અહીં e_i ને યર્દચ્છ ત્રુટિ કહે છે, જે નીચેની શરતોનું સમાધાન કરે છે :

અહીં V(y) yનો વિચરણ સહવિચરણ શ્રેણિક દર્શાવે છે અને I_n n x n કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.

હવે S(y ; θ)ને ન્યૂનતમ બનાવે તેવી પ્રાચલ θની કિંમત ને θનો ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકાર (least squares estimator) કહે છે.

જો n x k કક્ષાના શ્રેણિક Xની કોટિ k(< n) હોય, તો X’Xનો વ્યસ્ત શ્રેણિક (X’X)^–1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આમ θના ન્યૂનતમ વર્ગ આગણનકાર

ગાઉસ-માકૉર્ફ પ્રમેય :

જો ⊆´ k x 1 કક્ષાનો જ્ઞાત સદિશ હોય તો ⊆’એ ⊆Í θનો શ્રેષ્ઠ સુરેખ અનભિનત આગણનકાર છે.

ગાઉસ-માકૉર્ફ પ્રમેય સુરેખ આગણનના પ્રશ્નોમાં વિશિષ્ટ અગત્ય ધરાવે છે. પ્રયોગોની અભિકલ્પના(design of experiments)ના અભ્યાસમાં પણ તેનું વિશિષ્ટ મહત્વ છે.

સંગીન આગણન (robust estimation) :

ધારો કે x₁, x₂,….., x_n પ્રામાણ્ય વિતરણ N(θ, 1)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો છે, તો નિદર્શ મધ્યક સ્થાનીય પ્રાચલ θ માટે શ્રેષ્ઠ આગણનકાર છે તેમ બતાવી શકાય. હવે ધારો કે અવલોકનો પ્રામાણ્ય વિતરણમાંથી લેવામાં આવ્યાં છે એવી આપણે કરેલી ધારણા મોટી છે અને ધારો કે આ અવલોકનો θ પ્રાચલ ધરાવતા કૉશી વિતરણમાંથી લેવામાં આવ્યાં છે, તો નું વિતરણ θ પ્રાચલ ધરાવતું કૉશી વિતરણ થશે તેમ બતાવી શકાય. તેથી નિદર્શ કદ nની ગુરુ કિંમતો માટે પણ પ્રાચલ θ માટે સંગત નથી. આમ આગણનકાર ના ગુણધર્મો આપણે પસંદ કરેલા સંભાવના વિતરણ પર આધારિત છે.

કેટલીક વાર એવું પણ બનતું હોય છે કે કેટલાંક અવલોકનોમાં માપનપદ્ધતિ કે નોંધણીપદ્ધતિનાં કે અન્ય અનિવાર્ય કારણોસર ક્ષતિ કે ત્રુટિ પ્રવેશે છે. આ ત્રુટિઓને કારણે અવલોકનોની પ્રામાણ્યતાની ધારણામાં સ્ખલન કે પ્રતિરોધ ઉપસ્થિત થાય છે. આવાં અવલોકનોને ખામીયુક્ત કે બહિ:સ્થિત અવલોકનો (outlying observations) કહે છે. નિદર્શ અવલોકનોમાં આવાં બહિ:સ્થિત અવલોકનોની હાજરીના કારણે મધ્યક અને ન્યૂનતમ વર્ગપદ્ધતિ દ્વારા મળતા પ્રાચલ θના આગણનકારો અસ્થિર બને છે. આવા સંજોગોમાં પ્રાચલ θ માટે વધુ સંગીન આગણનકાર મેળવવા તે ઇચ્છવાજોગ છે. જ્યારે નિદર્શમાં બહિ:સ્થિત અવલોકનો હોય ત્યારે નિદર્શનો મધ્યસ્થ પ્રાચલ θ માટે વધુ સંગીન આગણનકાર છે. કારણ કે મધ્યસ્થ બહિ:સ્થિત અવલોકનોની અસરથી મુક્ત હોય છે. બહિઃસ્થિત અવલોકનોના સંદર્ભમાં નિદર્શમધ્યક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેના સમાધાનકારી આગણનકાર તરીકે a-વર્જિત મધ્યક _aનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. અહીં 0 < a < ½. _aની ગણતરી કુલ n ક્રમિત અવલોકનો પૈકી ઉપલાં અને નીચલાં 100a % અવલોકનોને aની વિવિધ કિંમતો માટે અવગણવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે a = 0 માટે ₀ = અને a = ½ માટે = મધ્યસ્થ થશે. સ્થાનીય પ્રાચલ સિવાયના અન્ય પ્રાચલોના આગણન માટે હ્યુબરે -આગણનકારો સૂચવ્યા છે.

3. પરિકલ્પના પરીક્ષણ (testing of hypothesis) :

3.1 પ્રાસ્તાવિક : ધારો કે યર્દચ્છ ચલ નું વિતરણ વિધેય F(x ; θ) છે અને પ્રાચલ θ પ્રાચલાવકાશ Ωમાં કિંમત ધારણ કરે છે; ધારો કે યર્દચ્છ ચલ X અવલોકિત કિંમત x નિદર્શાવકાશ નો ઘટક છે; ધારો કે અને Ω વાસ્તવિક ગણ Rના ઉપગણો છે; વધુમાં ધારો કે ƒ (x ; θ) યર્દચ્છ ચલ ના વિતરણ વિધેય F(x ; θ)નું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય છે.

ધારો કે H પ્રાચલ θ અંગેનું વિધાન છે. વિધાન Hને θ વિશેની પરિકલ્પના કહે છે. θની સાચી કિંમત વિશે આપણી પાસે કોઈ જાણકારી ન હોવાથી H સત્ય છે કે અસત્ય છે તે યર્દચ્છ ચલ X પર મેળવેલ અવલોકન કે અવલોકનો દ્વારા મળતી માહિતીના આધારે નક્કી કરી શકાય. આમ ચલ X પરની માહિતીના આધારે પરિકલ્પના Hનો સ્વીકાર અથવા અસ્વીકાર થઈ શકે. આ બાબત સમજવા એક ઉદાહરણ લઈએ. ધારો કે θ કોઈ ઔદ્યોગિક શહેરમાં ક્ષયરોગથી પીડાતી વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ દર્શાવે છે. ભૂતકાળમાં આ શહેરમાં થયેલી મોજણીના આધારે ક્ષયરોગથી પીડાતી વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ θ = 0.2 માલૂમ પડ્યું. તેથી આપણી પરિકલ્પના H : θ = 0.2 થશે. આ વિધાનની સત્યતા ચકાસવા શહેરનું આરોગ્ય ખાતું n વ્યક્તિઓનો એક યર્દચ્છ નિદર્શ લેવાનું નક્કી કરે છે. આપણે દરેક વ્યક્તિ સાથે યર્દચ્છ ચલ  વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ. જો વ્યક્તિ ક્ષયરોગથી પીડાતી હોય તો X = 1 અને ક્ષયરોગથી મુક્ત હોય તો X = 0 લઈ શકીએ. આમ n વ્યક્તિઓના નિદર્શ માટે આપણને માહિતીગણ {X₁, X₂,….,X_n} મળશે. અહીં પ્રત્યેક X_iની કિંમત 1 અથવા 0 થશે. હવે માહિતીગણ પરથી આપણે આગણનકાર T = X₁ + X₂ +…..+X_n વ્યાખ્યાયિત કરીશું. Tનું સંભાવના વિતરણ દ્વિપદી B(n, θ) થશે તે સહેલાઈથી સાબિત કરી શકાય. જો T > C હોય તો આપણે પરિકલ્પના H નો અસ્વીકાર કરીશું. T > C ને પરિકલ્પના Hની પરીક્ષણપદ્ધતિ કહે છે અને અચલ Cને પરીક્ષણપદ્ધતિનું વિભાજનબિન્દુ કહે છે. વિભાજનબિન્દુ Cની કિંમત શોધવા માટે આપણે પરીક્ષણપદ્ધતિ T > C સાથે સંકળાયેલ દોષને ધ્યાનમાં લેવો પડે. આ દોષ બે પ્રકારનાં હોય છે. જ્યારે પરિકલ્પના H સત્ય હોય અને પરીક્ષણપદ્ધતિ તેનો અસ્વીકાર કરે ત્યારે ઉદભવતા દોષને પ્રથમ પ્રકારનો દોષ (type I error) કહે છે, જ્યારે પરિકલ્પના H અસત્ય હોય અને પરીક્ષણપદ્ધતિ તેનો સ્વીકાર કરે ત્યારે ઉદભવતા દોષને દ્વિતીય પ્રકારનો દોષ (type II error) કહે છે. પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નમાં પ્રથમ પ્રકારના દોષને ગંભીર ગણવામાં આવે છે. તેથી પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવનાની કક્ષા અગાઉથી નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. જો આ કક્ષા a(0 ≤ a ≤ 1) હોય તો H સત્ય હોય ત્યારે સંભાવના અસમતા P_H (T > C) ≤ a પરથી C ની કિંમત મેળવી શકીએ. આ સંભાવના અસમતાનું સમાધાન કરે તેવી Cની એકથી વધુ કિંમતો હોઈ શકે. Cની આ કિંમતો પૈકીની જે કિંમત માટે પરીક્ષણપદ્ધતિના દ્વિતીય પ્રકારના દોષની સંભાવના ન્યૂનતમ થાય તે કિંમતને ઇષ્ટતમ કિંમત તરીકે લેવામાં આવે છે. આમ પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નમાં પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવનાની કક્ષા નિશ્ચિત કરીને દ્વિતીય પ્રકારના દોષની સંભાવનાને ન્યૂનતમ કરી શ્રેષ્ઠ કે ઇષ્ટતમ પરીક્ષણ મેળવવામાં આવે છે.

પરિકલ્પના પરીક્ષણના સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક નિરૂપણ સૌપ્રથમ જે. નેમાન અને ઈ. એસ. પિયર્સને 1933માં કર્યું. પરિકલ્પના પરીક્ષણનો સિદ્ધાંત આગમિક અનુમાન(inductive inference)નો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે. હવે પછીના પરિચ્છેદોમાં પરિકલ્પના પરીક્ષણ સિદ્ધાંતના કેટલાક મુખ્ય અંશો વિશે ચર્ચા કરીશું.

3.2 પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નનું નિરૂપણ :  H યર્દચ્છ ચલ X ના સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x ; θ)ના પ્રાચલ θ વિશેની પરિકલ્પના છે. ‘H અસત્ય છે’ એ વિધાનને K વડે વ્યક્ત કરીએ તો K પણ પરિકલ્પના થશે. Kને θ વિશેની વૈકલ્પિક પરિકલ્પના કહે છે. આપણે પ્રાચલાવકાશ Ωનું પરસ્પર નિવારક એવા ઉપગણો Ω_H અને Ω_Kમાં વિભાજન કરીએ કે જેથી Ω = Ω_H U Ω_K થાય. જો θ∈Ω_H હોય તો H સત્ય છે અને θ∈Ω_k હોય તો K સત્ય છે (અર્થાત્ H અસત્ય છે) એમ કહી શકાય. પ્રચલિત પ્રણાલી અનુસાર Hને નિરાકરણીય પરિકલ્પના (null hypothesis) કહે છે. જો ઉપગણ Ω_Hમાં માત્ર એક જ ઘટક હોય તો Hને સાદી પરિકલ્પના કહે છે. જો Ω_Hમાં એક કરતાં વધુ ઘટકો હોય તો Hને સંયુક્ત પરિકલ્પના કહે છે. તે જ પ્રમાણે Ω_K માટે પણ કહી શકાય.

ધારો કે ƒ (x ; θ) સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ધરાવતા યર્દચ્છ ચલ X ની અવલોકિત કિંમત χ∈ છે; ધારો કે આપણે પરિકલ્પના H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ ∈ Ω_k નું અવલોકિત કિંમત xના આધારે પરીક્ષણ કરવું છે. xના આધારે પરિકલ્પના H અથવા Kનો સ્વીકાર કરતી નિર્ણયપદ્ધતિને પરીક્ષણ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા : યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x ; θ) છે અને χ∈ અને θ ∈ Ω છે. S નિદર્શાવકાશ નો એવો ઉપગણ છે કે જો x∈S માટે પરિકલ્પના H:∈θΩ_Hનો અસ્વીકાર થાય તો ∈ ઉપગણ Sને પરિકલ્પના H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ ∈ Ω_kના પરીક્ષણનું અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર (critical region) કહે છે. S ના પૂરકગણ S^c =  – S ને પરીક્ષણનું સ્વીકૃતિક્ષેત્ર (acceptance region) કહે છે.

ધારો કે ના ઉપગણ S પરિકલ્પના H વિરુદ્ધ Kના પરીક્ષણનું અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર છે અને x ચલ Xની અવલોકિત કિંમત છે. જો θ∈Ω_H અને x∈S હોય તો પ્રથમ પ્રકારનો દોષ ઉદભવે છે. જો θ∈Ω_K અને x∈S^c હોય તો દ્વિતીય પ્રકારનો દોષ ઉદભવે છે. બંને પ્રકારના દોષની સંભાવના નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.

વ્યાખ્યા : θ ∈ Ω_H માટે P_θ (x∈S)ને પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવના કહે છે અને θ ∈ Ω_K માટે P_θ(x ∈ S^c)ને દ્વિતીય પ્રકારના દોષની સંભાવના કહે છે.

બંને પ્રકારના દોષની સંભાવના શૂન્ય હોય તે રીતે પરીક્ષણનું અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર S મેળવી શકાય તો તે આદર્શરૂપ ગણાય. વ્યવહારમાં આમ કરવું શક્ય નથી. પ્રાચલ θ વિશેની નિરાકરણીય અને વૈકલ્પિક પરિકલ્પનાઓ એવી હોય છે કે તેમના પરીક્ષણ માટે પ્રથમ પ્રકારનો દોષ દ્વિતીય પ્રકારના દોષ કરતાં વધુ ગંભીર ગણવામાં આવે છે. પરિણામે આપણે θ ∈ Ω_H માટે પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવના P_θ(x∈S)ને પૂર્વનિશ્ચિત કક્ષા (0≤a≤1)થી નાની રાખીને θ ∈ Ω_K માટે P_θ (x ∈ S^c)ને ન્યૂનતમ અથવા P_θ (x ∈ S)ને મહત્તમ બનાવી શકીએ. સામાન્ય રીતે a ની કિંમત 0.05 અથવા 0.01 લેવામાં આવે છે. પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નનું આપણે નીચેની વ્યાખ્યા દ્વારા નિરૂપણ કરીએ.

વ્યાખ્યા : પૂર્વનિશ્ચિત a(0≤a≤1) માટે યર્દચ્છ ચલx ની અવલોકિત કિંમત x ∈ Ωના આધારે પરિકલ્પના H:θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ ∈ Ω_Kનું પરીક્ષણ કરવા માટે અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર S ⊂ ની એવી રીતે પસંદગી કરીએ કે જેથી

મહત્તમ બને. a ને S અસ્વીકૃતિ ધરાવતા H વિરુદ્ધ Kના પરીક્ષણની સાર્થકતાની કક્ષા (level of significance) કહે છે.

પરીક્ષણનું ક્ષેત્રમાન (size) કહે છે.

હોય તો સાર્થકતાના કક્ષા a પરીક્ષણનું ક્ષેત્રમાન થશે. θ ∈ Ω માટે પરીક્ષણનું સામર્થ્ય વિધેય (power function) કહે છે અને π(θ)ને પરીક્ષણનું બિન્દુ θ આગળનું સામર્થ્ય કહે છે. પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નની ઉપર્યુક્ત વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ થશે કે સાર્થકતાની કક્ષા α-વાળાં બધાં પરીક્ષણોમાં આપણો ઉદ્દેશ θ ∈ Ω_K માટે સામર્થ્ય π(θ)ને મહત્તમ બનાવવાનો છે. પરિકલ્પના પરીક્ષણમાં અસ્વીકૃતિક્ષેત્રની પસંદગી આપેલ સાર્થકતાની કક્ષા a માટે કેવી રીતે થઈ શકે તેનું એક ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 9 : ધારો કે યર્દચ્છ ચલ X દ્વિપદી વિતરણ B(2, θ)ને અનુસરે છે અને ધારો કે ચલ Xનું સંભાવના વિધેય θ ∈ Ω માટે

થશે.

અહીં નિદર્શાવકાશ = {0, 1, 2} થશે. ધારો કે આપણે  : વિરુદ્ધ  K : θ = 3/4નું પરીક્ષણ કરવું છે અને ધારો કે સાર્થકતાની કક્ષા α = 0.3 છે. આપણે પરીક્ષણના અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર ની પસંદગી 2³ = 8 પ્રકારે કરી શકીએ. આપણે Sની પસંદગી એવી રીતે કરીએ કે જેથી શરત P_θ = ½ (x∈S) ≤ α = 0.3ને આધીન P_θ = 3/4 (x∈S) મહત્તમ બને. S ની પસંદગી અને તેને અનુરૂપ P_θ = ½ (x∈S) અને P_θ = 3/4 (x∈S)ની ગણતરી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવી છે.

કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ થશે કે ના ઉપગણો Φ,{0} અને {2} માટેP_θ=1/2(x∈S) ≤ α = 0.3 શરતનું સમાધાન કરે છે. તેથી આ પૈકીના કોઈપણ ઉપગણને પરિકલ્પના H : θ = ½ વિરુદ્ધ K : θ = ¾ ના પરીક્ષણના અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર તરીકે લઈ શકાય. આ ત્રણ અસ્વીકૃતિક્ષેત્રો પૈકી S = {2} માટે P_θ=3/4 (x∈S)ની કિંમત મહત્તમ એટલે કે (9/16) હોવાથી S={2} પરિકલ્પના H : θ = 1/2 વિરુદ્ધ K : θ 3/4ના પરીક્ષણનું શ્રેષ્ઠ અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર થશે. આ પરીક્ષણનું ક્ષેત્રમાન થશે. આ ઉદાહરણમાં પરીક્ષણનું ક્ષેત્રમાન કક્ષા α = 0.3 કરતાં નાનું છે.

જો ક્ષેત્રમાન = 0.3 હોય તેવું પરીક્ષણ મેળવવું હોય તો યર્દચ્છીકરણનો ઉપયોગ કરવો પડે. આ માટે પરિકલ્પના પરીક્ષણની વ્યાખ્યાનું સ્વરૂપ વ્યાપક બનાવવું જોઈએ, જેથી અસ્વીકૃતિક્ષેત્ર દ્વારા અવ્યાખ્યાયિત થતાં પરીક્ષણને તેના એક વિશિષ્ટ પ્રકાર તરીકે લઈ શકીએ.

વ્યાખ્યા : પ્રત્યેક બૉરેલ-માપીય (Borel-measurable) વિધેય φ : → [0, 1]ને પરીક્ષણ કહે છે. જો આપેલ સાર્થકતાની કક્ષા α માટે અને x∈X તથા θ∈ Ω_H માટે

E_q{φ(x)}≤ α ……………………………………….(22)

હોય તો વિધેય φને પરિકલ્પના H : θ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ∈ Ω_Kનું α-કક્ષાવાળું પરીક્ષણ અથવા H વિરુદ્ધ ના પરીક્ષણનું a-કક્ષાવાળું અસ્વીકૃતિવિધેય કહે છે.

જો θ∈ Ω માટે πφ(θ) = E_θ {φ(x)} હોય તો આપેલ a (0≤a≤1) માટે આપણો ઉદ્દેશ એવું પરીક્ષણ φ મેળવવાનો છે, કે જેથી

 ……………………………….(23) થાય.

પરીક્ષણ φનું ક્ષેત્રમાન કહે છે. સ્પષ્ટ છે કે આપેલ x∈ માટે પરીક્ષણ φ(x) સંવૃત અંતરાલ [0, 1]માં કિંમત ધારણ કરે છે. અર્થાત્

0 ≤ φ (x) ≤ 1.

યર્દચ્છ ચલ Xની અવલોકિત કિંમત x માટે φ (x)ને નિરાકરણીય પરિકલ્પનાની અસ્વીકૃતિની સંભાવના કહેવામાં આવે છે. φ (x)ને આપણે H વિરુદ્ધ Kનું યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ કહીશું. જો φ (x)=Is(x) હોય તો φ ને આપણે અયાર્દચ્છિક પરીક્ષણ કહીશું. અહીં I_s(x)ને ના ઉપગણ S નું દર્શકવિધેય (indicator function) કહે છે.

જો x ∈ S હોય, તો નિરાકરણીય પરિકલ્પના Hનો અસ્વીકાર કરવાની સંભાવના φ (x) = I_s(x) = 1 થશે; અર્થાત્ S H વિરુદ્ધ Kના પરીક્ષણનું અસ્વીકૃતિવિધેય થશે.

હવેથી આપણે a-કક્ષાવાળા H : θ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ∈ Ω_Kનું પરીક્ષણ કરવાના પ્રશ્નને ત્રિપુટી (a, Ω_H, Ω_K) સંકેત વડે દર્શાવીશું.

વ્યાખ્યા : જો φ પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્ન (α, W_H, W_K)નું પરીક્ષણ હોય તો θ∈ Ω માટે

π_φ(θ) = E_θ{φ(x)} …………………………………(24)

– ને પરીક્ષણ φનું સામર્થ્યવિધેય કહે છે. θ∈ Ω_K માટે π_φ(θ)ને બિંદુ θ આગળનું સામર્થ્ય કહે છે.

હવે પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K)નું યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ φના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ નિરૂપણ કરી શકાય.

આપેલ x ∈ માટે યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ φ (x) આપણે એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી

મહત્તમ બને.

આપેલ કક્ષા α માટે શરત(25)નું સમાધાન કરે તેવાં એકથી વધુ પરીક્ષણો મેળવી શકાય. એવી રીતે મળતા પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K,)નાં પરીક્ષણોના ગણને આપણે C_α વડે દર્શાવીશું. સ્પષ્ટ છે કે C_α અરિક્ત ગણ થશે. હવે આપણે સમર્થતમ અને સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણોની વ્યાખ્યા આપીશું.

વ્યાખ્યા : ધારો કે C_α પરિકલ્પના પરીક્ષણ પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K)નાં પરીક્ષણોનો ગણ છે. પરીક્ષણ φ₀ ∈C_α, આપેલ θ₁ ∈ Ω_K અને બધા φ ∈C_αમાટે જો

………………………………….(27)

હોય તો φ₀ને પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K)નું સમર્થતમ પરીક્ષણ કહે છે. જો પરિણામ (27) Ω_Kનાં બધાં બિંદુઓ માટે એકસમાન રીતે સત્ય હોય તો φ₀ને પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K)નું સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ કહે છે.

જો Ω_H અને Ω_K સાદી પરિકલ્પનાઓ હોય તો આપણે પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K) માટે સમર્થતમ પરીક્ષણ (જો અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય તો) મેળવી શકીએ. તે જ પ્રમાણે જો Ω_H અને Ω_K સંયુક્ત પરિકલ્પનાઓ હોય તો આપણે પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K) માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ (જો તેનું અસ્તિત્વ હોય તો) મેળવી શકીએ.

ઉદાહરણ 9માં મેળવેલ અયાર્દચ્છિક પરીક્ષણને આપણે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકીએ.

ઉપરના પરીક્ષણનાં ક્ષેત્રમાન અને સામર્થ્ય અનુક્રમે

હવે ધારો કે α = 0.3 ક્ષેત્રમાનવાળું યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ મેળવવું છે. ઉપરના અયાર્દચ્છિક પરીક્ષણનું ક્ષેત્રમાન છે. જો આપણે બિન્દુ x = 1 આગળ યર્દચ્છીકરણ કરીએ તો પરિકલ્પના H : θ = 1/2 વિરુદ્ધ K : θ = 3/4નું યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ.

અચલ y(0<y<1) એવી રીતે મેળવીએ કે જેથી થાય. આ પરિણામ પરથી આપણને y = 0.1 મળશે. હવે આ યાર્દચ્છિક પરીક્ષણનું સામર્થ્ય થશે. આ ઉદાહરણ પરથી સ્પષ્ટ થશે કે α-કક્ષાવાળા અયાર્દચ્છિક પરીક્ષણ કરતાં α-ક્ષેત્રમાનવાળું યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ વધુ સામર્થ્ય આપે છે.

સાદી નિરાકરણીય પરિકલ્પના H : θ ∈ Ω_H = {θ₀} વિરુદ્ધ સાદી વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ ∈ Ω_K = {θ₁}નું પરીક્ષણ કરવા માટે  નેમન અને પિયર્સને 1933માં α-ક્ષેત્રમાનવાળાં સમર્થતમ પરીક્ષણ મેળવવા માટે મૂળભૂત પ્રમેયિકા પ્રસ્તુત કરી. પ્રમેયિકા સમર્થતમ પરીક્ષણ મેળવવા માટેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત આપે છે. આ પ્રમેયિકા નીચે પ્રમાણે છે.

નેમન-પિયર્સન પ્રમેયિકા :

ધારો કે ƒ (x ; θ) યર્દચ્છ ચલ નું સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય દર્શાવે છે અને θ∈ Ω={θ₀, θ₁}. ધારો કે x ચલની X ની અવલોકિત કિંમત દર્શાવે છે. તો સાદી પરિકલ્પના H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ સાદી વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ = θ₁નું α-ક્ષેત્રમાનવાળું સમર્થતમ યાર્દચ્છિક પરીક્ષણ φ(x) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.

જો હોય અર્થાત્ yનું વિતરણ સતત હોય તો y(x) = 0 લેવામાં આવે છે. જો યર્દચ્છ ચલ x પરની અવલોકિત કિંમતો x₁, x₂,…….,x_n હોય તો ઉપરના યાર્દચ્છિક પરીક્ષણમાં આપણે φ(x)ને બદલે φ(x₁,……,x_n) અને ƒ(x; θ₁) > Kƒ(x; θ₀)ને બદલે લઈને પરીક્ષણ મેળવી શકીએ.

ઉદાહરણ 10 :

ધારો કે x₁, x₂,……..,x_n પ્રમાણ્ય વિતરણ N(0, 1) માંથી લેવામાં આવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો છે. ધારો કે પરિકલ્પના H : θ=θ₀ વિરુદ્ધ K : θ=θ₁, θ₁ > θ₀નું α-કક્ષાએ પરીક્ષણ કરવું છે. નેમાન-પિયર્સન પ્રમેયિકા અનુસાર H વિરુદ્ધ Kનું સમર્થતમ પરીક્ષણ નીચે મુજબ લખી શકાય.

હવે, પરથી વિભાજનબિંદુ Kની કિંમત મેળવી શકીએ. સ્પષ્ટ છે કે y પ્રામાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

તેથી,  પરથી

સમીકરણ મળશે. પ્રામાણ્ય વિતરણના કોષ્ટક પરથી ધારો કે આપેલ α માટે Z_a એવો મળે કે જેથી

આમમળશે અને પરિણામે વિભાજનબિંદુ થશે. સમીકરણ (31) દ્વારા મળતા સમર્થનમાં પરીક્ષણનું સામર્થ્ય

આગણનકાર y= ∑x_i નું વિતરણ સતત હોવાથી p(y=k)=0 થશે તેથી પરીક્ષણ(31)માં સમતાનું ચિહ્ન અસમતાઓ y>K અથવા y<K પૈકી ગમે તે એકમાં મૂકી શકાય.

જો યર્દચ્છ ચલ Xના વિતરણનું સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય ƒ (x; θ) એવું હોય કે θ₁ ∈ Ω, θ₂ ∈ Ω અને θ₁ < θ₂ માટે ગુણોત્તર વધતું જતું એકસૂત્રી વિધેય હોય તો સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય ƒ (x; θ) આગણનકાર T(x) માં એકસૂત્રી વિસંભાવના ગુણોત્તર (monotone likelihood ratio) ધરાવે છે એમ કહેવાય. અહીં xની શક્ય કિંમતોના ગણ માટે ƒ(x;θ₁) અને ƒ(x;θ₂) પૈકી ગમે તે એક કિંમત ધન હોય તે ઇચ્છનીય છે.

જો ƒ (x; θ) T(x)માં એકસૂત્રી વિસંભાવના ગુણોત્તર ધરાવતું હોય તો θ વિશેની સંયુક્ત પરિકલ્પના H : θ ∈Ω_H વિરુદ્ધ સંયુક્ત વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ ∈Ω_Hનું α-ક્ષેત્રમાન ધરાવતું સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ નેમનપિયર્સન પ્રમેયિકાનો ઉપયોગ કરી મેળવી શકાય. ધારો કે Ω_H=(-∞, θ₀] અને θ_K=(θ₀, ∞) છે અને θ₀ θની નિર્દિષ્ટ કિંમત છે. તો આપણે H : θ ∈Ω_H વિરુદ્ધ K : θ∈ Ω_Kને H : θ ≤ θ₀ વિરુદ્ધ K : θ ≥ θ₀ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ. હવે આપણે નીચેનું પ્રમેય પરિભાષિત કરીશું.

પ્રમેય : ધારો કે સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ (x; θ) T(x)માં એકસૂત્રી વિસંભાવના ગુણોત્તર ધરાવે છે. નિરાકરણીય પરિકલ્પના H : θ < θ₀  વિરુદ્ધ વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ > θ₀નું પરીક્ષણ કરવા માટેનું α-ક્ષેત્રમાનવાળું સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે નીચે મુજબ લખી શકાય :

શરત પરથી મેળવી શકાય. આ પરીક્ષણનું સામર્થ્યવિધેય θ ∈Ω_K માટે πφ (θ) θનું વધતું જતું એકસૂત્રી વિધેય છે. સામર્થ્યવિધેય πφ(θ)નો આલેખ નીચે આપ્યો છે.

જો સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય ƒ (x; θ)ને ઘાતાંકીય વિતરણ સમુદાયના ઘટત્વવિધેય સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય અને જો Q(θ) θનું વધતું જતું એકસૂત્રી વિધેય હોય તો ƒ (x; θ) T(x)માં એકસૂત્રી વિસંભાવના ગુણોત્તર ધરાવે છે. તે સહેલાઈથી દર્શાવી શકાય. પરિણામે નિરાકરણીય સંયુક્ત પરિકલ્પના H : θ ≤ θ₀ વિરુદ્ધ વૈકલ્પિક સંયુક્ત પરિકલ્પના K :  θ ≥ θ₀નું સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ (32) અને (33) પરથી મેળવી શકાય. પરિકલ્પનાઓ H અને K બંને એક-દિશ (one-sided) પરિકલ્પનાઓ છે તેની નોંધ લઈએ.

જો નિર્દિષ્ટ θ₁ ≤ θ₂ માટે H : θ ≤ θ₁ અથવા θ ≥ θ₂ અને K : θ₁ ≤ θ ≤ θ₂ હોય તો પરિકલ્પના H દ્વિદિશ થશે. બધી દ્વિદિશ પરિકલ્પનાઓના પરીક્ષણ માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણો અસ્તિત્વ ધરાવતાં નથી. અલબત્ત અપવાદરૂપ કેટલીક દ્વિદિશ પરિકલ્પનાઓ માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

પ્રમેય :

ધારો કે વધતું જતું વિધેય છે તો θ₁ ≤ θ₂ માટે પરિકલ્પના H : θ ≤ θ₁ અથવા θ ≥ θ₂ K : θ₁< θ < θ₂નું α-ક્ષેત્રમાનવાળું સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે નીચે મુજબ લખી શકાય :

θ₁ ≤ θ₂ માટે H : θ₁ < θ < θ₂ વિરુદ્ધ K : θ < θ₁ અથવા θ > θ₂નું પરીક્ષણ કરવા માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી. જો θ₁ = θ₂ = θ₀ લઈએ તો ઉપરની પરિકલ્પનાને H : θ = θ₀ અને K : θ ≠ θ₀ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય. H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ K : θ ≠ θ₀નું પરીક્ષણ કરવા માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી; પરંતુ જો θ (0, θ) અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત એકસમાન વિતરણનો પ્રાચલ હોય અને જો x₁,……,x_n આ વિતરણમાંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો હોય તો H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ K : θ ≠ θ₀ના પરીક્ષણ માટેનું α-ક્ષેત્રમાનવાળું સર્વત્ર સમર્થતા પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.

થશે એમ બતાવી શકાય. આ પરીક્ષણના સામર્થ્યવિધેયનો આલેખ નીચે પ્રમાણે છે :

3.3 અનભિનત પરીક્ષણો :

વ્યાખ્યા φ H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ ∈ Ω_Kનું α-ક્ષેત્રમાનવાળું પરીક્ષણ છે. જો

હોય તો પરીક્ષણ θને અનભિનત પરીક્ષણ કહે છે.

ધારો કે સંવૃતકો (closures) છે. ગણ ωને Ω_H અને Ω_Kનો સીમાગણ કહે છે. હવે α-સમાન પરીક્ષણની વ્યાખ્યા આપીએ.

વ્યાખ્યા : પરિકલ્પના H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ પરિકલ્પના K : θ ∈ Ω_Kના પરીક્ષણ માટે જો θ ∈ ω માટે

હોય તો φને α-સમાન પરીક્ષણ કહે છે.

જો  : H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ K : θ ∈ Ω_Kના પરીક્ષણ φનું સામર્થ્ય વિધેય π_φ (θ) θનું સતત-વિધેય હોય અને પરીક્ષણ φ સીમા-ગણ ω પરનાં બધાં α-સમાન પરીક્ષણોમાં સર્વત્ર સમર્થતમ હોય તો φને H વિરુદ્ધ Kનું સર્વત્ર સમર્થતમ અનભિનત પરીક્ષણ કહે છે.

સામાન્ય રીતે યર્દચ્છ ચલ ના સંભાવના કે ઘટત્વવિધેયમાં એક કરતાં વધુ પ્રાચલો હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે જો Xનું વિતરણ પ્રમાણ્ય N (θ,σ²) હોય અને જો આપણે H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ K : θ = θ₁ (>θ₀)નું પરીક્ષણ કરવું હોય તો અને σ² અજ્ઞાત હોય તો પ્રાચલ σ²ને મિથ્યા-પ્રાચલ (nuisance parameter) કહે છે. જો મિથ્યા-પ્રાચલ σ² માટે પર્યાપ્ત આગણનકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય અને તે સીમિત રીતે સંપૂર્ણ (boundedly complete) હોય, તો H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ K : θ = θ₁નું પરીક્ષણ કરવા માટે α-ક્ષેત્રમાનવાળું સમર્થતમ અનભિનત પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (આ પરીક્ષણોની તથા અન્ય પરીક્ષણોની વિશદ છણાવટ E. H. Lehmannના પુસ્તક ‘Testing Statistical Hypothesis’માં કરેલી છે.)

3.4 વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણો :

અગાઉના પરિચ્છેદોમાં પરિકલ્પના-પરીક્ષણોના પ્રશ્ન (α, Ω_H, Ω_K) માટે સમર્થતમ, સર્વત્ર સમર્થતમ અને સર્વત્ર સમર્થતમ અનભિનત વગેરે પરીક્ષણો વિશે ચર્ચા કરી. આ પરીક્ષણોનું અસ્તિત્વ યર્દચ્છ ચલ xના સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય ƒ (x; θ)ના વિશિષ્ટ ગાણિતિક સ્વરૂપ પર અવલંબે છે. આ પરિચ્છેદમાં આપણે પરીક્ષણો મેળવવાની વિસંભાવના ગુણોત્તરની રીત વિશે ચર્ચા કરીશું. આ રીતનું પ્રયોગક્ષેત્ર વ્યાપક છે અને આ રીત દ્વારા મળતાં પરીક્ષણો કેટલાંક ઇષ્ટ અનંતલક્ષી (અર્થાત્ ગુરુનિદર્શ) ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ધારો કે સદિશ પ્રાચલ છે અને ƒ (x; θ) યર્દચ્છ ચલ xનું સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય છે. અહીં R^k K-પરિમાણી યુક્લિડીય અવકાશ છે. ધારો કે x = (x₁, …,x_n) યર્દચ્છ ચલ x પરનાં n અવલોકનોનો સદિશ છે. ધારો કે આપણે નિરાકરણીય પરિકલ્પના H : θ ∈ Ω_H વિરુદ્ધ વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ ∈ Ω_K નું પરીક્ષણ કરવું છે. x નું વિસંભાવના વિધેય

જો અચલ c(o ≤ c ≤ 1) માટે λ(x)≤c હોય તો આપણે નિરાકરણીય પરિકલ્પના Hનો અસ્વીકાર કરીશું. અને જો λ(x)≥c હોય તો Hનો સ્વીકાર કરીશું. આમ આપણે વિસંભાવના ગુણોત્તર λ(x)ની મદદથી પરિકલ્પના H વિરુદ્ધ પરિકલ્પના Kનું પરીક્ષણ કરી શકીએ. જો ક્ષેત્રમાન α હોય તો વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણના અચલ cની કિંમત શરત  પરથી મેળવી શકાય.

આમ, આપણને પરીક્ષણોની રચના માટેની એક વ્યવસ્થિત રીત મળે છે. જ્યારે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ મેળવી શકાતું ન હોય ત્યારે ઘણી પરિસ્થિતિઓ માટે વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ દ્વારા સારાં પરીક્ષણો મળે છે, પરંતુ ગુણોત્તર પરીક્ષણ મેળવવા માટે નેમન-પિયર્સન પરીક્ષણ સિદ્ધાંત મુજબ કોઈ પ્રતિબંધો ઉપયોગમાં લીધા નથી. તેથી આવું પરીક્ષણ ક્ષેત્રમાન અને સામર્થ્યના સંદર્ભમાં કેટલીક વાર ખરાબ પણ હોઈ શકે.

વિસંભાવના ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ સમજવા એક ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 11 : ધારો કે x₁, x₂, …, x_n પ્રામાણ્ય વિતરણ N(θ, 1)માંથી મેળવેલાં નિરપેક્ષ અવલોકનો છે. ધારો કે આપણે H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ K : θ ≠ θ₀નું α-કક્ષાએ પરીક્ષણ કરવું છે. આ પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્ન માટે સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી તે પરિચ્છેદ 3.3માં જોઈ ગયા. આપણે હવે વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ મેળવીશું. અહીં Ω_H = {θ₀} અને પ્રાચલાવકાશ Ω = (-∞, ∞) થશે.

વિસંભાવના વિધેય

અર્થાત્ જ્યારે હોય ત્યારે નિરાકરણીય પરિકલ્પના Hનો અસ્વીકાર થાય. α-કક્ષા માટે પ્રામાણ્ય વિતરણના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી વિભાજનબિંદુ ની કિંમત મેળવી શકાય. આમ જ્યારે

હોય ત્યારે α-કક્ષાવાળું વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ Hનો અસ્વીકાર કરશે. આ પરીક્ષણ માટેનું θ ≠ θ₀ સામર્થ્ય

સતત વધતું વિધેય છે તે સહેલાઈથી ચકાસી શકાય. વધુમાં π(θ₀) = a અને θ ≠ θ₀ માટે π(θ)≥a થશે. વિસંભાવના ગુણોત્તર દ્વારા મળતું આ પરીક્ષણ બધાં અનભિનત પરીક્ષણોમાં સર્વત્ર સમર્થતમ છે તેમ બતાવી શકાય.

વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ મેળવવા માટે આપણે λ(x)નું વિતરણ મેળવવું પડે. જ્યારે λ(x)નું વિતરણ મેળવવું મુશ્કેલ હોય ત્યારે nની ગુરુ કિંમત માટે λ(x)નું અનંતલક્ષી વિતરણ મેળવી શકીએ અને λ(x)ના અનંતલક્ષી વિતરણનો ઉપયોગ કરી આપેલ નિરાકરણીય પરિકલ્પના માટે અનંતલક્ષી પરીક્ષણ મેળવી શકીએ.

પ્રમેય : સંભાવના કે ઘટત્વ વિધેય ƒ(x; θ) પરની કેટલીક નિયમિતતા શરતો હેઠળ ગુરુનિદર્શ n માટે – 2 log λ(x)નું અનંતલક્ષી વિતરણ r સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઇ-સ્કવેર વિતરણ છે. અહીં સ્વાતંત્ર્યની માત્રા r નિરાકરણીય પરિકલ્પના Ω_H નિર્દિષ્ટ કરવા માટે θ પર મૂકેલા પ્રતિબંધોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

હવે ઉદાહરણ 11માં મેળવેલ વિસંભાવના ગુણોત્તર (37)નું અનંતલક્ષી વિતરણ મેળવીએ. (37)માં વ્યાખ્યાયિત λ(x) પરથી થશે. H હેઠળ નું વિતરણ નું વિતરણ r = 1 સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઇ-સ્ક્વેર વિતરણ થશે.

3.5 આનુક્રમિક સંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ : અત્યાર સુધી ચર્ચેલી આગણન અને પરીક્ષણ માટેની પદ્ધતિઓ નિયત નિદર્શ સંખ્યાવાળી પદ્ધતિઓ છે. એટલે કે આ પદ્ધતિઓમાં નિયત સંખ્યાનાં n અવલોકનો લઈએ છીએ અને આ અવલોકનો પરથી મેળવેલ આગણનકાર T(x)ના આધારે પરીક્ષણ વ્યાખ્યાયિત કરી નિરાકરણીય પરિકલ્પના Hનો સ્વીકાર અથવા અસ્વીકાર કરીએ છીએ. અવલોકનોની સંખ્યા યર્દચ્છ ચલ હોય તેવી પરીક્ષણ પદ્ધતિઓ મેળવી શકાય છે. દાખલા તરીકે આપણે એક સમયે એક જ અવલોકન લઈએ અને મેળવેલ માહિતી પરથી વધુ અવલોકનો લેવાં કે પરિકલ્પના વિશે અંતિમ નિર્ણય કરવો તે નક્કી કરી શકીએ. જે પદ્ધતિમાં અવલોકનોની સંખ્યા યર્દચ્છ ચલ હોય તે પદ્ધતિને આનુક્રમિક પદ્ધતિ (sequential method) કહે છે.

અબ્રાહમ વૉલ્ડે મેળવેલ આનુક્રમિક પરીક્ષણ વિશે ચર્ચા કરીએ. ધારો કે ƒ (x; θ) યર્દચ્છ ચલ Xનું સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય છે. ધારો કે (x_k} ƒ (x; θ)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનોની શ્રેણી છે. આપણે નિરાકરણીય પરિકલ્પના H : θ = θ₀ વિરુદ્ધ વૈકલ્પિક પરિકલ્પના K : θ = θ₁ (>θ₀)નું પરીક્ષણ કરવાનો પ્રશ્ન વિચારીએ. બે પ્રકારના દોષની સંભાવનાઓ અનુક્રમે α અને β છે, એમ ધારીએ.

વૉલ્ડનું આનુક્રમિક વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ (sequential probability ratio test) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય. ધારો કે

હોય. અનુક્રમિક વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ માટે λ₁, λ₂,……ની ગણતરી કરી નીચેનાં સોપાન વિચારીએ.

સોપાન 1 : જ્યાં સુધી B < λ_n (x) <A હોય ત્યાં સુધી એક પછી એક અવલોકનો લેવાનું ચાલુ રાખવું.

સોપાન 2 : જો K = 1, 2, …, n-1 માટે હોય અને λ_n ≤ B થાય તો nમાં તબક્કે પરિકલ્પના H નો સ્વીકાર કરી પરીક્ષણ પૂર્ણ કરવું.

સોપાન 3 : જો K = 1, 2, …, n-1 માટે B < λ_k < A હોય અને λ_n ≥ A થાય તો nમા તબક્કે Hનો અસ્વીકાર કરી પરીક્ષણ પૂર્ણ કરવું.

આ પરીક્ષણના અચલો A અને B દ્વારા નિર્દિષ્ટ સીમાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેથી બે પ્રકારના દોષની સંભાવનાઓ અનુક્રમે α અને β થાય. અલબત્ત A અને Bની ચોક્કસ કિંમતો નક્કી કરવી મુશ્કેલ છે. પરંતુ તેમની આસાદિત કિંમતો મેળવી શકાય. આનુક્રમિક વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણ સાન્ત સંખ્યાનાં અવલોકનોમાં પૂર્ણ થાય તે ઘટનાની સંભાવના 1 છે તેવી ધારણા હેઠળ સાબિત કરી શકાય કે

આપણે સમીકરણ (40)માં પ્રથમ આસાદાન તરીકે અસમતાને બદલે સમતા લઈ શકીએ. અર્થાત્ લઈ શકીએ. H વિરુદ્ધ Kનાં આનુક્રમિક પરીક્ષણના સામર્થ્ય વિધેયનું આસાદિત સૂત્ર

છે. અહીં h = h (θ) ≠ 0 સંકલ

સમીકરણ

-નો અનન્ય ઉકેલ છે. પ્રામાણ્ય વિતરણ N(θ, 1) માટે

થાય તેમ સમીકરણ (41) પરથી સાબિત કરી શકાય. સૂત્ર (41) પરથી આ પરીક્ષણનું ક્રિયાલક્ષણ વિધેય

થશે. આનુક્રમિક પરીક્ષણ માટે નિદર્શ સંખ્યા N યર્દચ્છ ચલ હોવાથી Nની અજ્ઞાત θ માટેની અપેક્ષિત કે સરેરાશ કિંમતનું સૂત્ર

થશે. અહીં ને આનુક્રમિક વિસંભાવનાના ગુણોત્તર પરીક્ષણનું સરેરાશ નિદર્શક સંખ્યાવિધેય કહે છે. આનુક્રમિક વિસંભાવનાનો ગુણોત્તર પરીક્ષણના વ્યવહારમાં ઉપયોગ યથાર્થ છે, કારણ કે પરિકલ્પના-પરીક્ષણના પ્રશ્નમાં અગાઉથી નિયત સંખ્યામાં અવલોકન લેવાની આવશ્યકતા રહેતી નથી. ઔદ્યોગિક આંકડાશાસ્ત્રમાં કેટલીક ઉત્પાદન-વસ્તુઓ માટે સ્વીકૃતિનિદર્શનમાં આંકડાશાસ્ત્રના આનુક્રમિક વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવાથી કરકસરયુક્ત નિદર્શન યોજના રચવાનું શક્ય બને છે.

વૉલ્ડે પ્રસ્તુત કરેલ આનુક્રમિક વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણની જેમ પ્રાચલ આગણનના પ્રશ્નો વિશે પણ આનુક્રમિક પદ્ધતિઓ રચવામાં આવી છે.

3.6 પરીક્ષણોની સંગીનતા :

પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નમાં આપણે કોઈક સંભાવના મૉડલ પસંદ કરીએ છીએ અને આ મૉડલ માટે મૉડલના અજ્ઞાત પ્રાચલ વિશેની પરિકલ્પના માટેનું પરીક્ષણ મેળવીએ છીએ. આપણે પસંદ કરેલ સંભાવના મૉડલમાં સામાન્ય રીતે ત્રણ ધારણાઓ કરવામાં આવે છે :

(1) મૉડેલમાંથી મેળવેલાં અવલોકનો પરસ્પર નિરપેક્ષ છે.

(2) આ અવલોકનોનું સંભાવના-વિતરણ સમાન છે.

(3) સંભાવના મૉડલનું ગાણિતિક સ્વરૂપ પ્રામાણ્ય છે.

આ પૈકીની કોઈ એક અથવા બધી ધારણાનું ઉલ્લંઘન થાય તો પ્રાચલ વિશેની પરિકલ્પના માટેનાં પરીક્ષણોની સાર્થકતાની કક્ષા અને સામર્થ્ય પર શી અસર થાય છે અથવા આ પરીક્ષણો યથાર્થ રહે છે કે કેમ તેની ચકાસણી કરવાનું જરૂરી બને છે. આ ચકાસણી પરીક્ષણ માટે વપરાતા આગણનકારના નિર્દિષ્ટ ધારણાના ઉલ્લંઘનના કારણે મળતા વૈકલ્પિક સંભાવના-વિતરણ દ્વારા અથવા તેના અનંતલક્ષી વિતરણ પરથી કરી શકાય. જો ધારણાઓમાં થતા હળવા ફેરફારોથી પરીક્ષણની કક્ષા અને સામર્થ્યમાં ગુરુનિદર્શ માટે કોઈ ગણનાપાત્ર તફાવત પડતો ન હોય તો આપેલું પરીક્ષણ ધારણાઓમાં થયેલા ફેરફારો પરત્વે અસંવેદનશીલ અથવા સંગીન છે એમ કહેવાય.

આપેલ સંભાવના-મૉડલના પ્રાચલ વિશેની પરિકલ્પનાનું તે મૉડલ માટે કરેલ ઇષ્ટતમ ધારણાઓ હેઠળ પરીક્ષણ કરવા માટે મેળવેલ પરીક્ષણ આ ધારણા કે ધારણાઓમાં કોઈ ફેરફાર થાય તોપણ તેની કક્ષા અને સામર્થ્યના સંદર્ભમાં સંગીન રહે છે, કે કેમ તે વિશે તાજેતરમાં ઘણું રસપ્રદ સંશોધન થયું છે. પરીક્ષણોની સંગીનતા ચકાસવા Simulation અને Bootstrap પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ઉપકારક નીવડ્યો છે. ગણકયંત્રના વિકાસ સાથે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ વધુ પ્રચલિત અને ઝડપી બન્યો છે.

[4] અંતરાલ આગણન :

4.1 પ્રાસ્તાવિક : પરિચ્છેદ 2માં સંભાવના કે ઘટત્વવિધેય ƒ(x, θ)માંથી મેળવેલ નિદર્શ માહિતી x = (x₁, ….,x_n) આધારે પ્રાચલાવકાશ Ωના પ્રાચલ θના બિન્દુ આગણનકાર T(x) મેળવવાની વિવિધ પદ્ધતિઓ વિશે જોઈ ગયા. સ્પષ્ટ છે કે T(x)∈Ω. હવે પ્રાચલ θના આગણન માટે આપણે પ્રાચલાવકાશમાં બિંદુ T(x)ને બદલે અંતરાલ [T₁(x), T₂(x)]⊂Ω પસંદ કરીએ કે જેથી આ અંતરાલ પ્રાચલ θની સાચી કિંમતને સમાવે. તેની સંભાવના નિર્દિષ્ટ સંખ્યા 1-α(0 ≤ α 1) હોય. અહીં T₁(x) અને T₂(x) યર્દચ્છ ચલો હોવાથી અંતરાલ [T₁(x), T₂(x)]ને (1-α) સંભાવનાવાળો અથવા (1-α) વિશ્વાસાંકવાળો વિશ્વસનીય અંતરાલ કહે છે. પ્રાચલ θનું વિશ્વસનીય અંતરાલ દ્વારા આગણન કરવાની પદ્ધતિને અંતરાલ આગણન પદ્ધતિ કહે છે.

4.2 વિશ્વસનીય ગણો માટેનો નેમનનો સિદ્ધાંત : ધારો કે યર્દચ્છ ચલ Xની બધી કિંમતોનો ગણ છે અને {ƒ (x; θ) : θ ∈ Ω} ચલ Xનાં સંભાવના કે ઘટત્વવિધેયોનો સમુદાય છે. પ્રત્યેક X∈ માટે ધારો કે S(x) Ωનો ઉપગણ છે અને α(o ≤ α ≤ 1) એક પૂર્વનિશ્ચિત સંખ્યા છે.

હોય તો {S(x) : X∈} પ્રાચલ θ માટે (1-α) વિશ્વાસાંકવાળો વિશ્વસનીય ગણોનો સમુદાય કહેવાય છે. જો પ્રત્યેક S(x) અંતરાલ હોય તો વિશ્વસનીય ગણોના સમુદાયને વિશ્વસનીય અંતરાલનો સમુદાય કહે છે.

અહીં પ્રાચલ θ અજ્ઞાત હોવા છતાં અચલ છે અને S(x) યર્દચ્છ ગણ કે અંતરાલ છે. વળી સમીકરણ (45) પરથી સ્પષ્ટ થશે કે ગણ S(x) અજ્ઞાત અને અચલ પ્રાચલqનો સમાવેશ કરે તેવી સંભાવના ઓછામાં ઓછી 1-α છે.

વિશ્વસનીય ગણો મેળવવાના પ્રશ્નનું પરિકલ્પના પરીક્ષણના પ્રશ્નમાં નિરૂપણ કે રૂપાંતર થઈ શકે એમ નેમને સિદ્ધ કર્યું છે. ધારો કે પ્રત્યેક θ∈Ω માટે H : θ = θ₀નું કોઈ વૈકલ્પિક પરિકલ્પના વિરુદ્ધ પરીક્ષણ કરવા માટે આપણે a-કક્ષાનું પરીક્ષણ મેળવ્યું છે અને તેનું સ્વીકૃતિક્ષેત્ર A(θ₀)⊂ છે. તો ના ઉપગણોનો સમુદાય {A(θ) : θ∈Ω}એવો મળે છે કે જેથી બધા θ∈Ω માટે

………………………………..(46)

થાય. હવે જો xને નિયત રાખી જેમના માટે x∈A(θ) હોય તેવાં બધાં બિંદુઓથી મળતા θના ગણને S(x) વડે દર્શાવીએ તો

આમ પરીક્ષણનાં સ્વીકૃતિક્ષેત્રો પરથી વિશ્વસનીય ગણો કે અંતરાલો મેળવી શકાય અને વિશ્વસનીય ગણો પરથી સ્વીકૃતિક્ષેત્રો પણ મેળવી શકાય. આમ વિશ્વસનીય ગણો મેળવવાનો પ્રશ્ન અને પરીક્ષણો માટે સ્વીકૃતિક્ષેત્રો મેળવવાનો પ્રશ્ન પરસ્પર સમતુલ્ય છે.

ધારો કે θ₀ ∈Ω માટે θ = θ₀નું θ ≠ θ₀ વિરુદ્ધ α-કક્ષાએ પરીક્ષણ કરવા માટે A(θ₀) અને A^*(θ₀) એમ બે સ્વીકૃતિક્ષેત્રો મળે છે. તો સમીકરણ (47) પરથી {S(x) અને {S^* (x)} અનુક્રમે {A(θ) : θ∈Ω} અને {A^* (θ) : θ∈Ω} દ્વારા મળતા વિશ્વસનીય ગણોના સમુદાયો થશે. તો આ બે પૈકી કયો સમુદાય સારો કે ખરાબ તે જાણવા માટે કોઈ માપદંડ નક્કી કરવો પડે. આ માટેનો માપદંડ નીચેની વ્યાખ્યામાં દર્શાવ્યો છે.

વ્યાખ્યા : ધારો કે વિશ્વસાંકવાળા વિશ્વસનીય ગણોના સમુદાયો છે. જો બધા θ અને θ´ માટે

થાય તોતુલનામાં સર્વત્ર વધુ ચોક્કસ (uniformally most accurate) વિશ્વસનીય સમુદાય કહે છે.

સમીકરણ(48)માં  તેમજ

જ્યારે θની સાચી કિંમત θ’ હોય ત્યારે S(x) કે S^* (x) θની ખોટી કિંમત આવરે તેની સંભાવના દર્શાવે છે. જે સમુદાય માટે θની ખોટી કિંમત આવરે તે ઘટનાની સંભાવના ઓછી, તે સમુદાય સાર્વત્રિક રીતે વધુ ચોક્કસ એમ કહેવાય.

હવે સર્વત્ર વધુ ચોક્કસ વિશ્વસનીય ગણો કે અંતરાલોનો સમુદાય મેળવવા માટે આપણે પરિકલ્પનાવિરુદ્ધ પરીક્ષણ કરવા માટેનાં α-કક્ષાવાળાં સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણો મેળવવાં પડે. જો સર્વત્ર સમર્થતમ પરીક્ષણો અસ્તિત્વ ન ધરાવતાં હોય તો બધાં અનભિનત પરીક્ષણો પૈકી સર્વત્ર સમર્થતમ હોય તેવાં પરીક્ષણો મેળવી શકાય, અને આ પરીક્ષણોનાં સ્વીકૃતિક્ષેત્રો પરથી મળતો વિશ્વસનીય ગણોનો સમુદાય સર્વત્ર અતિચોક્કસ અનભિનત કહી શકાય. જો નેમનપિયર્સન સિદ્ધાંત દ્વારા આવાં પરીક્ષણો મેળવવાનું શક્ય ન હોય તો વિસંભાવના ગુણોત્તર પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરી વિસંભાવના ગુણોત્તર વિશ્વસનીય ગણોનો સમુદાય મેળવી શકાય.

ઉદાહરણ 12 :

ધારો કે x = (x₁, x₂, ……x_n) પ્રામાણ્ય વિતરણ N (θ, σ²)માંથી મેળવેલ નિરપેક્ષ અવલોકનો છે. આપણે θ માટેનો વિશ્વસનીય ગણ કે અંતરાલ મેળવવો છે. જો σ² જ્ઞાત હોય તો θ = θ₀નું θ ≠ θ₀ વિરુદ્ધનું નેમનપિયર્સન સિદ્ધાંત અનુસાર મળતા સર્વત્ર સમર્થતમ અનભિનત પરીક્ષણનું સ્વીકૃતિક્ષેત્ર

પરથી મેળવી શકાય. ઉપરના સ્વીકૃતિક્ષેત્ર પરથી આપણને

થશે. જો σ² અજ્ઞાત હોય તો θ = θ₀ નું θ ≠ θ₀ વિરુદ્ધનું સર્વત્ર સમર્થતમ અનભિનત પરીક્ષણનું સ્વીકૃતિક્ષેત્ર

થશે. અહીં s² = અને t_α/2, n – 1 સ્ટુડન્ટના n – 1 સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળા t-વિતરણનાં કોષ્ટકો પરથી મેળવી શકાય. આ સ્વીકૃતિક્ષેત્ર પરથી પ્રાચલ θ માટે (1-α) વિશ્વાસાંકવાળો સર્વત્ર અતિચોક્કસ અનભિનત વિશ્વસનીય અંતરાલ)

મળશે. આ સર્વત્ર અતિચોક્કસ અનભિનત વિશ્વસનીય અંતરાલોની લંબાઈ ન્યૂનતમ હોય છે તે નોંધપાત્ર છે.

4.3 એકદિશ વિશ્વસનીય સીમાઓ :

ધારો કે પ્રચલાવકાશ Ω વાસ્તવિક રેખાના ગણ Rનો ઉપગણ છે. વ્યવહારમાં કેટલીક વાર એવી પરિસ્થિતિ ઉદભવે કે જેમાં θ માટે ઊર્ધ્વ અથવા અધ:સીમાની જરૂર પડે. દાખલા તરીકે કોઈક ઔષધની બનાવટમાં વપરાતા તત્વની વિષમતા માટે આપણે ઊર્ધ્વ સીમા મેળવવાનું વધુ પસંદ કરીએ છીએ કે જેથી ઔષધની આડઅસર સામે રક્ષણ મેળવવાનું સુલભ બને.

હવે એકદિશ વિશ્વસનીય ગણોની પદ્ધતિસરની વ્યાખ્યા આપીએ :

વ્યાખ્યા : જો બધા θ ∈ Ω માટે P_θ (θ≤U(x)) ≥ 1-α અને P_θ (θ≤U^* (x))≥ 1-α હોય તેમજ બધા θ’> θ માટે P_θ [θ’≤U^* (x)]≥P_θ [θ’≤U(x)] થાય તો U(x)ને U^* (x)ની તુલનામાં સર્વત્ર વધુ ચોક્કસ ઊર્ધ્વસીમા કહેવામાં આવે છે. તે જ પ્રમાણે θ માટેની સર્વત્ર વધુ ચોક્કસ અધ:સીમાની વ્યાખ્યા આપી શકાય.

ઉદાહરણ 13 : ધારો કે પ્રામાણ્ય વિતરણ મેળવેલાં નિરપેક્ષ અવલોકનો છે. ધારો કે આપણે જાણીએ છીએ કે σ² અજ્ઞાત હોય ત્યારે વિરુદ્ધ પરીક્ષણ કરવા માટેના α-કક્ષાના સર્વત્ર સમર્થતમ અનભિનત પરીક્ષણનું પ્રત્યેક θ₀∈Ω માટેનું સ્વીકૃતિક્ષેત્ર  છે.

તેથી માટેની (1-α)-વિશ્વાસાંકવાળી સર્વત્ર અતિચોક્કસ અનભિનત ઊર્ધ્વસીમા થશે.

વ્યવહારમાં વિશ્વસનીય અંતરાલનો ઉપયોગ વ્યાપક પ્રમાણમાં થાય છે. પરંતુ આંકડાશાસ્ત્રના પાયાના સિદ્ધાંતોમાં રસ ધરાવતા સંશોધનકારો તેનું ખાસ સમર્થન કરતા નથી. અહીં આપણે નેમન-પિયર્સન સિદ્ધાંતને કેન્દ્રમાં રાખી વિશ્વસનીય અંતરાલની રચનાની ચર્ચા કરી છે. પરંતુ બેઇઝીય અનુમાન, વિસંભાવના સિદ્ધાંત, અને આર. એ. ફિશર સૂચિત વિશ્વસનીય અનુમાન (fiducial inference)ના આધારે પણ અંતરાલ આગણનકારો મેળવી શકાય.

શાંતિલાલ રણછોડભાઈ પટેલ

અમૃતભાઈ વલ્લભભાઈ ગજ્જર